统计学 马敏娜 王静敏课件第五章 抽样与参数估计

第五章

抽样与参数估计

学习目的了解抽样分布和抽样的其它组织方式。

掌握抽样调查的基本问题。熟练运用参数估计方法估计总体参数。实例引用网络时代的市场信息调查，中国新闻网5月24日有一则消息，CTR市场研究公司，是中国最大的市场资讯及研究分析服务提供商。其研究服务涵盖

品牌营销和媒介受众，包括了

12个专业研究领域，具体包括媒体价值研究、传播效果评估、数字化媒体传播、目标人群消费指数、广告花费研究、舆情监测与公关评估、消费者指数、平面媒体阅读率、利益相关者满意度、品牌研究、新产品研究、市场细分与定位。它对春节联欢晚会的同步电话调查始于1996年，一直未曾间断。但其数据近年来受到质疑。2010年虎年春节，CTR调查结果为：“有81.6%的受访者认为本届春节联欢晚会办得好”。大年初二，多家媒体援引新浪网“央视春晚观众调查”数据，直言双方数据大相径庭。和CTR的同步调查不同，新浪网的调查一直持续到3月1日，在共计115万张投票中，有近七成认为本届春节联欢晚会不好，只有14.5%的投票认为好。与网络调查相比，CTR的同步电话调查对象只有2290户，方法是在春节联欢晚会开始后的半小时，一直到晚上11点45分，CTR的执行团队成功访问了2290个家庭。这些家庭遍布全国182个省会及地级市下辖的406个市辖区、县和县市。这项目调查使用的抽样方法是，首先根据人口分布对全国2000多个县进行概率规模成比例抽样，确定了抽样点，然后把收集和购买的电话号码汇总起来，形成一个数据库，使电话的前四位可以代表不同的地区，最后随机生成电话号码的后四位。到底是哪种结果更具代表性呢？值得思考。第五章抽样与参数估计

第一节抽样调查的基本问题第二节抽样分布第三节参数估计第四节抽样的其它组织方式推断统计：利用样本统计量对总体某些性质或数量特征进行推断。随机原则总体样本总体参数统计量参数估计假设检验第一节抽样调查的基本问题

一、抽样调查及其特点（一）抽样调查的概念它是按照随机原则，从研究总体的所有单位中，抽取部分单位作为样本，然后以样本的观测或调查结果对总体的数量特征做出具有一定可靠程度和精度的估计或推断的一种统计调查方法。例如:从某地消费者中，通过随机抽样抽取若干消费者进行消费水平的实测，计算平均消费水平，以此来推断该地区的平均消费水平。

1、在调查单位的选取上遵循随机原则随机原则，就是在抽选样本时排除主观上有意识地抽选调查单位，使总体每个单位都有相同的机会被抽中。

2、它以样本的数量特征去推断总体的数量特征。抽样调查不仅具有省时、省力的特性，而且还能认识总体的数量特征。

3、推断过程中抽样误差可以事先计算并加以控制。

（二）抽样调查的基本特点1、有些现象无法进行全面调查，但为了测算总体情况，必须进行抽样调查。2、抽样调查的结果可以对全面调查的结果进行检查和修正。3、抽样调查可用于生产过程的质量控制。（三）抽样调查的作用二、抽样推断中的基本概念

（一）总体

总体，又称全及总体或母体，是指所要调查研究的对象的全体。在抽样调查中，总体是唯一确定的。总体内包含的单位多少称为总体单位数，一般用符号N表示。数量总体被研究的是数量变量的总体

属性总体被研究是属性变量的总体据被研究变量的性质不同

反映总体数量特征的指标为总体指标或总体参数。从理论上说，它由被抽样总体各单位的变量值或变量特征计算而成的。对于数量总体，设某单位的变量值为，总体指标有：

总体均值：

总体方差：

总体标准差：

对于属性总体，设总体中具有某种属性特征的单位数为，其它单位数为，总体单位数，总体指标有：总体比率：总体方差：总体标准差：（二）样本

样本，也称子样，是指从被调查的总体中按照随机原则抽取，并要对其进行调查或观察的部分单位所组成的集合体。

一个样本所包含的单位数称样本容量，用符号n表示。从总体中可能抽取的全部样本数目称为可能样本个数。对于一个总体，从中所抽取的样本是随机的，不是唯一的。

表示样本数量特征的指标称为样本指标或样本统计量，它由样本各单位的标志值或标志特征计算而成的。设是来自总体的样本，则样本指标有：样本均值：样本方差：

未分组分组未分组分组未分组分组样本标准差：样本标准差：样本比率：

样本方差：

在统计学中经常会遇到“自由度”这个概念，所谓自由度是指不受任何约束，可以自由取值的变量的个数。例如，有4个变量，它们的和是20，即，这是一个限制条件，此时，有3个变量可以自由取值，由于只有一个限制条件，那么可以自由取值的变量的个数是4-1=3，即自由度为3。(三)自由度

三、抽样样本的方法

根据样本单位是否可重复抽取，分为：（一）重复抽样抽取样本单位的过程：设从总体N中随机抽取一个容量为n的样本，每次从总体中抽取一个样本单位，连续进行n次抽取，构成一个样本。在对每次抽取的样本单位观测后，将该单位重新放回，这样在下一次的抽样中该样本单位仍有可能再次被抽中。（二）不重复抽样它从总体N中抽取一个容量为n的样本,也是由连续次抽取的结果构成的，但每次抽中的样本单位，观测后不再放回总体，因此在下一次抽取样本单位时不会再抽到前面已抽中过的样本单位。四、抽样推断的理论基础大数定律证明：随着样本容量的增加，样本均值接近于总体均值的趋势，几乎是具有实际必然性。中心极限定理：如果总体变量存在有限的平均数和方差，那么，不论这个总体的分布如何，随着样本容量的增加，样本均值的分布便趋近正态分布。在样本容量充分大的条件下，样本均值也趋近于正态分布，这为抽样误差的概率估计提供了理论基础。第二节抽样分布

一、抽样分布的概念

抽样分布是指样本统计量的概率分布。从同一个总体中，抽取样本容量相同的所有可能样本后，计算每一个样本统计量的取值和相应的概率，就组成样本统计量的概率分布，简称抽样分布。二﹑简单随机样本

如果总体中每个个体被抽到的机会是均等的，并且在每次抽取一个个体之后总体的成分不改变，这样抽取出的个体所构成的样本就能很好地反映总体的情况,基于这种想法抽取的样本，称为简单随机样本。

当总体为有限总体时，那么抽样就要用重复抽样；当总体为无限总体时，可以用不重复抽样。

简单随机抽样也称纯随机抽样。它是直接从总体的个单位中完全随机地抽取每个单位并使总体中的每一个单位都有同等被抽中的概率的抽样组织形式。

特点：在理论上最符合随机原则，简单随机抽样保证总体中各个单位被抽中的机会是相等的，均为。是设计其他抽样组织方式的基础。是衡量其他抽样效果的标准。三、简单随机抽样的概念及特点抽样设计效果指标

若值大于等于1，即其他抽样形式的抽样方差大于等于简单随机抽样的抽样方差，则抽样估计效果较差；四、常用统计量的抽样分布

（一）样本均值的抽样分布

1、重复抽样的抽样分布例4-1某次调查中4个被调查者的月消费额分别为400元、500元、700元、800元。设4个被调查者构成总体，则：总体均值

（元）总体方差

总体标准差

用重复抽样的方法，从4人中随机抽个构成样本，共16个有个可能的样本。各样本的月平均消费如表：样本变量400500700800400500700800400450550600450500600650550600700750600650750800可以整理出样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布2000009600116合计40000450001000050000500010000450004000040090050011002400130070015008001/162/161/162/164/162/161/162/161/16121242121400450500550600650700750800频率f频数样本的月平均消费(元)样本均值抽样分布的均值：

样本均值抽样分布的方差：样本均值抽样分布的标准差为:

可见,样本均值抽样分布的均值等于总体的均值,即

虽然每个样本均值的取值可能与总体均值不同，有一定离差，但从总体来看，所有样本均值平均说来和总体均值是相同的，不再存在离差。抽样分布的方差抽样分布的标准差2、不重复抽样的抽样分布

仍以上例为例，某次调查中4个被调查者的月消费为400元、500元、700元、800元。设4个被调查者构成总体，则:总体均值（元）总体方差

总体标准差

采用不重复抽样的方法，从4人中随机抽个构成样本，共有4×3=12个可能的样本。----450550600450----600650550600----750600650750----400500700800400500700800样本变量1000007200112合计450005000050004500090011002400130015002/122/124/122/122/1222422450550600650750频率f频数样本的月平均消费样本均值的抽样分布样本均值抽样分布的均值：

样本均值抽样分布的方差：样本均值抽样分布的标准差为:

可见,样本均值抽样分布的均值等于总体的均值,即

不重复抽样条件下，样本均值的分布仍具有两个重要性质:（1）样本均值的抽样分布的均值等于总体的均值（2）样本均值的抽样分布的方差等于重复抽样的样本均值抽样分布的方差乘以修正因子抽样分布的标准差抽样总体样本比率X,(N)比率P=Ni/Nx,(n)

所有可能的样本的比率（）所形成的分布，称为样本比率的抽样分布。(二）样本比率的抽样分布抽样方法均值 方差 标准差 重复抽样不重复抽样

根据中心极限定理，只要样本足够大，的分布就近似正态分布。（np和nq大于5时）抽样误差抽样误差样本比率分布的均值和方差（三）两个总体样本均值之差的抽样分布抽样总体样本X1,(N1)x1,(n1)抽样总体样本X2,(N2)x2,(n2)估计（1）如：（2〕如果两个总体都是非正态总体，只要n1、n2足够大，根据中心极限定理，可知：（四）两个样本比率之差的抽样分布抽样总体样本X1,(N1)x1,(n1)抽样总体样本X2,(N2)x2,(n2)估计

当n1、n2都足够大时，样本比率都近似服从正态分布，两个样本比率之差（）也近似服从正态分布。P1-P2=？

第三节参数估计

一、参数估计的基本概念（一）估计量在实际问题中,经常需要我们构造适当的统计量去对总体分布中所含的未知参数(如均值﹑方差﹑比率等)的数值做出估计。这时用来估计总体参数的统计量称为估计量,它也是一个随机变量。估计量的具体数值称为估计值。(二)抽样误差

抽样误差是由于抽样的随机性而造成样本指标和总体指标之间的误差，这种误差是抽样调查所固有的、不可避免的，也叫随机误差。

抽样误差有实际误差和平均误差两种。实际误差是指某一次抽样结果所得到的样本指标和总体指标之间的误差。但由于总体指标未知，因而无法计算。样本容量抽样方法总体标志变动度抽样组织形式抽样误差的影响因素（三）抽样极限误差

抽样极限误差又称允许误差，是指样本指标和总体指标之间抽样误差的可能范围。由于总体指标是一个确定的数，而样本指标则围绕总体指标左右变动，它与总体指标可能产生正离差，也可能产生负离差，样本指标变动的上限或下限与总体指标之差的绝对值就可以表示抽样误差的可能范围，我们将这种以绝对值形式表示的抽样误差可能范围称为抽样极限误差。则，

二﹑估计量的优良标准的数学期望等于总体参数，即该估计量称为无偏估计。无偏性有效性当为的无偏估计时，方差越小，无偏估计越有效。一致性对于无限总体，如果对任意则称的一致估计。是估计量三、参数估计方法点估计以样本指标直接估计总体参数。区间估计估计未知参数所在的可能的区间。

点估计的优点在于它能够明确地估计总体参数，但一般该值不会等于总体参数的真值，它与真值的误差﹑估计的可靠性怎样，我们无法知道，而区间估计则可弥补这种不足之处。

区间估计评价准则随机区间置信度精确度随机区间包含（即可靠程度）越大越好。的概率的平均长度（误差范围）越小越好一般形式或总体参数估计值误差范围△：一定倍数的抽样误差例如：抽样误差一定时，越大，概率（可靠性）大；随之增大，精确度就差。四、区间估计的基本原理

区间估计步骤:1．选择含有待估参数的一个适当的统计量,并指出该统计量所服从的分布。2．对于给定的置信水平查该统计量所服从的分布表确定出临界值,使该统计量取以临界值为范围内的值的概率为3．对第2步经过不等式变形可得所求参数的置信区间公式。4．将有关数值代入置信区间公式,即可求出所求参数的一个置信区间。简单随机抽样待估计参数已知条件置信区间正态总体，σ2已知正态总体，σ2未知非正态总体，n≥30σ未知时，用S有限总体，n≥30（不重复)总体均值（μ）σ未知时，用S五、一个总体参数的区间估计（一）总体均值的区间估计1、正态总体、方差已知，或非正态总体(大样本)

例5-2从保险公司自投保人中随机抽取36人,计算出此36人的平均年龄为39.5岁,已知投保人年龄分布近似正态分布,标准差为7.2岁,试求所有投保人平均年龄置信水平为99%的置信区间?

于是，我们有99%的把握保证投保人平均年龄在36.41～42.59岁之间。(1)当总体方差σ2已知,求μ的置信区间例5-3某金融机构共有8042张应收账款单,根据过去记录,所有应收账款的标准差为3033.4元，现随机抽查了250张应收账单,得平均应收金额为3319元,求全部应收账单的平均应收金额的置信水平为98%的置信区间。

于是，我们有98%的把握认为全部应收账单的平均应收金额在2871.99～3766元之间。(2)当总体方差σ2未知,求μ的置信区间例5-4某广播电台要估计某市65岁以上的已退休的人中一天时间里收听广播的时间,随机抽取了一个容量为200的样本,得到样本均值为110分钟,样本标准差为30分钟,假定收听广播的时间近似服从正态分布,试估计总体均值的置信水平为95%的置信区间。于是，我们有95%的把握认为该市65岁以上已退休的人每天收听广播的时间在107.24～112.76分钟之间。2、正态总体、方差未知、小样本时求的置信区间例5-5为了估计一分钟一次广告的平均费用,抽出了15个电视台的样本。样本均值为2000元,标准差为1000元。假定所有的这类电视台的广告费用近似服从正态分布,试求电视台一分钟一次广告平均费用的置信水平为95%的置信区间。μ

于是，我们有95%的把握保证电视台一分钟一次广告平均费用在1446.2～2553.8元之间。

（二）一个总体比率的区间估计简单随机抽样待估计参数已知条件置信区间无限总体，np和nq都大于5总体比率（p）有限总体，np和nq都大于5例5-6某电视台想了解每日“晚间新间”栏目的收视率,随机抽取了400人进行调查,结果表明有71.2%的人观看此节目。试估计该栏目收视率具有90%的可靠性的置信区间。

于是，有90%的把握认为该栏目收视率在67.48%～74.92%之间。六、两个总体参数的区间估计

（一）两个总体均值之差的区间估计待估计参数已知条件置信区间两个正态总体已知两个正态总体未知但相等两个非正态总体,n1，n2≥30两个总体均值之差μ1-μ21.当两个总体方差和已知时,求均值之差的置信区间。例5-7为调查两家银行的户均存款数,从两家银行各抽选一个由25个储户组成的随机样本。两个样本均值分别为4500元和3250元,两个总体标准差分别为920元和960元。根据经验知道两个总体均服从正态分布,试求两家银行的户均存款额之差的置信水平为90%的置信区间。

于是，我们有90%的把握认为两家银行户均存款额之差在811～1689元之间。

2.当两个总体方差和未知时,但,求均值之差的置信区间。例5-8为比较两城市居民的生活水平,分别调查了100户和150户家庭的人均月生活费支出,计算样本均值分别为167.76元和155.91元,样本方差分别为69.37元和64.92元。假设两城市家庭人均月生活费支出都服从正态分布,且方差相等,试以95%的置信水平估计两城市居民平均人均月生活费支出的差异。

于是，我们有95%的把握认为两城市居民人均月生活费支出的差额在3.68～20.02元之间。3﹑两个非正态总体大样本下均值之差的区间估计例5-9为调查两个地区农民年末手存现金之间的差异,从两个地区分别抽取了50户农民家庭作为样本,得到样本均值分别为650元和480元,标准差分别为120元和106元。试以95%的置信水平估计两地区农民平均每户手存现金的差异。

于是，我们有95%的把握认为两地区农民的平均每户手存现金之差额在125.63～214.37元之间。（二）两个总体比率之差的区间估计简单随机抽样待估计参数已知条件置信区间无限总体，N1P1＞5,n1q1＞5N2P2＞5,n2q2＞5两个总体比率之差（P1-P2）有限总体，N1P1＞5,n1q1＞5N2P2＞5,n2q2＞5例5-10某报社想了解不同职业的人员订阅其发行的一种报纸的情况，抽选了一个由400名工人组成的样本，和一个由300名大学生组成的样本,结果工人中有155人订阅该报纸,大学生中有105人订阅该报纸。试以90%的置信水平估计这两个总体比率的差异程度

因为零包含在这个区间中,所以由上面的结果不能断定与有差别。待估计参数已知条件置信区间正态总体总体方差

两个正态总体两个总体方差之比七、总体方差的区间估计

（一）一个正态总体方差的区间估计例5-11．某食品加工厂加工一批苹果罐头，想了解罐头重量的差异程度，随机抽出15个罐头，称其重量(克)，得样本方差，假设总体呈正态分布,试求罐头重量方差的置信水平为90%的置信区间。

（二）两个正态总体方差比的区间估计

例5-12．某车间两条生产线生产同一种产品，产品的质量指标可以认为服从正态分布。分别从两条生产线的产品中抽取容量为25和21的样本检测，算得样本方差分别是7.89和5.07。求产品质量指标方差比的置信水平为95%的置信区间。八、样本容量的确定

（一）影响样本容量的因素

总体各单位的差异程度。允许误差范围。概率保证程度。不同的抽样方法（重复抽样和不重复抽样）。（二）样本容量的计算

1、估计总体均值时的样本容量的计算例5-13某茶叶生产厂对某批10000包茶叶的每包平均重量和合格率进行检验，根据以往资料，每包平均重量的标准差为10克，茶叶合格率为92%。在概率保证程度为95.45%，每包茶叶平均重量的抽样极限误差不超过2克，合格率的抽样极限误差不超过5%的条件下，求应抽取多少包茶叶进行调查。

所以，对抽检平均每包重量需要抽取100包茶叶，对抽检合格率需抽检118包。而在一次抽样中，若要求同时抽检平均每包重量和合格率，则就采用样本单位较多（即n=118）的方案。

所以，在不重复抽样条件下，对抽检平均每包重量需要抽取99包茶叶，对抽检合格率需抽检117包。3、估计两个总体均值之差时样本容量的计算

对于给定的允许误差和置信水平为1-的条件下，估计两个总体均值之差时所需的样本容量为：

其中，和

为来自两个总体的样本容量，

和

为两个总体的方差。例5-14某校教务处想要估计普通班和实验班考试成绩平均分数差距的置信区间，要求置信水平为95%，预先估计两个班考试成绩分数的方差为：实验班=85，普通班=120，如果要求估计的允许误差不超过5分，应在两个班分别抽取多少名学生进行调查？解：根据公式得

即应在两个班分别抽取32名学生进行调查。4、估计两个总体比率之差时样本容量的计算

对于给定的允许误差和置信水平为1-的条件下，估计两个总体比率之差时所需的样本容量为：例5-15某厂家要估计消费者对一种新产品认知的广告效果。该厂家在广告前和广告后各抽取一个消费者随机样本进行调查，若以10%的允许误差和95%的置信水平估计广告前和广告后知道该产品消费者的比率之差，应在两个样本中分别抽取多少名消费者进行调查？解：由于没有和的信息，我们用==0.5作为和的近似值。根据公式得即应在两个样本中分别抽取193名消费者进行调查。

第四节抽样的其它组织方式

一、分层抽样（一）抽样形式方法：将总体全部单位分类，形成若干个类型组，后从各类型中分别抽取样本单位，合成样本。总体N样本n等额等比例最优······

分层抽样的特点：由于分层抽样是在各层中进行的，因此各层样本除汇总后可用于总体参数的估计外，还可用来对层的参数进行估计。分层抽样对层而言是全面调查，对层内单位而言是非全面调查。分层样本分别抽自各层，因此与简单随机样本比较，分层样本在总体中的分布更为均匀，不会出现偏于某一部分的不平衡情况，因此抽样效果较好。（二）分层抽样的简单估计待估计参数已知条件置信区间有限总体不放回抽样（n等比例分配于各层）各层nh≥30总体均值

（μ）有限总体不放回抽样（n等比例分配于各层）各层nh≥30总体比率(P)均值：平均层内方差：估计1、总体均值的简单估计例5-16某高等学校有学生4000人，按性别分组，然后按比例抽取样本容量200人调查学生平均每月支出情况，计算各组平均每月支出和标准差如下表。试以95.45%的概率保证对该高等学校全部学生平均每月支出额作区间估计。（采用重复抽样）全部人数（人）抽样人数（人）抽样平均支出额（元）平均支出额标准差（元）—2004000合计1604601102200女510901800男按性别分组130

2、总体比率的简单估计例如5-17为调查某个高血压高发病区的患病率，对14岁以上的人分四个年龄组进行分层随机抽样，调查结果如下表所示，以95%的可靠性对该地区14岁以上全部人口高血压患病率进行区间估计（按重复抽样计算）。全部人数（万人）抽样人数（人）—3,85077.0合计50.23006.060以上34.797519.541—6014.51,20024.026—405.41,37527.514—25（%）年龄组（三）分层抽样样本容量的确定在采用分层抽样进行抽样估计时，各层样本容量的确定是决定分层抽样效果好坏、花费费用多少的关键。分层抽样确定各层样本容量有三种方法，这三种方法都是以已知分层抽样的层数k和样本容量n为前提条件来确定各层样本容量。1、比例分配法比例分配法是指样本所有单位在各层分配时，从各层中抽取的样本容量占所有单位数的比例是相等的，同等于样本容量n占总体容量N的比重，即从而确定各层应抽取的样本容量为：比例分配法是在实际工作中最常用的方法。由于所抽取的样本容量考虑了各层的合理权重使得综合计算的样本指标能切合实际情况，增强抽样估计的效果。2、适度法（又称尼曼分配法）

比例分配法只考虑到各层单位多少的差别，没有考虑各层变异程度的不同。适度法补救了这一不足，适度法考虑变异程度较大的层应该多取样，而变异比较均匀的层应该少取样，样本容量与变异程度的大小成正比例，使抽样误差达到最小。设代表各层标准差，则各层样本容量同各层总体容量和各层标准差乘积的比例相等，即所以各层的样本容量为：

适度法在考虑各层合理权重的情况下，又使抽样误差减少到可能范围，这种方法在使用时比比例分配法又前进了一步。3、最优分配法（亦称经济分配法）各层除了单位数和变异程度不同外，调查费用还可能有差别。最优分配法考虑这一因素，对于费用较大的层，相对来说取样少一些，而费用较低的层则可以多取样。设代表各层每单位的调查费用，由于样本容量与费用的平方根成反比关系变化，应该使下列比例保持相等，达到一定的调查费用情况下抽样误差最小，或在一定的抽样误差情况下调查费用最少。即所以各层的样本容量为：例5-18已知某市个体商店1600个，按分层抽样从中抽取200个商店进行调查纳税情况，具体资料如下表按月销售额分组（万元）（个）（元）（元）5以下50021106253001714合计1600--根据以上资料，通过计算得出三种分配方法的结果如下表所示，按月销售额分组（万元）比例分配法适度法最优分配法5以下627680625383733合计200200200二、整群抽样

将总体全部单位分为许多个群，然后随机抽取若干群，对被抽中的各群内的所有单位登记调查。总体群数R

样本群数r估计均值：群间方差：置信区间抽样误差

整群抽样的特点：1、整群抽样的随机性体现在群与群之间不重叠，总体的任何一个基本单位都必须且只能归于某一群的抽选按概率确定，可以按等概率也可按不等概率进行抽选。2、如果把每一群看成一个单位，那么整群抽样就是以群为单位的简单随机抽样。3、整群抽样对于群而言是非全面调查，对于被抽中群内基本单位而言则是全面调查，这一点与分层抽样正好相反。4、整群抽样便于组织实施，节省人力、财力和时间。待估计参数已知条件样本数的确定总体均值（μ）整群抽样有限总体不放回抽样，服从正态分布未知用整群抽样样本容量的确定例5-20某林区划分为1000群区，各群区面积相同，按估计该林区木材蓄积量的群间方差为，现在在允许误差为，概率保证程度为95.45%下，确定抽样的样本群数。

由

得