2023年初中数学竞赛辅导讲义及习题解答锐角三角函数

第十六讲锐角三角函数古希腊数学家和古代中华人民共和国数学家为了测量需要,她们发现并经常运用下列几何结论:在两个大小不同直角三角形中，只要有一种锐角相等,那么这两个三角形相应边比值一定相等.正是古人对天文观测和测量需要才引起人们对三角函数研究,1748年通过瑞士知名数学家欧拉应用，才逐渐形成当前sin、cos、tg、ctg通用形式．三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间关系,是数形结合桥梁之一，有如下丰富性质:1.单调性；2．互余三角函数间关系；3．同角三角函数间关系．平方关系:sin2α+cos2α=1;商数关系：ｔｇα=,cｔgα=；倒数关系：tgαｃtgα=1．【例题求解】【例1】已知在△ABC中，∠A、∠B是锐角,且ｓiｎA＝,taｎB=2,AB=２9cｍ,则S△ＡBC=.思绪点拨过C作CD⊥AＢ于Ｄ，这样由三角函数定义得到线段比,siｎA=，ｔanB＝，设CD=５m,AC＝１３m，CD=２n，ＢD=n，解题核心是求出m、n值.注：设△ABC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C对边,R为△ABC外接圆半径,不难证明：与锐角三角函数有关几种重要结论:(1）S△ＡBC=;(2）．【例2】如图，在△ABC中.∠ＡCB＝90°,∠AＢＣ=１5°，ＢC＝1,则AC=(）A．B.Ｃ．０．3D．思绪点拨由1５°构造特殊角，用特殊角三角函数促使边角转化.注:（１)求（已知)非特角三角函数值关是构造出含特殊角直角三角形.（2）求(已知)锐角角函数值常依照定转化为求相应线段比,有时需通过等比来转换．【例3】如图,已知△AＢC是等腰直角三角形，∠AＣB=９0°，过ＢC中点D作ＤE⊥AB于E,连结CE，求sｉｎ∠ACE值．思绪点拨作垂线把∠ACE变成直角三角形一种锐角,将问题转化成求线段比.【例4】如图,在△ＡBＣ中，AD是BC边上高，tａｎB=cos∠DＡC，(1)求证：ＡＣ=ＢD;(2)若sｉnC＝,BC=12,求ＡD长．思绪点拨(1)把三角函数转化为线段比,运用比例线段证明;(2）sinC=,引入参数可设AＤ=12，AC=１3．【例5】已知:在Rｔ△ＡBＣ中,∠Ｃ=９0°,sinA、ｓinB是方程两个根.(1）求实数、应满足条件；(２)若、满足(1）条件,方程两个根与否等于Rt△ＡBC中两锐角A、B正弦？思绪点拨由韦达定理、三角函数关系建立、等式，注意鉴别式、三角函数值有界性,建立严密约束条件不等式，才干精确求出实数、应满足条件.学历训练1．已知α为锐角，下列结论①sinα+cosα=l;②假如α>45°，那么sｉnα>cosα;③假如coｓα>，那么α<６０°;④.对的有．2．如图，在菱形ABＣD中,AE⊥ＢＣ于Ｅ，BC=1,ｃｏsB,则这个菱形面积为．3.如图，∠C=90°,∠DBC=30°,AB=BD,运用此图可求得tａn75°=．4.化简(１)=.(２）sｉn2l°＋siｎ２2°＋…+sin288°＋ｓin２89°=．5．身高相等三名同窗甲、乙、丙参与风筝比赛.三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表（假设风筝线是拉直),则三人所放风筝中(）Ａ.甲最高Ｂ．丙最高C.乙最低Ｄ.丙最低6.已知sｉnαｃｏsα=,且0°＜α<4５°则cｏα－sｉｎα值为(）Ａ.B．C.Ｄ．7．如图,在△ABC中,∠C=90°，∠ＡBC=30°，D是ＡC中点,则ctg∠ＤBＣ值是(）A.B.C．D．８．如图,在等腰Ｒｔ△ABC中.∠Ｃ＝90°,AC=6,D是AC上一点，若tan∠DBA＝，则AD长为()A．B.2C.１D.９.已知关于方程两根恰是某直角三角形两锐角正弦，求ｍ值.10.如图，D是△ＡBC边ＡＣ上一点，ＣD=2ＡD,AE⊥BC于E，若BD＝8，sｉn∠CBＤ＝,求AE长．11．若0°＜α<4５°,且sinαｃoｎα=，则siｎα=．１2．已知关于方程有两个不相等实数根，α为锐角，那么α取值范畴是．1３．已知是△ＡBC三边,ａ、b、c满足等式,且有,则sｉnA＋sinB+sｉnC值为．14.设α为锐角，且满足sｉnα=3coｓα,则sinαcosα等于（)A．B.C．D.15．如图，若两条宽度为1带子相交成3０°角,则重叠某些(图中阴影某些)面积是()Ａ.2B．C.1Ｄ.16．如图，在△ABC中，∠A=３0°，tａnB＝,AC=，则AB长是()A．B．C．5D．17.己在△ＡBＣ中，ａ、b、ｃ分别是∠Ａ、∠B、∠Ｃ对边,且c=，若关于方程有两个相等实根,又方程两实根平方和为６,求△ABC面积．1８.如图,已知ＡＢ＝ＣＤ=1,∠ABC＝90°，∠CBＤ°=30°,求ＡC长.19．设a、ｂ、c是直角三角形三边，c为斜边,ｎ为正整数，试判断与关系,并证明你结论.２0．如图，已知边长为２正三角形ABC沿直线滚动.(1）当△ABC滚动一周到△AlB1C1位置，此时A点所运动路程为,约为(精确到0．１,π=3.1４)（2