沪科版九年级数学上册第22章 相似形

第9页第22章相似形类型之一比例线段与比例性质1．如果x∶(x＋y)＝3∶5，那么x∶y等于()A.eq\f(8,5)B.eq\f(3,8)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,2)2．如图22－X－1，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交直线l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交直线l1，l2，l3于点D，E，F.假设DE＝3，EF＝6，AB＝4，那么AC的长是()A．6B．8C．9D．12图22－X－13．如图22－X－2，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交CD于点F，那么DF∶FC等于()A．1∶4B．1∶3C．1∶2D．1∶1图22－X－24．如图22－X－3，在△ABC中，AM∶MD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，求AE∶EC的值．图22－X－3类型之二相似三角形的判定与性质5．如图22－X－4，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是()图22－X－4A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④6．如果两个相似三角形的面积比是1∶2，那么它们的周长比是()A．1∶2B．1∶4C．1∶eq\r(2)D．2∶17．在△ABC与△A′B′C′中，有以下条件：(1)eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BC,B′C′)；(2)eq\f(BC,B′C′)＝eq\f(AC,A′C′)；(3)∠A＝∠A′；(4)∠C＝∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有()A．1组B．2组C．3组D．4组8．如图22－X－5，在直角梯形ABCD中，AB＝7，AD＝2，BC＝3，假设在线段AB上取一点P，使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，那么这样的P点有()A．1个B．2个C．3个D．4个图22－X－59．［2023·泰安］如图22－X－6，△ABC是边长为4的等边三角形，P为BC边上的任意一点(不与点B，C重合)，且∠APD＝60°，PD交AB于点D，设BP＝x，BD＝y，那么y关于x的函数图象大致是()图22－X－6图22－X－710．［2023·宿州二模］在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于点O，那么S△MOD∶S△COB＝________．11．如图22－X－8，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝20cm，两只小虫P和Q分别从点A，B同时出发沿AB，BC向终点B，C方向前进，小虫P的速度为1cm/s，小虫Q的速度为2cm/s.它们同时出发多少秒时，以P，B，Q为顶点的三角形与以A，C，D为顶点的三角形相似？图22－X－812．如图22－X－9所示，先把一张矩形纸片ABCD对折，设折痕为MN，再把点B叠在折痕线上，得到△ABE，过点B折纸片使点A叠在直线AD上，得折痕PQ.(1)求证：△PBE∽△QAB.(2)你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由．图22－X－9类型之三相似三角形的实际应用13．如图22－X－10，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去．当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3米，CA＝1米，那么树的高度为()A．3米B．4米C．4.5米D．6米图22－X－1014．如图22－X－11，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R.如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，那么河的宽度PQ为()A．40mB．60mC．120mD．180m图22－X－1115．如图22－X－12，小军在地面上适宜的位置平放了一块平面镜(平面镜的高度忽略不计)，刚好在平面镜中的点C处看到旗杆顶部E，此时小军的站立点B与点C的水平距离为2m，旗杆底部D与点C的水平距离为12m．假设小军的眼睛距离地面的高度为1.5m(即AB＝1.5m)，那么旗杆的高度为________m.图22－X－1216．如图22－X－13所示的示意图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行并使直角边DE与旗杆顶点A在同一直线上，DE＝0.5米，EF＝0.25米，且测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝25米，求旗杆AB的高度．图22－X－13类型之四位似图形的性质及作法17．如图22－X－14，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的eq\f(1,4)，那么点B′的坐标是()A．(－2，3)B．(2，－3)C．(3，－2)或(－2，3)D．(－2，3)或(2，－3)图22－X－1418．如图22－X－15所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，假设点F的坐标为(－1，1)，点C的坐标为(－4，2)，那么这两个正方形的位似中心的坐标是____________．图22－X－1519．［2023·包河区二模］如图22－X－16，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD(顶点是网格线的交点)和直线l，按要求画图．(1)作出四边形ABCD关于直线l成轴对称的四边形A′B′C′D′；(2)以B为位似中心，在点B的下方将四边形ABCD放大2倍得到四边形A1B1C1D1，画出四边形A1B1C1D1.图22－X－16类型之五阅读理解型的相似问题20．如图22－X－17(a)，P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，那么点P叫做△ABC的费马点．(1)如果△ABC是锐角三角形，点P为△ABC的费马点，且∠ABC＝60°.①求证：△ABP∽△BCP；②假设PA＝3，PC＝4，那么PB＝________．(2)如图(b)，△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，△ABE和△ACD均为等边三角形，且CE和BD相交于点P.①求∠CPD的度数；②求证：点P为△ABC的费马点．图22－X－1721．［2023·宁波］从三角形(不是等腰三角形的)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图22－X－18①，在△ABC中，CD为∠ACB的平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；(2)在△ABC中，假设∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；(3)如图22－X－18②，△ABC中，AC＝2，BC＝eq\r(2)，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．图22－X－18类型之六数学活动22．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图22－X－19①，在▱ABCD中，E是BC边的中点，F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G.假设eq\f(AF,EF)＝3，求eq\f(CD,CG)的值．(1)尝试探究在图22－X－19①中，过点E作EH∥AB，交BG于点H，那么AB和EH的数量关系是________，CG和EH的数量关系是________，eq\f(CD,CG)的值是________．(2)类比延伸如图22－X－19②，在原题的条件下，假设eq\f(AF,EF)＝m(m＞0)，那么eq\f(CD,CG)的值是____________(用含m的代数式表示)，试写出解答过程．(3)拓展迁移如图22－X－19③，四边形ABCD中，DC∥AB，E是BC延长线上的一点，AE和BD相交于点F.假设eq\f(AB,CD)＝a，eq\f(BC,BE)＝b(a＞0，b＞0)，那么eq\f(AF,EF)的值是________(用含a，b的代数式表示)．图22－X－191．D[解析]∵x∶(x＋y)＝3∶5，∴5x＝3x＋3y，整理，得2x＝3y，∴x∶y＝3∶2.2．D[解析]∵l1∥l2∥l3，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF)，即eq\f(4,BC)＝eq\f(3,6).∴BC＝8，∴AC＝AB＋BC＝12.应选D.3．C[解析]在▱ABCD中，AB∥CD，那么△DFE∽△BAE，∴eq\f(DE,BE)＝eq\f(DF,AB).∵O为对角线的交点，∴DO＝BO.又∵E为OD的中点，∴DE＝eq\f(1,4)BD，那么DE∶BE＝1∶3，∴DF∶AB＝1∶3.∵CD＝AB，∴DF∶CD＝1∶3，∴DF∶FC＝1∶2.4．解：如图，过点D作DF∥BE交AC于点F，那么EF∶FC＝BD∶DC，AM∶MD＝AE∶EF.∵BD∶DC＝2∶3，∴EF∶FC＝2∶3.设EF＝2a，那么CF＝3a.∵AM∶MD＝4∶1，∴AE∶EF＝4∶1，∴AE＝8a，∴AE∶EC＝8a∶5a＝8∶5.5．C6．C[解析]∵两个相似三角形的面积比是1∶2，∴这两个相似三角形的相似比是1∶eq\r(2)，∴它们的周长比是1∶eq\r(2).应选C.7．C[解析]共有3组，其组合分别是(1)和(2)，根据是三边成比例的两个三角形相似；(2)和(4)，根据是两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)和(4)，根据是两角分别相等的两个三角形相似．8．C[解析]①当△DAP∽△CBP时，AD∶AP＝BC∶BP，即eq\f(2,AP)＝eq\f(7－AP,3)，解得AP＝eq\f(14,5)；②当△DAP∽△PBC时，AD∶AP＝BP∶BC，即eq\f(2,AP)＝eq\f(7－AP,3)，解得AP＝1或AP＝6.综上可得，这样的点P有3个．9．C[解析]∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°.又∵∠BPD＋∠APD＝∠C＋∠CAP，∠APD＝60°，∴∠BPD＝∠CAP，∴△BPD∽△CAP，∴BP∶AC＝BD∶PC.∵△ABC的边长为4，BP＝x，BD＝y，∴x∶4＝y∶(4－x)，∴y＝－eq\f(1,4)x2＋x.应选C.10．4∶9或1∶9[解析]M，N是AD边上的三等分点．(1)当eq\f(DM,BC)＝eq\f(2,3)时，如图①所示．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△MOD∽△COB，∴S△MOD∶S△COB＝(eq\f(DM,BC))2＝4∶9.(2)当eq\f(DM,BC)＝eq\f(1,3)时，如图②所示．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△MOD∽△COB，∴S△MOD∶S△COB＝(eq\f(DM,BC))2＝1∶9.故答案为4∶9或1∶9.11．解：设它们同时出发ts时，以P，B，Q为顶点的三角形与以A，C，D为顶点的三角形相似，那么AP＝tcm，BQ＝2tcm，PB＝(10－t)cm.(1)当△PBQ∽△ADC时，有eq\f(PB,AD)＝eq\f(BQ,DC)，即eq\f(10－t,20)＝eq\f(2t,10)，解得t＝2；(2)当△PBQ∽△CDA时，有eq\f(PB,CD)＝eq\f(BQ,DA)，即eq\f(10－t,10)＝eq\f(2t,20)，解得t＝5.综上可得，当它们同时出发2s或5s时，以P，B，Q为顶点的三角形与以A，C，D为顶点的三角形相似．12．解：(1)证明：∵∠PBE＋∠ABQ＝180°－90°＝90°，∠PBE＋∠PEB＝90°，∴∠ABQ＝∠PEB.又∵∠BPE＝∠AQB＝90°，∴△PBE∽△QAB.(2)相似．证明：∵△PBE∽△QAB，∴eq\f(BE,AB)＝eq\f(PE,BQ).由折叠可知BQ＝PB，∴eq\f(BE,AB)＝eq\f(PE,PB)，即eq\f(BE,PE)＝eq\f(AB,PB).又∵∠ABE＝∠BPE＝90°，∴△PBE∽△BAE.13．D14．C[解析]∵RQ⊥PS，TS⊥PS，∴RQ∥TS，∴△PQR∽△PST，∴eq\f(PQ,PS)＝eq\f(QR,ST)，即eq\f(PQ,PQ＋60)＝eq\f(80,120)，∴PQ＝120(m)．应选C.15．9[解析]由题意可得AB＝1.5m，BC＝2m，DC＝12m.易得△ABC∽△EDC，那么eq\f(AB,ED)＝eq\f(BC,DC)，即eq\f(1.5,ED)＝eq\f(2,12)，解得ED＝9.故答案为9.16．解：∵∠ADC＝∠FDE，∠ACD＝∠FED＝90°，∴△ACD∽△FED，∴eq\f(AC,EF)＝eq\f(CD,DE)，即eq\f(AC,0.25)＝eq\f(25,0.5)，解得AC＝12.5.∵AB⊥BG，DG⊥BG，DC⊥AB，∴∠ABG＝∠BGD＝∠DCB＝90°，∴四边形BGDC是矩形，∴BC＝DG＝1.5，∴AB＝AC＋BC＝12.5＋1.5＝14(米)．答：旗杆AB的高度是14米．17．D[解析]∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC.∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的eq\f(1,4)，∴矩形OA′B′C′与矩形OABC的相似比为1∶2.∵点B的坐标为(－4，6)，∴点B′的坐标是(－2，3)或(2，－3)．应选D.18．(2，0)或(－eq\f(4,3)，eq\f(2,3))[解析]①当两个位似图形在位似中心同旁时，位似中心就是CF与x轴的交点．设直线CF所对应的函数表达式为y＝kx＋b，将C(－4，2)，F(－1，1)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4k＋b＝2，,－k＋b＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,3)，,b＝\f(2,3)，))即y＝－eq\f(1,3)x＋eq\f(2,3).令y＝0，得x＝2，∴点O′的坐标是(2，0)．②当位似中心点O′在两个正方形之间时，可求得直线OC所对应的函数表达式为y＝－eq\f(1,2)x，直线DE所对应的函数表达式为y＝eq\f(1,4)x＋1.联立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x，,y＝\f(1,4)x＋1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(4,3)，,y＝\f(2,3)，))即点O′的坐标是(－eq\f(4,3)，eq\f(2,3))．综上可知，点O′的坐标为(2，0)或(－eq\f(4,3)，eq\f(2,3))．19．解：(1)如图，四边形A′B′C′D′即为所求．(2)如图，四边形A1B1C1D1即为所求．20．解：(1)①证明：∵∠PAB＋∠PBA＝180°－∠APB＝60°，∠PBC＋∠PBA＝∠ABC＝60°，∴∠PAB＝∠PBC.又∵∠APB＝∠BPC＝120°，∴△ABP∽△BCP.②∵△ABP∽△BCP，∴eq\f(PA,PB)＝eq\f(PB,PC)，∴PB2＝PA·PC＝12，∴PB＝2eq\r(3).(2)①如图，∵△ABE与△ACD都为等边三角形，∴BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD，∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD.在△ACE与△ADB中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝AD，,∠EAC＝∠BAD，,AE＝AB，))∴△ACE≌△ADB，∴∠1＝∠2.∵∠3＝∠4，∴∠CPD＝∠5＝60°.②证明：如图，连接AP，设AC与BD交于点F.易证△ADF∽△PCF，∴eq\f(AF,PF)＝eq\f(DF,CF).又∵∠AFP＝∠CFD，∴△AFP∽△DFC，∴∠APF＝∠DCF＝60°.∴∠APC＝∠CPD＋∠APF＝60°＋60°＝120°.同理可得∠BPA＝120°，∴∠BPC＝360°－∠BPA－∠APC＝120°，∴点P为△ABC的费马点．21．解：(1)证明：如图①.∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝eq\f(1,2)∠ACB＝40°，从而∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD为等腰三角形．∵∠BCD＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．(2)(i)当AD＝CD时，如图①，∠ACD＝∠A＝48°.∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝48°＋48°＝96°.(ii)当AD＝AC时，如图②，∠ACD＝∠ADC＝eq\f(180°－48°,2)＝66