湖北省2023届高三年级上册学期摸底联考数学试卷

高三数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅

笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签

字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试

题卷.草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：高考范围.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.若复数z满足（l+i）z=|l+i|,则z的虚部为（）

A一也iB.一包C.V2D.-V2

22

2.已知全集。=4^3=（0,2],4门年3=（1,2],则8=（）

A.（0,1]B.（0,2）C.（0,1）D.0

3.某密码锁的一个密码由3位数字组成，每一位均可取0,1,2,9这10个数字中的

一个，小明随机设置了一个密码，则恰有两个位置数字相同的概率为（）

A.0.09B.0.12C.0.18D.0.27

4.若3*=4,=10,z=logj，则（）

A.x>y>zB.y>x>z

Cz>x>yD.x>z>y

5.若(2x+l)"的展开式中V项的系数为160,则正整数”的值为()

A.4B.5C.6D.7

6.在平面直角坐标系xOy中，角。的大小如图所示，则9sin2e+sin2，=()

7.在平面直角坐标系xQy中，抛物线。：％2=2〃/5>0)的焦点为尸,/>是。上位于第一

象限内的一点，若。在点P处的切线与无轴交于M点，与)’轴交于N点，则与|PR|相等的

是()

A.|孙B.\FN\C.\PM\D.|ON|

8.已知函数/(x)=x—1—21nx,当1>1时，/任)>84/(力恒成立，则实数X的取值

范围为()

A.(-oo,—2]B.(—co,2jC.(―℃,一1]D.(―co,1]

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数〃力=0.5加2,则()

A./(x)是以2〃为周期的周期函数

B.直线“半是/(x)图象的一条对称轴

c.〃x）的值域为[2-R2&]

57r

D./（x）在n,—上单调递增

10.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇''与''善"谐音，折扇也

寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智

大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧。E,AC

所在圆的半径分别是3和9,且NA8C=120，则该圆台的（）

图1图2

A.高为4&B.体积为当2万

C.表面积为34万D.上底面积、下底面积和侧面积之比

为1:9:22

11.已知S“是数列｛4｝的前〃项和，且q=1,<?2=5,。“+2=2%+]+8。“，则（）

A.数列｛。向一4。“｝为等比数列

B.数列｛%+1+2a,,｝为等比数列

C7X48+28

C.;

6

22

12.已知双曲线C:]-马=1（“>0力>0）的右焦点为尸，左、右顶点分别为4出，则（）

A.过点&与C只有一个公共点的直线有2条

B.若C的离心率为、后，则点E关于C的渐近线的对称点在C上

C.过尸的直线与。右支交于M,N两点，则线段MN的长度有最小值

D.若c为等轴双曲线，点尸是c上异于顶点的一点，且%4|=|%|，则/尸44=巳

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知AABC是边长为1的等边三角形，设向量满足赤=3,恁=2+3,贝IJ

|3«+@.

14.若函数/（x）="+6'（a>0力>O,aHl力#1）是偶函数，则g的最小值为

15.利用分层随机抽样的方法，调研某校高二年级学生某次数学测验的成绩（满分100分）,

获得样本数据的特征量如下表：

人数平均成绩方差

男生327016

女生88036

则总样本的平均分为,方差为.

参考公式：〃个数电，…，土平均数为元=一^若，方差为

〃/=1

52=—52（^.—可2+考+・・・+片）一欣2]

参考数据：8x（36+802）+32x（16+702）-40x722=1440.

16.在直三棱柱ABC-44G中，A4,=2,AB=e，平面a经过点A,且满足直线A4

与平面a所成的角为30°，过点A作平面a的垂线，垂足为“，则3〃长度的取值范围为

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

Sn+1

17.在①q,%，自成等比数列，②nL二;一，③Z=2S4+4这三个条件中任选一个，补

充在下面问题中，并完成解答.

问题：在公差不为0的等差数列｛4｝中，其前〃项和为S“,4=16,是否存

在正整数女，使得&<24+20?若存在，求出所有的正整数女；若不存在，请说明理由.

18.在平面四边形ABC。中，对角线AC与3。交于点

E,NABD=45°,AE=EC,DE=2BE,AB=6,AD=3&•

D

(1)求AC的长；

(2)求sin/AOC的值.

19.某省为调查北部城镇2021年国民生产总值，抽取了20个城镇进行分析，得到样本数据

(x,.,yj(i=l,2,…,20),其中王和％分别表示第i个城镇人口(单位：万人)和该城

镇2021年国民生产总值(单位：亿元)，计算得

2020202020

£X(.=100,£Z.=800,£(X,.-X)-=70,£(X-7)-=280,£(X,.-X)(Z.-7)=120

/=1i=lZ=1i=li=l

(1)请用相关系数「判断该组数据中y与X之间线性相关关系的强弱(若“€[0.75,1],相

关性较强；若M《0.30,0.75),相关性一般；若re[-0.25,0.25],相关性较弱)；

(2)求，关于x的线性回归方程；

(3)若该省北部某城镇2021年的人口约为5万人，根据(2)中的线性回归方程估计该城

镇2021年的国民生产总值.

力&-元)(%一)

参考公式：相关系数产“,对于一组具有线性相关关系的数据

E(x,.-x)2J(y,.-y)2

Vi=li=l

(七,y)(i=1,2,…，其回归直线m=Ar+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为

-£（芍-T）（y,-方

8=归「------------，a=y-bx

/=!

20.如图，直三棱柱ABC-44G中，AC_L8C,AC=5C=2,CC1=3,点D,E分别

在棱A4和棱CG上，且A£>=1,CE=2.

B

(1)设尸为局G中点，求证：4尸〃平面8OE；

(2)求直线4月与平面所成角的正弦值.

21.已知椭圆C的焦点为〃-60),鸟(夜,0),且C过点耳、历』).

(1)求C的方程；

(2)设A为椭圆。的右顶点，直线/与椭圆C交于P,Q两点，且P,Q均不是。的左、右顶

\AM\1

点，M为PQ的中点.若扁=5,试探究直线/是否过定点？若过定点，求出该定点坐

标；若不过定点，请说明理由.

22.已知a.O,函数/(x)=or+—-hu.

x

(1)讨论函数/(x)的单调性：

(2)如果我们用"一机表示区间(〃?,〃)长度，试证明：对任意实数O..1,关于X的不等

式f(x)<2a+l的解集的区间长度小于2a+1.

参考答案

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】c

6.【答案】c

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】ACD

10.【答案】AC

11.【答案】AB

12.【答案】BCD

13.【答案】J7

14.【答案】4

15.【答案】①.72②.36

16.【答案】[73,3]

17.【解】设数列｛4,｝的公差为d，

选择①：由4，。3，。9成等比数列，得。；=。口9，即(4+24)2=q(4+&/),得=虐,

又。，()，所以q=d,

又为=16=q+3d,所以d=4,q=4,

所以%=471,Sn="(4；甸=2〃(〃+1),

所以耳<24+20,即2%(攵+1)—8攵一20<0,整理得小―3%―10<0,即一2(左<5,

又左为正整数，所以正整数上存在，可以取1,2,3,4.

Ji'

选择②：由jS=4I-1,取〃=2,得2s2=34,即2（4+2）=初2,所以4=2%，

a”L

又生=4+d，所以4=d,

又q+3d=16,所以d=4,4=4

所以％=4〃,S.=2〃（〃+1）,经验证满足条件②

所以5&<2%+20,即2Z（攵+1）—8攵一20<0,整理得公一3々一10<0,即一2<%<5,

又Z为正整数，所以正整数々存在，可以取1,2,3,4.

选择③：56=6a1+15d,S4=4a]+6d,又06=204+4,

所以6q+15d=2（4<7）+6d）+4,化简得2q+4=3d

又%+3d=16,所以d=4,4=4,

所以a”=4〃,S“=2〃（〃+l）,

所以5&<2%+20,即2Z（Z+1）-8Z—20<0,整理得左？一3左一IO<（）,即一2（左<5,

又左为正整数，所以正整数上存在，可以取1,2,3,4.

18.【答案】（1）AC=2版

4

（2）-

5

【小问1详解】

在中，由余弦定理，得A£>2=A52+B02-2AB.8Z>COS/AB。，所以

18=36+87）2-2X6XBQXCOS45°，化简得即？—6080+18=0，解得8。=30，

所以，8。=4。=3五,48=6,

所以，BD2+AD2=AB2,WJZADB=90°.又DE=2BE,则DE=2血，

所以，AE2=DE2+AD2=（272）2+（3>/2）2=26,

则AE=J^，又AE=EC,所以AC=2而.

【小问2详解】

由NADB=90,AE=726,DE=2&,AD=3夜,

咱.DE272AD3>/2

得sin^^EA.D=----=->—,cos^TEAD=-----=-,—.

AEV26AEV26

在△AC。中,由余弦定理，得CO?=A£)2+AC2-2AO-AC.cos/E4£>=50,

则8=5A/L

ACCD

在zMCO中,由正弦定理，得

sin/AOC-smZEAD'

2反£4

则

sin^ADC

5夜5

19.【答案】（1）＞与*之间具有较强的线性相关关系

〜12220

(2)y=­x+----

-77

(3)估计该城镇2021年的国民生产总值40（亿元）

【小问1详解】

20

£(X,.-X)(X-7)

i=l120120…r

题意知相关系数r=Fzo7,=——«0.857

770x280140

1=1

因为y与x的相关系数r满足卜|e[0.75,1],所以y与x之间具有较强的线性相关关系.

【小问2详解】

20

V/(x'-x)八(y%.-y)

y)12012

707

1=1

a=y-^=800.12x100=220(所以尸以

20720777

【小问3详解】

由(2)可估计该城镇2021年的国民生产总值2=亍x5+—7=40(亿元).

20.【答案】(1)证明见解析

⑵*

【小问1详解】

证明：取破中点G,连接尸G、DG,

则FGIICCJIAA,，且EG=GE，=等=2,

所以FG〃A。且FG=4。，所以四边形AOGE为平行四边形，所以A尸〃OG.

又A/u平面8DE，£>60平面8。石，

所以4尸〃平面瓦汨.

【小问2详解】

解：因为直三棱柱ABC—44G中AC_L3C,所以C4、CB、CG两两垂直.

分别以瓦、CB，区■的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标

系，

则5(0,2,0),£(0,0,2),0(2,0,1),4(2,0,0),

所以屁=(0,-2,2),诙=(2,—2,1),隔=丽=(—2,2,0),

设平面班应法向量为3=(x,y,z),则/B2=0，n-BD=0>

—2y+2z=0令y=i,得到平面BOE的一个法向量石=[；/,1

即＜

2x-2y+z=0

设直线A片与平面石所成的角为氏

；x(-2)+lx2+lx0

V2

则sin6=

：+1+1力4+4+0

所以直线4片与平面BDE所成角的正弦值为立

6

22

21.【答案】(1)—+^-=1；

42

(2)直线/过定点

小问1详解】

解：设椭圆C的长半轴长为。，短半轴长为半焦距为

因为|/=J[0-卜0)F+]2=3,因用=I,

所以但闻+|£河=4=2”，即。=2.

又因为c=J5，

所以。2=er-c*2=2>

又椭圆。的焦点在x轴上，且中心在坐标原点,

x22

所以。的方程为二+v二=1.

42

【小问2详解】

\AM\1IIII

因为缶1=5,则|PQ|=2|AM|,又因为"为P。的中点,

|尸Q|2

所以AP_LAQ,易知点A（2,0）,

设尸（”）,。（孙％）.

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为丫="+租,

由，，得（2/+1）/+4爪+（2m2-4）=0,,

所以A=16/病-4（2&2+1）（2“-4）=8（4/-加+2）>0,

-4km2〃"4

由韦达定理可得%+々=2&2+1'西/―2A2+1

AP=（x,-2,Ax,+m）,AQ-^x2-2,kx2+m）,

则

22

/AP-A<2=（X]_2）+（fcq+m）（5+m）=（k+ljjqx2+（k“一2）（玉+x2）+w+4=

2（病一2）（左2+1）-4版（板一2）

+m2+4=0»

2k2+\

化简可得3，"2+Skm+4k2=0>即（加+2%）（3加+2Z）=0.

若m=-2k,则直线/的方程为y=%（x-2）,此时直线/过顶点A,不符合题意;

若加=—：%,易知满足八=8（4左2—加2+2）>0,此时直线/的方程为y=A（x2

,直

线/过定点（jo）；

当直线/的斜率不存在时，设直线/的方程为则P（r,y）、Q（t,一％）,

22

所以1+五=1,

42

则=2-5,AP=(r-2,yJ,AQ=(/_2,_yJ,

而•而=Q-2)2-y；=(f—2)2—2+万产—期+2=0,

因为r#2,解得r=g,直线/过点(|,0)

综上，直线/过定点（g,0

22.【小问1详解】

解：f（x）=ax+^^--\