广东省六校2023届高三年级上册学期第一次联考数学试题

广东省六校2023届高三上学期第一次联考数学试题

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人得分

一、单选题

1.已知集合人=xSr>orB={x|y=ln（3-x）},则如图中阴影部分表示的集合为

()

A.[-1,3]B.（3,+<x））C.（-oo,3]D.[-1,3）

2.设复数2=^+且i,其中i是虚数单位，2是z的共物复数，下列判断中错误的是（）

22

A.zz=1B-z2=z

C.z是方程d-x+l=0的一个根D.满足z"eR最小正整数”为3

3.直线y=x-l过抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点F,且与C交于AJ3两点，贝lJ|A8|=

（）

A.6B.8C.2D.4

4.我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为

正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量y~3（〃,p）,当〃充分大时，二

项随机变量y可以由正态随机变量x来近似地替代，且正态随机变量x的期望和方差

与二项随机变量y的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗（1667-1754）在1733年证明了

P时这个结论是成立的，法国数学家、物理学家拉普拉斯（1749-1827）在1812年证

明了这个结论对任意的实数pe（0,1]都成立，因此，人们把这个结论称为棣莫弗一拉普

拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币900次，利用正态分布估算硬币正面向上次

数不少于420次的概率为（）（附：若X~N（丛片）,则

尸(〃一c^iJV〃+b)a0.6827,尸(〃一2成N〃+2o-)«0.9545,

尸(〃-3弗N〃+3cr)=0.9973)

A.0.97725B.0.84135C.0.65865D.0.02275

5.已知函数/(x)=Asin(0x+e)(xwR,A>O,0>O，Mq)的部分图象如图所示，则下列说

法正确的是()

A.直线X=7t是/(X)图象的一条对称轴

B./(x)图象的对称中心为(-工+配0),keZ

12

7T7T

C./(X)在区间上单调递增

_3O

D.将/(x)的图象向左平移七7T个单位长度后，可得到一个奇函数的图象

6.足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、

内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某‘'鞠"

2

的表面上有四个点P,A&C,满足PA=1,PAL面ABC,AC^BC,^VP_ABC=-,则该

“鞠'’的体积的最小值为()

三99

C

A.6B.2-万D.8-

4-ln4

设。=c=-,则()

2e

A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

8.定义在R上的函数满足/(T)+/(X)=0J(X)=/(2-x)；且当xe[0J时,

/(》)=无3-/+》.则方程7/(x)-x+2=0所有的根之和为()

试卷第2页，共6页

A.14B.12C.10D.8

评卷人得分

二、多选题

9.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A、

P（A）P（叫A）

B存在如下关系P（川8）=.某高校有甲、乙两家餐厅，王同学第一天去甲

P（B）

、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅

的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅,那么第二天去甲餐厅的概率为0.5,则王同学（）

A.第二天去甲餐厅的概率为0.54

B.第二天去乙餐厅的概率为0.44

C.第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为3

4

D.第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为:

10.已知函数/（x）=sinW-|cosx|,下列关于此函数的论述正确的是（）

A.兀是“X）的一个周期

B.函数的值域为卜啦,1]

C.函数在上单调递减

D.函数“X）在[-2兀,2司内有4个零点

22

11.已知双曲线c：£-方=1（。＞人＞0）的左，右顶点分别为A，4,点P,。是双曲

线C上关于原点对称的两点（异于顶点），直线尸4，PA,,的斜率分别为左小，&叫，

Qv若即人/网=5，则下列说法正确的是（）

A.双曲线C的渐近线方程为y=?=xB.双曲线C的离心率为立

42

C.%,•勺4为定值D.tanNA%的取值范围为（0，也）

12.如图，己知正方体ABCO-ABCA的棱长为2,点M为CG的中点，点尸为正方形

A旦G。上的动点，则（）

A.满足MP//平面BDAt的点p的轨迹长度为y/2

B.满足MP，AM的点P的轨迹长度为也

3

C.不存在点P,使得平面AMP经过点8

D.存在点P满足R4+PM=5

第H卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

评卷人得分

----------------三、填空题

13.若+的展开式中各项系数的和为2,则该展开式的常数项为.

14.如图放置的边长为2的正方形A8CD顶点A,。分别在x轴，V轴正半轴（含原点）

上滑动，则丽.花的最大值是.

15.己知。C：x2+y2-2x-2y-2=0,直线/：x+2y+2=0,M为直线/上的动点,

过点M作OC的切线初4,MB,切点为A,B,当四边形MAC8的面积取最小值时，

直线AB的方程为一.

16.若不等式a（x+l）e'-x<0有且仅有一个正整数解，则实数a的取值范围是.

评卷人得分

----------------四、解答题

2兀

17.已知在AABC中，A,B,C为三个内角，a,b,c为三边，c=2/?cos8,C=—.

试卷第4页，共6页

⑴求角B的大小；

（2）在下列两个条件中选择一个作为已知，求出8c边上的中线的长度.

①△然（:的面积为宏L

4

②“WC的周长为4+26.

18.已知数列的前"项和为S,,,且满足4=1,2s"="凡+|,neN*.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）设数列出｝满足&=1,。仇“=2”,〃wN*,按照如下规律构造新数列｛c„｝：

q也,为也，为也，…，求｛%｝的前2〃项和.

19.如图（一）四边形ABC。是等腰梯形，DC//AB,DC=2,AB=4,ZABC=60°,

过。点作OE_L48,垂足为E点，将△血）沿折到AA'EO位置如图（二），且

A'C=25/2.

图（一）图（二）

（1）证明：平面AED_L平面EBCZ）；

Arp1

⑵已知点尸在棱AC上，且正=万，求二面角C-EP-。的余弦值.

20.足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，

决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.

（1）为了解喜爱足球运动是否与性别有关,随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查,

得至IJ2x2歹U联表如下：

喜爱足球运动不喜爱足球运动合计

男性6040100

女性2080100

合计80120200

依据小概率值。=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？

(2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次

传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且

假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，第〃次触球者是甲的概率

记为勺，即片=1.

(/)求尸3(直接写出结果即可)；

⑷)证明：数列［匕-共为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的

大小.

21.椭圆G：5+£=l(a>6>0)经过点且离心率为向；直线/与椭圆G交于A,

3两点，且以A8为直径的圆过原点.

⑴求椭圆G的方程；

(2)若过原点的直线加与椭圆G交于C,D两点，S.OC=t(OA+OB),求四边形AC8O面

积的最大值.

22.已知函数f(x)=ln(x+l)-l,

⑴求证：/(X-1)<2A/^-3；

⑵设函数g(x)=(x+l)/(x)-；or2+l，若g(x)在(0,内)上存在最大值，求实数〃的取值

范围.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.D

【解析】

【分析】

解不等式求得集合4B,根据已知图可知阴影部分表示的集合是@A)nB,根据集合的补集

以及交集运算，可求得答案.

【详解】

解g>0得x<-l或x>3,故人=卜署>0={x[x<-l或x>3},

3={乂y=ln(3-x)j={x|x<3),

由图可知阴影部分表示的集合是而2A={x|-14x43},

故@,A)n8={x|T4x<3},

故选：D

2.B

【解析】

【分析】

A选项，得到z的共辗复数，利用复数的乘法运算法则进行计算;

B选项，利用复数的乘方运算进行计算；

1

百

将z=-+

C选项,2代入方程进行验证；

T16

1

由

Z=-+一2

D选项,2,计算出”匕3,得到结论.

【详解】

z=-,zz=—+-^-i-=—+—=1,A选项说法正确;

22122"22J44

z2==—+-^i+—i2=——+-^-iz,故B说法错误；

(22142422

m斗2,(1V3.Yf1,143.I出.—

122J"2J2222

所以z是方程x2-x+l=0的一个根，C选项说法正确；

答案第1页，共21页

因为Z=；+争,z」；+奈16,3.2

z3

2272244

所以满足z"wR最小正整数〃为3,D说法正确.

故选：B

3.B

【解析】

【分析】

联立直线与抛物线的方程，根据抛物线的焦点坐标，结合焦点弦长公式求解即可

【详解】

因为抛物线C:/=2Px(p>0)的焦点坐标为F(5,0),

又直线y=X-1过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,所以P=2,抛物线C的方程为/=4x,

\y=x-l.,

由fy2_4x，得J-6x+l=0，所以4+4=6,所以|AB|=X“+XB+P=6+2=8.

故选：B

4.A

【解析】

【分析】

根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，求出

22

A=E(X)=450,O-=E>(X)=225=15,再结合正态分布的对称性，即可求解

【详解】

抛掷一枚质地均匀的硬币900次，设硬币正面向上次数为X,则

X~q900,g),E(X)=〃p=900x：=450,£>(X)=〃p(l-p)=900x；x(l_g)=225,由题意,

X~N出靖,且〃=E(X)=450,/=0(x)=225=152,因为

「(M-2a领k〃+2o■卜0.9545,即P(450—2xl5领k450+2x15)«0.9545,所以利用正态

分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为

()9545

p(X庞侬)=P(X450-2x15)-2+0-5=0.97725.

故选：A.

答案第2页，共21页

5.C

【解析】

【分析】

由已知图象求得函数解析式，将》=兀代入解析式，由其结果判断A;求出函数的对称中心可

判断B;当时，2x+?e[-U],结合正弦函数的单调性判断C;根据三角函数图

象的平移变换可得平移后函数解析式，判断D.

【详解】

57r7T

由函数图象可知，A=2,最小正周期为丁=4(兰-2)=兀,

126

所以。=427r=2,

71

将点(：2)代入函数解析式中，得：2=2sing+0),结合M|<1，

所以夕<二，故/(x)=2sin(2x+g),

66

对于A,当X=TT时，/(7t)=2sin(27t+^)=l,故直线x=兀不是/(x)图象的一条对称轴，A错

6

误；

对于B,令/(为)=2sin(2x+二)=0,则2x+^=E,ZwZ,=—--+—eZ,

66122

即f(x)图象的对称中心为(4+”,0),keZ,故B错误；

122

对于C,当无/一】，5时，2x4-5e[~^],由于正弦函数y=sinx在[-Eg]上递增，

L36J62222

7T7T

故/(X)在区间一彳,工上单调递增，故C正确；

5o

对于D,将/(X)的图象向左平移三个单位长度后，得至IJg(x)=2sin[2(x+=)+T=2sin(2x+1)

121263

的图象，该函数不是奇函数，故D错误；

故选：C

6.C

【解析】

【分析】

根据三棱锥的外接球的球心到所有顶点距离相等，且都为球半径，即可找到球心的位置，然

后在直角三角形A8C中，根据基本不等式即可求解AB最小值，进而可得球半径的最小值.

【详解】

答案第3页，共21页

取AB中点为。，过。作ODIIPA，且。。=：PA=g,因为R4，平面A8C,所以0D1平面ABC.

由于AC,BC,故D4==DC,进而可知Q4=08=OC=OP,所以。是球心.0A为球的半

径.

11?

由V-BC=]X5AC•C8-PA=§nAC♦C8=4,又AB12=AC2+BC2>2AC-8c=8,当且仅当

AC=BC=2,等号成立,故此时AB=2V2，所以球半径

R=0A=,0D?+&AB)>JW+(&)'=|,故Rn“n=g,体积最小值为

故选:C

【解析】

【分析】

结合已知要比较函数值的结构特点，可考虑构造函数/（力=3,然后结合导数与单调性关系

分析出x=e时，函数取得最大值〃e）=]可得c最大，然后结合函数单调性即可比较大小.

【详解】

设〃x）弋，则:（正审，

当x>e时,广（力<0,函数单调递减，当0<x<e时,/'（力>0,函数单调递增，

故当x=e时，函数取得最大值〃e）=L

e

1e2

m班2（2-ln2）11/d]ln2In4,、1（、

因为“=-—=fT，。=下=丁=f（4），c=%=〃e）,

T

ve<—<4,

2

答案第4页，共21页

当x>e时，/(X)<0,函数单调递减，可得f(4)</图</(e),

即b<a<c.

故选:C

8.A

【解析】

【分析】

根据题中所给的函数性质可得“X)的周期为4且关于(2,0),再画图分析y=/(x)与

y=^(x-2)的交点对数，进而根据对称性可得根之和即可.

【详解】

由/,(-*)+/(x)=0,/(x)=八2-x)可得/(X)为奇函数，且关于X=1对称.

又由题意/(—x)=—/(x),故〃x)=〃2-x)=—/(2+x),所以f(x)关于(2,0)对称，且

/(x)=-〃2+x)=/(4+x),故人”的周期为4.

又当xw［0,l］时，f(x')=xi-x2+x,止匕时/'(工)=3X2-2x+l=3(工一；)+'!>(),故

/(%)=父-/+x在xe［0,11为增函数.综上可画出y=/(%)的函数部分图象.

又方程7/(x)-x+2=0的根即y=/(x)与y=*-2)的交点，易得在区间［-5,2),(2,9］上均

有3个交点，且关于(2,0)对称，加上(2,0)共7个交点，其根之和为3x2x2+2=14

故选：A

【点睛】

本题主要考查了数形结合解决函数零点的问题，需要根据题意确定函数的性质，画出简图再

根据对称性分析两函数相交的点.属于难题.

答案第5页，共21页

9.AC

【解析】

【分析】

根据题中所给的公式进行逐一判断即可.

【详解】

设A：第一天去中餐厅，&：第二天去中餐厅，

B1：第一天去乙餐厅，层:第二天去乙餐厅，

所以尸(4)=04,p(B,)=0.6,P(4|A)=0-6,P(4陶)=0.5,

因为「阳”"泮二。6尸阔即=乂*=2

所以P(A)P(4|A)=0.24,P(A)P(B||A)=0.3,

所以有P(A?)=P(A)P(A?IA)+P(A)P(4怛I)=0.4X0.6+0.6x0.5=0.54,

因此选项A正确，P(B2)=l-P(4)=0.46,因此选项B不正确；

035

因为P(Bj4)=市J=所以选项c正确；

m)W|A)尸(A)[1-P(4|A)]0,4X(1-0.6)8丽皿毋币c7工隔

P⑶勾=尸⑸=一百一=0.46F所以选项D不正确’

故选：AC

10.BD

【解析】

【分析】

判断A选项，举出反例即可；

判断B、D选项，从函数奇偶性和xe[0,+e),/(x)=/(x+2Jt),得到周期为2兀，进而得到

函数的图象性质，得到零点和值域；

判断C选项，代入检验得到函数单调性，判断C选项.

【详解】

解：选项A：因为/(a=()*/(£+a=-^,兀不是〃x)的一个周期，故A错误；

选项B、D：函数〃x)定义域为R,并且/(-x)=/(x),所以函数为偶函数；因为xe[(),+8),

答案第6页，共21页

/(x)=/(x+2n),为周期函数,

故仅需研究函数/5）在区间I。，2扪上的值域及零点个数即可，因为,2泪时,

f(x)=sinx-cosx=>/2sin(x-—)；

4

当X呜,争时,f(x)=sinx+cosx=\[2sin(x+—)；

4

当"I。，"U百，2n］时,令2=七,弓,争,

则y=&sin/,y-f,2，,当,可得y*也,U且仅一个零点;

44^44

当时，令X+［手，与］,则〉=&5由1,［手，与］，

2244444

可得），©［-上，11且仅一个零点;

所以函数/（X）的值域为［-&,1］且在［-2兀，2汨上有4个零点.故选项B正确，选项D正确.

选项C函数/（x）在［手，粤］上，有/1（x）=sinx+cosx=7isin（x+1）,所以x+£e［jt,号］,则

434412

得函数/（X）在该区间上不单调.故选项C错误.

故选：BD.

11.BCD

【解析】

【分析】

求得双曲线C的渐近线方程判断选项A；求得双曲线C的离心率判断选项B；化简距.，/例

后再判断选项C；求得tanNA/A的取值范围判断选项D.

【详解】

设P（x,y）,则丁=从F-i，因为A（—60），4（。,0），

故人心一y一V-1”从，

'Ax+ax-ax2-a2x2-a2a2

依题意有4=3,所以2=且，

a24a2

所以双曲线C的渐近线方程为＞=±2》=士且x,

a2

答案第7页，共21页

离心率e=故选项A错误，选项B正确;

因为点尸，。关于原点对称，所以四边形A2。为平行四边形，即有砥血=%廿，

3

所以2%=%.%=1,故c正确；

3

设尸4的倾斜角为a,P4的倾斜角为夕，由题意可得tana-tan/?=：,

4

则幺%=W—刈，根据对称性不妨设尸在X轴上方，则人＞〃，则NAP4=£-a,则

/\

/.n*/q\tanp-tana4/,.\4.3

tanZAPA=tan(p-a)=------------------=-L~^PA=_K----------,

‘"''l+tana-tan/7、叫＞7PPAA14k„.

因为P在x轴上方，则%＞见,或＜0,

函数小)=X-2在一孚0)和件内上单调递增，

所以tanNAP&e(0,+oo),故D正确.

故选：BCD.

12.ACD

【解析】

【分析】

A选项，作出辅助线得到面面平行，从而得到满足MP//平面BDAt的点P的轨迹长度为EF的

长，为正，A正确；

B选项，作出辅助线得到满足AM的点P的轨迹长度为线段ST的长度，

又因为ST=变，B错误；

2

C选项，作出辅助线，得到平面ABM截正方体所得的截面，根据截面与与正方形ABIGR没

有交点，故不存在点P，使得平面4Mp经过点8;

D选项，作出辅助线，求出A4+PM的最小值，且存在点P使得PA+PM=2&+石＞5,

故可得到存在点P满足%+PM=5.

【详解】

如图1,取8c的中点F,取GR的中点E,连接EF,FM,EM,

答案第8页，共21页

因为M为ca的中点，

所以ME"A\B,FMII\D,

因为£F<Z平面A/D,3£>u平面ABO,

所以EF//平面AB。，同理可得：例/〃平面A1。，

因为EF,MFu平面EFM,

所以平面£7W//平面Af。，

因为点P为正方形ABCQ上的动点，

所以当P在线段EF上时，〃平面BDAt,

故满足MP〃平面的点P的轨迹长度为环的长，为正，A正确;

图1

如图2,过点M作MQ1.AM,交于点Q,可得：Rt^ACM~Rt^MC.Q,

因为正方体ABC。-ABCA的棱长为2,点加为CC的中点，

t-ACC.M

所以AC=2CM=GM=1,故为7=六7，

即半=为，解得：32=坐，

1GQ4

过点Q作ST//BQ,交CQ于点S,交及G于点T,

则ST,平面ACGA，因为A/u平面ACGA，

所以STLAM,

答案第9页，共21页

当点P位于线段ST上时，满足MP_LAM,

即满足MP的点尸的轨迹长度为线段ST的长度,

又因为S7=走，所以B选项错误；

2

图2

如图3,连接8M,取。。中点“，连接AH,HM,则可知平面48M截正方体所得的截面为

ABMH,与正方形没有交点，

图3

所以不存在点P,使得平面AMP经过点B

故C正确；

如图4,延长CG到点o,使得GO=M£,则点M关于平面AMGR的对称点为0,

连接AO交正方形A4C2于点P，则此时使得R4+P”取得最小值，

最小值为AO=y)AC2+CO2=>/8+9=V17，

当点P与用重合时，此时PA+PM=2&+石>5,

答案第10页，共21页

故存在点尸满足PA+PM=5

D正确；

故选：ACD

13.40

【解析】

【分析】

由(x+0)(2x」)”的展开式中的各项系数的和为2,令x=l,求得。=1,写出(2%-%的展开

XXX

式的通项，分别乘以X,再令X的指数为0求得，值，则展开式中的常数项可求.

【详解】

解：由(x+-)(2x-^)»的展开式中的各项系数的和为2,

XX

令x=1,得(〃+1)*15=2,得a=1.

(%+一)(2尢—)n=(x+—)(2x—)5,

xxxx

(2x--)5的通项加=C(2x)5-f(--)r=(-l)r-25-r-C；•尸，=0,1,2,3,4,5.

X'X

(X+-)(2A--)5的展开式中的通项有V.产"和(T)，.2〜.墨.X，-".

XX

令4-2r=0,得r=2,则展开式中的常数项为(-1产"=80；

令6-2/•=(),得r=3,则展开式中的常数项为(-»2=-40,

所以该展开式的常数项为80-40=40.

答案第11页，共21页

故答案为：40.

14.8

【解析】

【分析】

设A(x,0)、D(0,y),易得f+>2=4、5(x+y,x)、C(y,x+y),利用向量数量积的坐标表

示有赤•近42(f+V),即可确定最大值.

【详解】

设A(x,0),0(0,y),则x2+y2=4,

所以B(x+y,x),C(y,x+y),

于是OB-OC=(x+y,x>(y,x+y)=x?+2xy+y2<2(x2+y2)=8.

当且仅当x=y=四时，等号成立.

故答案为：8.

15.x+2y+l=0

【解析】

【分析】

易知四边形MACB的面积为S=-4,然后由河。最小，可得直线CM的方

程，与G)C的方程联立，得到M点坐标及|CM|的值，进而得到以CM为直径的圆的方程，

与OC的方程作差可得直线AB的方程.

【详解】

QC-f+y2_2x_2y_2=0的标准方程为(x_l)2+(y_lf=4,

则圆心半径r=2.

因为四边形M4CB的面积5=25”.=愕|?卜必4\AM\=[CM2-,

要使四边形MACB面积最小，则需|CM|最小，此时CM与直线/垂直，

直线CM的方程为y-l=2(x-l),即y=2x-l,

联立I；；；；：。，解得M(0,-l).则|CM卜石，

答案第12页，共21页

则以CM为直径的圆的方程为卜-+9=(，

与。C的方程作差可得直线AB的方程为x+2y+l=0.

故答案为：x+2y+i=0.

r2iA

16.7T，丁

L3e2eJ

【解析】

【分析】

a(x+l)e'—x<0-a(x+l)<£Tg(x)=a(x+l),〃(x)=三，研究两个函数图像并得到点

ec

A同,眼3T数形结合一袅”(

【详解】

依题意不等式a(x+l)e"—x<o可化为a(x+l)<

令g(x)=a(x+l),/?(x)=p-,xeR.

函数g(x)=a(x+l)的图像恒过定点P(-l,0).函数力(》)=金，〃(x)=M，

当xe(yo』)时，/Z(x)>0,/?(x)单调递增；当时，//(x)<0,〃(x)单调递减.

所以当尤=1时，//(》)2=碎)=：.又力(2)=1,记点且40)=0,

当xf+8时，〃(x)-0+.作出函数/?(x)大致图像，如图.

若满足不等式a(x+l)e'-x<0有且仅有一个正整数解，则结合函数图像必有原3

答案第13页，共21页

又因为女e_J_.所以—y.

^PB1-(-1)-2e3e-2e

【点睛】

根据不等式的零点个数，求解参数的取值范围问题，通常会转化为两函数交点问题，要画出

函数图象，数形结合进行求解.

17.(D«=-

(2)答案见解析

【解析】

【分析】

27r

(1)由正弦定理可得sinC=2sinBcos8,再由C=^和B的范围可得答案；

(2)选择(1),由(1)可得。=6,则＜4%=：。从抽(7解得。，则由余弦定理可得边

上的中线的长度为：选择(2)：由(1)可得A=£,设AABC的外接圆半径为R,则由正弦

定理可得C,则周长a+!b+c=2R+GR解得R,由余弦定理可得8c边上的中线的长度.

(I)

,:c=2&cosB,则由正弦定理可得sinC=2sinBcosB,

sin2B=sin,VC=^,/.2Be(0,5)，

.♦.28=弓，解得B=[

36

(2)

7T

若选择⑴，由(1)可得即

则5~1叱=L〃/?sinC=,解得〃=百，

Zi/iov2224

则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：

/+仁]-2.呜＜吟=小+:+6考=誓-

若选择(2)：由(1)可得A=m，设&4BC的外接圆半径为七

6

则由正弦定理可得”=6=2Rsin¥=R,c=27?sin—=^/?,

63

则周长a+b+c=2R+GR=4+26,解得R=2,则a=2,c=2后,

答案第14页，共21页

由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：^(2V3)2+12-2-2^-1-COS^=V7.

18.(1)a„=n,neN*;(2)数列｛%｝的前2〃项和为2e+/-2.

【解析】

【分析】

(1)由4=5“一Si(〃N2)可得削="(〃22)可得答案;

n+in

(2)由匕也M=2"得仇,也"2=2向，两式相除可得数列他,｝的偶数项构成等比数列，再由(1)

可得数列｛6｝的前2〃项的和.

【详解】

(1)由2S“=nan+l,25„_)=(rt-l)a„(n>2),

得2a„=nan+l-(n-l)a„t所以气=组(”22).

因为2s产劣，所以。,=2,所以%=&=1,«„=n(n>2).

n2

又当力=1时，4=1,适合上式.

所以=〃，〃£N.

(2)因为她“=2","访『2”",所以罟=2(〃eN.)，

又4打=2,所以打=2.

所以数列｛%｝的偶数项构成以仇=2为首项、2为公比的等比数歹U.

故数列｛%｝的前2〃项的和T2n=(O1+O,4--+%1T)+(方2+d4---也"),

21-2，

T_«(l+2n-l)(1)_2„+122

------------1---------Z十〃-L

2"21-2

所以数歹(I｛。｝的前2"项和为+*-2.

【点睛】

本题考查了数列的通项公式、求和，解题的关键点是利用a"=S"-S,i(〃N2)求通项公式和

分组转化求和，考查了学生的分析问题、解决问题和计算能力.

19.(1)证明见解析

答案第15页，共21页

⑵叵

14

【解析】

【分析】

(1)根据勾股定理证明AE_LEC,再根据线面垂直的判定证明A'EJ"面EBC。，进而得到

平面平面EBCD；

(2)以E为坐标原点，建立空间直角坐标系E-xyz,分别求得平面CEP和平面的法

向量，根据面面角的向量求法求解即可

(1)

证明：在等腰梯形A8CQ中，DELAB,.'.DE1AE,：.A'ErDE

DC=2,AB=4,ZABC=60°,：.BE=3,BC=AD=2,DE=6

在A£BC中，知EC=V7,vAE=AE=\,,:A'C=2近，A'E2+EC2=A'C2

A'EYEC,EC,DEu面EBCD,EC^DE=E,4£，面EBCD

,/AEu面AED,.•.面AED_L面EBCD

(2)

由(1)知人国上面殖。。，EDA.EB

...以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系E-xyz

A（O,O,l）,D（0,V3,0）,C（2,g,0）,GY=（-2,-73,1）

设:丑,CP2___2________（232）

>.-----——：.CP=-CA,A£P=EC+CP=

CA'33\7

设［=a，y”zj是面CEP的法向量,

262c

nEP=O铲।+号¥+铲=0

t令％=，

1•反=0

2X[+上y、=0

答案第16页，共21页

Ji=-2,Z[=0,n}=(石，-2,0)

设%=(工2，%，22)是面DEP的法向量,

2X2+6y2+2Z2=0

回2=0

令2,=-1,<々=1,=(1,0,—1),cos6=-7=—/

■V2xV3+4

由图知，二面角C-£P-O的余弦值为锐二面角，余弦值叵

20.(1)喜爱足球运动与性别有关

(2)(;)8=g；(2证明见解析，甲的概率大

【解析】

【分析】

(1)计算出卡方，与10.828比较得到结论；

(2)(/)根据传球的等可能性推出吕=g,(/7)推导出匕=g(l-9i)，构造出等比数列，

求出K=；x,gJ'+；,得到比较出大小.

(1)

假设H。：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关.

根据列联表数据，经计算得

，200x(60x80-20x40)2100，…。

7-=------------------=—>10.828=$

100x100x80x1203^001

根据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断”。不成立，

即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.

(2)

(/)由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中

的一人，故传给甲的概率为g,故

(")第〃次触球者是甲的概率记为4，则当〃22时，第九7次触球者是甲的概率为Ci，

第〃-1次触球者不是甲的概率为1-匕…

答案第17页，共21页

则2=4L「O+(I-EI)《=#I一匕J，

从而〜卜一：,「；)

又4一，=。,；」匕-Ji是以1为首项,公比为的等比数列.

44[4]43

则E'=W)+5

819

.D3(1Y11D3fn11

,•=-xH—〉一，E()=_XH—<—»

194OJ442043J44

%>修),故第19次触球者是甲的概率大

21.(1)—+^-=1

33

(2)2>/3

【解析】

【分析】

(1)根据椭圆过的点以及椭圆的离心率，可列出等式，求得“力，即得答案；

(2)分类讨论直线AB的斜率不存在和存在两种情况，斜率存在时，设直线4B方程，联立

椭圆方程，得到根与系数的关系式，根据条件求出参数之间的关系式，进而表示出四边形

AC8D的面积，进行化简，可求得答案.

(1)

椭圆6：，+3=13>“0)经过点醺1,1),*+/=1,

椭圆的离心率为也,则"="2,即“2=毋,

2

即方1+乒1=1，解得。2=3,6=；3,

所以椭圆C1的方程为二+空=1.

33

(2)

当直线A3斜率不存在时，设以A8为直径的圆的圆心为0,0),

产力2

则(X—)2+y2=〃，则不妨取A(f"),故人+二=1,

33

解得/=土1,故方程为尤=±1,

答案第18页，共21页

直线C。过A3中点，即为X轴，得|阴=2,\CD\=2y/3,

故枭虑。=34邳18|=26；

直线A8斜率存在时，设其方程为丫=h+利，A（x“yJ,8（%，必），

联立/+2)'=3,n^^(2k2+l)x2+4kmx+2m2-3=0,

y=kx+m

则A=4(6公-2m2+3)>0①，

4km〜2m2-3

x,+x=------②，x,x=——-----③,

22k2+\