第十一章-库存论

掌握确定性库存模型，特别是最基本的确定性EOQ模型；掌握单周期随机库存模型的基本原理；了解在库存论经济和管理中的基本应用方法。教学要求：第一页，共108页。第一节库存论模型的基本概念及分类

为了销售或生产的需要，企业需要保持一定的库存：这是企业管理中的一个很普遍和重要的问题。库存论的目的是确定一些管理规则使得维持库存的费用最低，同时又能满足顾客的需求或生产的需要。库存论的基本问题是要确定订货（或生产）的时间和订货（或生产）的数量。供应需求库存第二页，共108页。一、库存论模型的基本概念

订货和启动费用采购费用（或生产费用）存贮费用缺货费用第三页，共108页。订货和启动费用

每一次订货或机器的启动，开始制造过程需要一定的固定成本，因而产生了订货或启动费用。启动费用：当我们考虑产品是从内部生产而不是从外部订购时，为了启动和安排生产的人力和准备工作，需要一定的成本。为了简单起见，它只同组织生产的次数有关，而和每次生产的数量无关。(包括付款、邮寄、电话、运输、发票鉴定、接待费等

)订货费用包括从外部采购产品的手续费，差旅费等为了简单起见，它只与订货的次数有关，而和订货的数量无关。第四页，共108页。采购费用（或生产费用）为采购（或生产）一个单位的物品（包括原材料，部件或成品）所需要的费用。其中包括：变动人力成本材料成本运输成本（产品从外部订购时）第五页，共108页。存贮费用一个单位的物品存储一个时段所需要的费用。如时段用一年表示，存储费用就是每年存储单位物品所花的费用。一般包括：存放费用保险由于毁损、盗窃或者变质等原因所造成的损失等。第六页，共108页。缺货费用当顾客需求不能按时满足，就会发生缺货。如果顾客接受推迟送货，则产品可以重新订货。如果顾客不接受推迟送货，则产生销售损失。缺货所产生的费用包括：重新处理订货的额外费用失去销售机会的损失一般来说，缺货费用要比其他费用更难测量第七页，共108页。库存论模型分类确定性存储模型，即每一个周期的产品需求是已知的；随机存储模型，即需求是一个具有已知概率分布的随机变量。第一种分类方法：第二种分类方法：根据是否存在交货时间的延迟，这里交货时间定义为发出订单到收到货物之间的时间长度。

第八页，共108页。库存论模型分类（续）第三种分类方法是关于库存盘点的方法。连续盘点模型：当库存水平低于某个预先规定的订货点时就发生订货，即订货随时都可以发生。周期盘点的模型：库存水平被周期性的检查，例如每个月一次。每次订货只有在规定的时间里进行，哪怕库存水平已经低于希望的水平。第九页，共108页。在库存应用中，必须回答以下两个问题：

1、当库存在补充后应该有多少订货？

2、应该在何时对库存再补充？订货数量的确定：

1、保持少量库存和经常订单——导致高订单费用；

2、保持大量库存和经常订单——导致高库存费用；要寻找一个订货数目，该数是在1和2之间折中。第二节确定性存储模型

第十页，共108页。确定性的EOQ模型WestinghouseCorporate的F.W.Harries在1915年提出的。这个模型是关于如何进行产品库存管理的。假设提出需求是确定的，需求速率是个常数。交货时间是已知的常数。连续订货：当库存水平低于某个值时，就进行订货或生产。最简单最经典的库存模型在实践中，真正的库存情况很少与模型的假设吻合。在具体应用中，经理必须判断模型的假设是否与现实接近，以便更好的发挥模型的作用。第十一页，共108页。一、最基本的确定性EOQ模型

基本假设

•设时间单位为年，每件产品的价格为p，订货量为q。

•需求速率为常数D；即每个时期从库存中提取相同数量的货物，如每天5件，每月25件等等。

•任一次的订货发生，将产生一个订货或启动费用K。

•交货时间为0。

•每年每件产品的存储费用为h。在库存水平I为0时，则产生一次订货。两次订货的间隔为一个周期。

第十二页，共108页。tqq/D=TI(t)02q/D3q/D第十三页，共108页。一、最基本的确定性EOQ模型

根据假设，一年中发生订货的次数为。而订货发生的时刻为，，。一年中的库存总费用为：年库存总费用=年订货费用+年采购费用+年存储费用其中年订货费用=每次的订货费用×年订货次数=；年采购费用=单件采购费用×年采购的总数量=。第十四页，共108页。年库存平均费用

由下图可知在每个周期的平均库存水平为，整年的存储平均费用为时间t库存水平I(t)平均库存斜率：k=-DI(t)=q-D(t-iq/D),t∈[iq/D,(i+1)q/D]第十五页，共108页。总费用公式一年的总费用的公式为由于，，所以函数是上关于的严格凸函数。

第十六页，共108页。基本的确定性的EOQ问题的解基本的确定性EOQ

库存问题可表示为一个求最优订货点的优化问题：通过求解此优化问题，可以得到基本的确定性EOQ库存问题的唯一最优解：对应的最优周期长度：第十七页，共108页。

图形表示年度费用EOQ每次采购量年订货费用年库存费用年总费用在最优订货点年库存费用=年订货费用第十八页，共108页。实用举例例11.1某电子公司采取批量生产的方式生产MP3。一定数量的MP3在需求产生之前就要生产出来，存储在仓库里，并产生相应的费用。因此必须考虑MP3的库存问题。即要决定何时批量生产MP3以及每批生产的数量。所要考虑的费用如下：(1)每批生产所产生的启动费用为120,000元。其中包括机器的启动费用、管理费用等；(2)每个MP3的生产费用（不包括启动费用）是80元；(3)存放一个MP3的存储费用估计为每月2.4元，其中包括资金滞压、占有存储空间、保险、税收、保护等所产生的费用；(4)每个MP3的缺货费用为11（元/月）。第十九页，共108页。实用举例假设该公司的MP3在市场上的需求为6000（台/月），并假设不允许缺货产生。试求：(1)试求该电子公司对MP3的最优生产存储策略；(2)计算在最优的生产存储策略下，每月的启动费用、库存费用、生产费用以及总费用；并验证图2；(3)由于市场MP3市场竞争激烈，预计明年的销售量将下降三分之一。那么新的最优生产存储策略有何变化？第二十页，共108页。实用举例（解）在本题中假设时间单位为月。（1）为了方便生产同时又接近最优解，在实际的生产管理中可以采取每4个月生产24,500个MP3的生产策略。

第二十一页，共108页。实用举例（解）（2）库存费用=总费用(元)启动费用=启动费用=库存费用

第二十二页，共108页。实用举例（解）（3）根据题意，明年的需求(个)。

最优生产存储策略为每5个月生产20,000个。

需求减少时，周期长度就会增长而每次生产的数量减少。第二十三页，共108页。二、允许缺货的EOQ模型

•

在许多实际情况中，需求可能不能按时满足。这时，就发生了缺货。

•

在很多情况里，缺货会产生相应的费用，例如销售机会的损失、重新订货的额外费用等等。

•

在允许缺货的EOQ模型中，通过重新订货不会产生销售损失。

•在这个模型中，除了确定的最优订货量q*之外，还要确定最大的允许缺货量x*。在允许缺货的EOQ模型中，当库存缺货为x*时，就会发生订货。订货量

q*，货送达后，将缺货部分的量用于满足客户，其余存入库中，此时最大库存量为q*-x*，为方便起见，令y*=q*-x*第二十四页，共108页。缺货期补货阶段……时间最高库存一

年缺货量允许缺货的EOQ模型平均库存在这个模型中，仍假设送货时间为0。库存水平第二十五页，共108页。整年的平均库存量平均库存=tyaq/D=TI(t)x0b第二十六页，共108页。整年的平均库存量yy/Dq/DI(x)=y-DxI(x)=0平均库存=I(t)t第二十七页，共108页。整年的平均库存量yy/Dq/DI(x)=y-DxI(x)=0平均库存=I(t)t第二十八页，共108页。整年的平均库存量yaq/D=TI(t)=y-(y/a)tI(t)=0平均库存=I(t)t第二十九页，共108页。整年的平均缺货量0aq/D=TI(t)=y-(y/a)tI(t)=0I(t)t第三十页，共108页。整年的平均缺货量每周期内的缺货费用为所以，每周期内的缺货费用为：第三十一页，共108页。年库存总费用

年库存总费用=年订货费用+年采购费用+年存储费用一年中总的库存费用：

年存储费用=年缺货费用+年库存费用第三十二页，共108页。年库存总费用

假设订货费用为。一年中的总费用为：

是关于的凸函数，因此允许缺货的EOQ模型可以归结为下列优化问题：

第三十三页，共108页。允许缺货的EOQ模型的解通过求解下列方程：

可以得到最优解：

第三十四页，共108页。实用举例例11.2继续考虑例11.1。现在假设允许缺货产生且每个MP3的缺货费用为s=11（元/月）。试求允许缺货情况下的最优的生产存储策略和最大允许缺货量。解：

最大允许缺货量

最优周期长度

第三十五页，共108页。三、连续供货速率的EOQ模型

•

在经典的EOQ模型中订货是在同一时刻整批到达，而在连续供货速率的EOQ模型中产品以某一速率在一个时段里连续到达。

•

例如，有些产品是由企业内部生产而不是从外部采购的。这时产品是以某种连续速率供应。在从外采购的情况下有时候也会发生这种现象。

第三十六页，共108页。基本假设

P——

单位产品的价格q——

每次订货的数量

K

——

每次的订购费用或者每批生产的启动费用h——

单位产品在一年内的库存费用D

——

顾客的需求速率

r

——

产品的供货速率••••••第三十七页，共108页。最大库存量设一个供货周期为t

天，则t=q/r。每天增加库存r-D单位。最大库存量=t(r-D)=(r-D)q/r=(1-D/r)q。0q/rq/D=TI(t)=(r-D)tI(t)t(1-D/r)qI(t)=-Dt+q供货时段非供货时段第三十八页，共108页。时间供货阶段非供货阶段连续供货速率的EOQ模型库存水平供货阶段最高库存(1-D/r)qq/rq/D第三十九页，共108页。连续供货速率的EOQ模型订货量，消费量为，平均库存为

周期

需求速率为，平均缺货为

缺货阶段

供货速率，订货量，消费速率，消费量，库存量

补货阶段第四十页，共108页。年库存总费用

•

一年中的平均库存水平为

•

一年中的库存费用为

•

年订货的费用为年总库存费用为：第四十一页，共108页。连续供货速率的EOQ模型的解连续供货速率的EOQ模型可以归结为下列优化问题：为上的严格的凸函数，这个优化问题有唯一最优解：当时，第四十二页，共108页。实用举例例11.3继续考虑例11.2。现在假设MP3的供货速率是平均8,000（个/月），且不允许缺货。试求：(1)试计算此时最优的生产策略及最小的年库存总费用；(2)试求在最优的生产策略下，最高的库存水平以及该库存水平出现的时刻；(3)与例题2中的结果进行比较，并考虑变化原因。第四十三页，共108页。实用举例（解）解：由题意知，（1）根据公式，可以计算得到：第四十四页，共108页。实用举例（解）（2）最高的库存水平为：此时对应的时刻为：

通过比较可以看出：每次生产的数量增加，周期长度增长，费用减少。主要原因是平均库存水平降低，从而节省了存储费用。第四十五页，共108页。四、数量折扣的最优订货策略

•

在现实生活中，供应商经常采取数量折扣的价格策略，这时订货采购的费用是随着订货量的大小而变化的。

•

基本的EOQ模型中关于采购费用与订货数量无关的假设不再成立。

•

我们要采用新的方法来制定数量折扣的最优订货策略。

第四十六页，共108页。折扣价格

令为每次订货的数量，每件产品的数量折扣价格为：称是价格变化的折扣点，并假设

第四十七页，共108页。数量折扣的最优订货策略：为假设采购价格为订货量为时候的总费用：当采购价格统一使用

型计算得到最优订货批量

时，用经典的EOQ模如果满足：则称是可行的。：考虑了价格折扣时的总费用。

价格折扣策略的EOQ模型可归纳为求解下列优化问题：第四十八页，共108页。TC(q)是分段严格凸函数，因而最优解一定在折扣点或者数量折扣的最优订货策略第四十九页，共108页。数量折扣的最优订货策略第五十页，共108页。数量折扣的最优订货策略第五十一页，共108页。三个分析结论

对于任何的，由于采取了价格折扣策略，有：•

如果可行，即此时最优订货量必定发生在的情况里。这是因为，

是严格凸函数，对于和任意的，有：

因此，最优订货量不会发生在价格超过的情况里。第五十二页，共108页。b1b2x*b1b2x*b1b2x*第五十三页，共108页。三个分析结论•

当时，最优订货点不会发生在价格为的情况。

这是因为，函数在[]上是严格单调下降的，

对于

有下式成立：

所以，最优订货量不会发生在价格为

的情况。

•

当时，为优化问题

的最优解。这是因为，函数

在

上是严格单调上升的。

第五十四页，共108页。

求解价格折扣最优订货策略的过程

•

步骤0：；步骤1：转向步骤2；

（1）当时，

，转向步骤2；（2）当，，时，转向步骤2；（3）当时，步骤3：计算，得到最优订货策略•••步骤2：如果i=1，转向步骤3；否则i=i-1，转向步骤1；第五十五页，共108页。实用举例例11.4某超市每年销售5,000只玩具汽车。最近该商品的供应商为超市提供数量折扣的价格优惠策略：玩具汽车的原价格为50元/只；若订货量在1,000至1,999只之间，单位价格为48元；若订货量为2,000只或者2,000只以上，单位价格为47.5元。已知订货费用为490元/次；每只玩具汽车的存贮费用为其单位成本的20%。试求最优的订货策略。第五十六页，共108页。实用举例折扣如表所示：第五十七页，共108页。实用举例（解）首先计算每一个价格对应的最优订货批量EOQ其中，第五十八页，共108页。实用举例（解）

[0,999]p=50[1000,1999]p=48[2000,∞]p=47.5确定第五十九页，共108页。实用举例（解）单位价格（元/只）订货批量(只)年采购费用（元）年订货费用（元）年存贮费用（元）年总费用（元）15070025,000350.0035025,700.002481,00024,000245.0048024,725.00347.52,00023,750122.5095024,822.50由表可知，最优的订货策略为每次以48（元/只）的价格订购1,000只玩具汽车。第六十页，共108页。第三节单周期随机库存模型第六十一页，共108页。一、经典的单周期报童问题

决策者面临着要如何在随机环境里确定订货量y的问题。问题的困难在于：订货决策必须发生在需求没有发生之前。需要预先知道随机需求变量D

的概率分布函数，通过求期望费用最小化的方法，就可以得到最优订货决策。第六十二页，共108页。单周期报童问题所涉及到的费用和记号如下：（1）采购或生产费用，采购或生产单位产品的费用用c表示；（2）滞销费用，假设产品的存贮费用在周期末结算，滞销一个单位产品的费用用h表示,它可以表示为库存费用和残值之差；（3）缺货损失费用，缺货一单位带来的损失用p表示。一般的有p>c，否则就没必要考虑进货。第六十三页，共108页。对于一次订货和需求的实际发生值，相应的供给函数为相应发生的总费用为第六十四页，共108页。

如果假定需求D是一个连续随机变量，其密度函数为，累积分布为，那么得到期望总费用为

第六十五页，共108页。分别计算出的一阶和二阶导数为：

是上关于y的严格的凸函数，最小化问题有唯一解，满足，即所以，最优订货策略可通过下式解得

第六十六页，共108页。二、具有初始库存的单周期报童模型

假定有一个初始库存x。假设决策者通过订货或生产要达到的库存水平为y。这样，必须订货或生产的产品数为y-x。期望总费用为

是

上的一个严格的凸函数。

第六十七页，共108页。第六十八页，共108页。三、具有起动费用的单周期随机模型(s,S)策略

定义，其中

满足。由于

是严格单调的凸函数，S点是唯一定义的，并且使

在此点取到最小值。定义s

是使成立的y的最小值。

设起动费用和初始库存，因此期望总费用为

定期检查库存：当库存量I<s时，订货到S，进货量为S-I，当库存量I>S时，不进货。第六十九页，共108页。不订货不订货第七十页，共108页。订货S-x

，使库存水平达到S

第七十一页，共108页。sSxsSx第七十二页，共108页。第七十三页，共108页。四、连续随机存贮问题EOQ的(r,q)模型随时检查库存，当库存量降到r时，就订货使订货量为q。需求D和交货时间L：随机变量。交货时间内的需求量X也是随机变量。

决策变量：订货点r和订货量q。对于给定的订货点r，称数量r-E(X)为安全库存。安全库存的作用是匹配在交货时间内的随机需求，较好地满足顾客的需求。第七十四页，共108页。四、连续随机存贮问题EOQ的(r,q)模型当交货时间内的需求量X服从正态分布。在标准正态分布下，订货点r

所对应的缺货点为：给定y，标准正态分布随机变量X的损失函数为：第七十五页，共108页。给定订货点r，单周期内平均缺货量可表示为：

假设所有的需求必须被满足，允许缺货发生，缺货不会引起销售损失。第七十六页，共108页。假设平均缺货成本为CB，h为库存维持费用，K为订货费用。总期望费用＝期望库存维持费用＋期望缺货费用＋期望订货费用连续性随机的(r,q)

模型可归纳为下列优化问题：第七十七页，共108页。由下列等式可求得最优订货点r*：q*近似于第七十八页，共108页。五、随机需求EOQ模型：确定安全库存的服务水平

在

(r,q)

随机需求EOQ模型中，平均缺货成本CB的确立是非常困难的。下面将利用服务水平SL来求最优订货点r。服务水平定义为：

第七十九页，共108页。第八十页，共108页。例11.9一个移动硬盘销售商每年移动硬盘的需求服从正态分布，其中方差为408个，均值为10,000个。这个销售商向区域分销商订货。每次订货的交货时间服从正态分布，其中均值为两周，方差为一周（年）。每次订货的费用为500元，每年一个移动硬盘的存贮费用为10元，订货都会被满足，根据历史统计知最优订货点为900。问移动硬盘销售商的订货量，安全库存水平,服务水平？第八十一页，共108页。解h=10，K=500，E(D)=10000，r*=900。所以，订货量q=1000个。第八十二页，共108页。所以，服务水平SL＝99.95%.第八十三页，共108页。例11.10继续考虑例11.9，假设订货点未知，缺货成本为200元。问移动硬盘销售商的订货量，订货点，安全库存水平,服务水平？如果已知服务水平为95%，那么订货点，安全库存又为多少？解:由上题知：h=10，K=500，E(D)=10000，

q=1000，E(X)=384.61，另根据题意，可知：CB=200元，那么第八十四页，共108页。查正态函数表得：第八十五页，共108页。如果服务水平为95%，则订货点

第八十六页，共108页。第四节Excel在库存论中的应用一、用Excel求解例题（一）用Excel求解例11.1打开Excel调用“例题11.1.xls”，第一步：在B10~B15中输入公式，例如在B10中输入“=SQRT(2*D4*D5/D6)”

第八十七页，共108页。第二步：在D4~D7中输入“订货费用、月需求量、库存费用和单位生产成本”，例如在D4中输入月需求量6000，回车，则计算出结果第八十八页，共108页。（二）用Excel求解例11.2打开Excel调用“例11.2.xls”。第一步：在B11~B14中输入公式，例如在B11中输入“=SQRT((D6+D8)/D8)*SQRT(2*D4*D5/D6)”

第八十九页，共108页。第二步：在D4~D8中输入“订货费用、月需求量、库存费用、单位生产成本和单位缺货费用”，例如在D4中输入订货费用120,000，回车，则计算出结果第九十页，共108页。（三）用Excel求解例11.3打开Excel调用“例11.3.xls”。第一步：在B10~B19中输入公式，例如在B10中输入“=SQRT(D8/(D8-D5))*SQRT(2*D4*D5/D6)”第九十一页，共108页。第二步：在D4~D8中输入“订货费用、月需求量、库存费用、单位生产成本和供货速率”，例如在D8中输入8000，回车，则计算出结果第九十二页，共108页。（四）用Excel求解例11.4打开Excel调用“数量折扣模型.xls”。第一步：分别在B11~B21、C11~C17、D11~D17中输入公式，例如在B12中输入“=SQRT(D8/(D8-D5))*SQRT(2*D4*D5/D6)”第九十三页，共108页。第二步：分别在“订货费用”、D3中输入“年销售量”、D4中输入“存贮费用”，例如在D2中输入490，回车，则计算出结果

第九十四页，共108页。（五）用Excel求解例11.8打开Excel调用“例11.8.xls”。第一步：在E1中输入公式“=3*E2+100000*EXP(-E2/10000)”第九十五页，共108页。第二步：在“工具”栏中选取“单变量求解”，在目标单元格中选取E1，在目标值中键入66619.18，在可变单元格中选取E2（如图11-23所示），点击确定，则得到变量s的值（如图11-24所示）。图11-23

图11-24

第九十六页，共108页。（六）用Excel求损失函数NL(y)