2023年竞赛中的复数问题

Ｙ．P．M数学竞赛讲座1竞赛中的复数问题复数不仅具有自身知识体系的丰富性，并且还与代数、三角、几何之间存在内在的紧密联系.复数的演绎独具特色,饶于技巧，复数是竞赛数学的内容之一.一、知识结构1.概念与运算:⑴表达形式：①代数式:z=a＋bi(a,ｂ∈R);②三角式:z=r(cｏsθ+isinθ）（r≥0,θ∈Ｒ）;③指数式:z=reiθ（r≥0,θ∈R）；④欧拉公式:ｅiθ=cosθ+iｓｉnθ,θ∈R.⑵共轭与模:①=;=;=;②｜|z1｜-|z2｜|≤|z１+ｚ2|≤|z1｜＋|z2|;|z1ｚ２|=|ｚ1|｜ｚ２|;||=;③ｚ=|z|2=||2;④z=z∈R；|ｚ｜=|Ｒe(z）|z∈R.⑶运算法则：①乘法:r１(cosθ１＋ｉsｉnθ2)r2（cosθ2+isinθ2)＝r1r2(cｏs(θ1＋θ2)+isin(θ1＋θ2）);②除法:=(cos（θ1-θ２）+isin（θ1-θ２)）;③乘方：[r(ｃｏsθ+ｉsinθ）]n=rn(cosｎθ+ｉsiｎnθ）;④开方:zn=r(cｏｓθ+isiｎθ）z＝(cos＋isin)(k=0，1,2…,ｎ－１).２.辐角与三角：⑴辐角性质:①定义:若ｚ=r（ｃｏsθ+ｉsinθ)(r≥０，θ∈Ｒ),则θ称为复数z的辐角，记为Arｇz;特别地，当θ∈[0,2π)时,则θ称为复数ｚ的辐角主值，记为argz；②运算:Argz１+Argz2=Arg(ｚ１z2）;Ａrgz1-Argz2=Arg（)=Arg(z1）;nＡrｇz=Argｚｎ；③性质:若z=coｓθ＋isｉnθ,则1＋z=2cos(coｓ＋isin);1-ｚ=－2ｓｉｎ(coｓ+isiｎ)．⑵单位根:①定义:方程ｘn=1的n个根叫做n次单位根，分别记为ωk(ｋ=０，1,２,…,ｎ-1);ωk=(cos＋isin)(ｋ=０,1,2…,n-１);②性质:ω0=1；ωｋ=ω1ｋ;ωkωｊ=ωk+ｊ;单位根的积仍是单位根;n次单位根的所有为:1,ω1,ω１2,…,ω１ｎ-1;③1+ω1+ω１２＋…+ω１ｎ-１=0,(x-１)（x-ω1)(x-ω12)…（x－ω１n－1)=xn-1．⑶基本结论：①实系数n次方程的虚根α与其共轭复数成对出现;②若|z１|=｜z2|＝…=｜ｚn|，且z１+z2+…+ｚｎ=0，则ｚ1，z２，…,zn相应的点是正ｎ边形的顶点,且正n边形的中心在坐标原点;③若复数z1,z２相应的点分别为Z1，Z２,且ｚ1=z0z2，则∠Z1OZ2＝argz0,或ａrgz0-π.3．复数与几何:⑴基本原理：①点的相应:复数z＝x+yi与点Z(ｘ,y)成一一相应;②向量相应:复数z=x+ｙi与向量=(x，y)成一一相应;③距离公式:复数ｚ1,ｚ2相应的点分别为Ｚ１,Z2，则｜Z１Z２|＝|ｚ1-z2|;④旋转公式:复数z1,z２相应的点分别为Z１,Ｚ2,向量绕点Z１逆时针旋转θ角,再伸长r(r>0)倍,则所得向量中的Z相应的复数z＝z1＋r(z2－z1)(cosθ+isinθ）.⑵线性结论:①定比分点:若复数z,ｚ1,ｚ2相应的点分别为Ｚ，Z1,Ｚ2,点Z分有向线段的比为λ(λ≠-1),则z=;②三点共线:若复数z,z１,z２相应的点分别为Ｚ,Z1,Z２,则三点Z,Z1,Z2共线的充要条件是:Z=λZ１＋(1－λ）Z2；③平行条件：若复数z1，z２，z３,z4相应的点分别为Z1，Ｚ2,Ｚ3，Z4,则Z１Ｚ2∥Z３Z4的充要条件是：z1-z2=λ(z3－z4);④垂直条件:若复数z1，z2,z3,z４相应的点分别为Z１,Ｚ2,Ｚ3,Z４,则Z1Z2⊥Z3Z4的充要条件是:z1－z2=λ(ｚ3-z４）ｉ.２Y．P．M数学竞赛讲座⑶几何结论:①三角形面积:若复数z1,z2,z３相应的点分别为Z1,Z2,Z3,则△Z1Z2Ｚ3的面积=×复数(ｚ1＋z2+z３）的虚部；②三角形形状:若复数z1,z2,z３相应的点分别为Z1,Ｚ2,Z3,则△Z１Ｚ2Z3为正三角形的充要条件是:ｚ12+z2２+z32=z1z2+z2ｚ３+ｚ3z1;或ｚ1＋ωz2+ω２z3=0;③三角形相似:若复数ｚ1,z2,z３相应的点分别为Z1,Ｚ２,Z3,复数w1，w２,w3相应的点分别为W1，W2,W3,则△Z1Z２Z3∽△Ｗ1W2Ｗ3的充要条件是:=；④四点共圆:若复数z1,ｚ2,z3,ｚ４相应的点分别为Z１,Z2,Z3,Z4，则四点Z1,Z2,Z3,Ｚ4共圆的充要条件是：:∈R.二、典型问题1.复数概念［例1]:(20２3年全国高中数学联赛试题)若对一切θ∈Ｒ，复数z=（a+cosθ）+(2a-sinθ)i的模不超过2,则实数ａ的取值范围为.[解析］:[类题］：1.①(２０23全国高中数学联赛黑龙江预赛试题）已知复数z1=m＋2ｉ,z2=3-4i,若为实数，则实数m的值为.②(２02３年全国高中数学联赛湖南预赛试题)已知复数z１满足(ｚ1-２）(1+ｉ)=1-ｉ，复数z2的虚部为2,则ｚ1ｚ2为实数的条件是z2＝．2.（19９9年全国高中数学联赛河南预赛试题)若为纯虚数,则|ｚ｜＝.3.(2023年全国高中数学联赛浙江预赛试题）假如复数(a+２i)（1+i)的模为４,则实数a的值为.4．(１994年全国高中数学联赛试题)给出下列两个命题:①设a，b，ｃ都是复数,假如a２+b2>c2,则a2+b2-ｃ2>0;②设a,b,c都是复数,假如a2+b2-c２>0,则a２+b2>ｃ２.那么下述说法对的的是（)(A）命题①对的，命题②也对的(B)命题①对的,命题②错误(C)命题①错误,命题②也错误(D)命题①错误，命题②对的5.(20２3年全国高中数学联赛浙江预赛试题)设ｚ是虚数,ｗ=z+,且－1<w＜2,则ｚ的实部取值范围为.２.代数形式[例2］：(１9９5年全国高中数学联赛试题)设α,β为一对共轭复数,若|α-β｜=2,且为实数，则|α|=.[解析]:[类题]:１.①(２023年全国高中数学联赛江苏预赛试题）复数(1+ｉ)4+(1-ｉ)4=.②(2023年全国高中数学联赛上海预赛试题)计算:=.2.（199６年第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题）已知ｉ2=－1,在集合{s|s=1+ｉ+ｉ２+i3+…＋ｉｎ,ｎ∈N｝中包含的元素是.3．(2023年全国高中数学联赛上海预赛试题）复数数列{aｎ｝满足ａ1=0,an=an-12+ｉ（n≥2，i为虚数单位,则它的前2023项的和=.４．(2０23年湖南高中数学夏令营试题)设复数数列{ｚｎ}满足z1=ｉ,zn＋1=-zn2-i,则|z2０２3|＝5.（１991年全国高中数学联赛上海预赛试题）使复数z＝成为实数的所有x构成的集合是.Y.P.Ｍ数学竞赛讲座33.三角形式[例３]:(1999年全国高中数学联赛试题）给定实数a,b,c，已知复数ｚ1,z2，ｚ3满足：,求｜az1+bz２+cz3|的值.[解析]:[类题］:1.（1９92年全国高中数学联赛上海预赛试题）设A、Ｂ、C为△ABC的三内角,则复数的虚部是.2.(1992年湖南高中数学夏令营试题)已知复数z１,z2满足|ｚ１|=|ｚ2|=１,z1-z2＝ｃos150+iｓｉn150，则=.3.(2０23年全国高中数学联赛河北预赛试题)设|z１|=|z2|＝a(ａ≠0),且z1+z2=m+mｉ,其中m为非零实数.则z1３z2３的值是.4.（1985年全国高中数学联赛上海预赛试题)设｜ｚ|=１,则｜ｚ2－z+2|的最小值为．5.(2023年全国高中数学联赛辽宁预赛试题)已知复数集合D，复数ｚ∈D当且仅当存在模为1的复数ｚ１,使得|z－2023-202３ｉ|＝｜z14+1－２z１2|.则D中实部和虚部都为整数的复数的个数是.4.共轭运算[例4]:(2023年全国高中数学联赛试题)若复数z1,ｚ2满足|z1|=2，|ｚ2｜=3,３z1－2z2=-i，则z1ｚ２=.[解析]：[类题]:1.（1986年全国高中数学联赛试题)为z为复数,M={z|（z-1）2=|z-1｜2},那么（)(A）M={纯虚数}(Ｂ）M={实数}（Ｃ）{实数｝M{复数}(Ｄ)M={复数}2.(1985年全国高中数学联赛试题)设z,w，λ为复数，|λ|≠1关于z的方程-λz=w下面有四个结论:①z=是这个方程的解；②这个方程只有一个解；③这个方程有两个解;④这个方程有无穷多解.则（)(A)只有①和②是对的的（Ｂ）只有①和③是对的的(Ｃ)只有①和④是对的的(D)以上（Ａ)、(B）、(C)都不对的3．（20２3年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)假如复数ｚ1,z2满足|z1|＝|z2|,且z1－ｚ2=２-i,则的值为.４.(1996年湖南高中数学夏令营试题)z１,z２是已知的两个任复数,复数z满足z≠０,z＋z2≠0，z1+z+z1=０,则ａrg＝.5.(1991年全国高中数学联赛试题)设复数ｚ１,z2满足｜z1|=｜z1+z2|＝3,|ｚ1-z２｜=3，则ｌｏｇ3｜(z1)202３+（z2)202３|＝.5.模的运算[例5]:(２023年全国高中数学联赛新疆预赛试题)复数ｚ1和z２满足:|z2|＝4,4z12－2ｚ１z2+z２2=０，则|(z１+１）2(z１-2)｜的最大值为.[解析］:[类题］:１.(198３年全国高中数学联赛上海预赛试题)|｜=．2.（２0２3年全国高中数学联赛天津预赛试题)复数z满足|z|(3z+2ｉ)＝2（ｉｚ−6),则｜z|等于.3.(202３年全国高中数学联赛吉林预赛试题)设{zn｝是一个复数数列,定义zn＝(１+i)(１+)…(1+),则=.4.（2０２3年全国高中数学联赛湖南预赛试题)已知复数ｚ满足z-z-=３,且aｒｇ(z-1）＝，则z=.4Y.P．M数学竞赛讲座5.（2023年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设ｚ是复数,且|z｜＝1,则u=|z2-ｚ+1|的最大值与最小值是．6.乘方运算[例6]:(２０２３年全国高中数学联赛安徽预赛试题)设n≥２023,且n为使得aｎ=（+i）n取实数值的最小正整数,则相应此ｎ的an=.[解析]:[类题］:１.（1989年全国高中数学联赛上海预赛试题)计算:()１9８９=.2.①（2023年全国高中数学联赛山东预赛试题)已知ｚ=（-3i)n，若ｚ为实数，则最小的正整数n的值为．②（１985年全国高中数学联赛上海预赛试题）设ｎ为使ａn=（+i)ｎ取实数的最小自然数,则相应此n的an=.３.①(2023年全国高中数学联赛安徽预赛试题）设ｎ为不超过２０２3的正整数.假如有一个角θ使得(sｉnθ＋icoｓθ)n=sinnθ+icｏｓｎθ成立,则这种ｎ的总个数为.②(1988年全国高中数学联赛上海预赛试题)设m、ｎ是自然数，且使(＋i)ｍ=(１＋i）n成立(其中i是虚数单位)，则乘积mｎ的最小值是.4.(2０2３年全国高中数学联赛山东预赛试题)已知z为复数.若｜z|=1，|+ｉ｜＝1,则当(z+ｉ)n(n为正整数）为实数时,|ｚ+i｜n的最小值为.5．(19８5年全国高中数学联赛上海预赛试题)［()8+1]n当ｎ取１,2,…，100时,可得个不同的数值.７.单位复数[例7]:(1991年全国高中数学联赛试题）设ａ,ｂ,c均为非零复数，且==,则的值为.[解析］:[类题]:1.①（19８０年全国高中数学联赛上海预赛试题)设x１,x２是方程x２-x+１=0的两个根，则x11980＋=.②(2０23年全国高中数学联赛湖北预赛试题)已知复数m满足m+=1,则m2023+=．２.①(19９0年全国高中数学联赛试题)设非零数复数x,y满足x2+xy＋y2＝0,则代数式(）１990+(）１９90的值是.②（2023年全国高中数学联赛甘肃预赛试题）设非零数相异复数x，y满足ｘ2+xy＋y2=0,则代数式[]2023（x202３+y2023)的值是.3.(202３年全国高中数学联赛河南预赛试题)若z∈C,且x1０＝1,则１+x+x2+ｘ3+…+x2023+x2023=.4.(1９9９年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数z满足：z３=２7,则ｚ5+3ｚ4＋2242=.5.(2023年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设(＋i)20２3=ｆ（x)+ｉｇ(x)(f(ｘ),g（x)均为实系数多项式)，则f(x)的系数之和是.8.复数方程[例８]:(1９94年全国高中数学联赛试题)ｘ的二次方程x2＋z1x+z２+m＝0中,z1,z2,m均是复数,且ｚ12-4z2＝1６+2０i,设这个方程的两个根α，β满足|α-β|=２，求|ｍ|的最大值和最小值.[解析］:Y.Ｐ．M数学竞赛讲座５[类题］:1.（１99５年全国高中数学联赛上海预赛试题)若虚数z使２z+为实数,则2z+的取值范围是___＿_.2.(1993年全国高中数学联赛试题）二次方程(１i)x2＋(＋ｉ)x+(1+i）０(i为虚数单位，Ｒ)有两个虚根的充足必要条件是的取值范围为__＿＿＿___.3.（19８4年全国高中数学联赛上海预赛试题）方程z４=(为ｚ的共轭复数)的根为.4.(２０23年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题）复数z满足等式z+|z|3=0，则ｚ=.５.(２０２3年全国高中数学联赛试题)设ω=cos+ｉｓin,则以，３,７,９为根的方程是()

(Ａ)x4+x3＋ｘ2＋x+１=0(B)x4ｘ3＋x2x+1＝0(C)x4x3x2＋x+1=0（D）x4+x３＋x2x１=０9.复数与点［例9]:(１998年全国高中数学联赛试题)设复数z=ｃｏsθ+iｓinθ（０0≤θ≤１800)，复数ｚ,(１＋i)ｚ，2在复平面上相应的三个点分别是P，Q,R,当P,Ｑ,R不共线时,以线段PＱ,PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S,则点Ｓ到原点距离的最大值是_.[解析］:[类题]:1.（198９年全国高中数学联赛试题)若A,B是锐角△ABＣ的两个内角,则复数ｚ=(cosB-sｉnA)+i(ｓinＢ－cｏｓA)在复平面内所相应的点位于(）(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限2.(２023年全国高中数学联赛安徽预赛试题）若点A,B分别相应复数z,z－1,zR，则直线ＡB与x轴的交点相应的复数为(用z和表达).3．（2023年湖南高中数学夏令营试题)已知z为复数,aｒg(z+３)=１350,则取最大值时,z=.４．(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛（高二)试题)在复平面内由,,(ｉ-1）３相应的点构成的三角形的最大内角等于.５.(２023年全国高中数学联赛河北预赛试题)假如复数z满足|ｚ|=1,Ａ（-1,0）,B(0,-１）是复平面上两点,那么函数f(z)=|(ｚ+1)(-i)|取最大值时，△ABZ的形状是.10.模的意义[例１0]:(2023年全国高中数学联赛试题）已知复数ｚ1,ｚ２满足｜z1|＝2,|z２|＝３,若它们所相应向量的夹角为600,则｜|＝．［解析］:[类题]：1.①（２023年全国高中数学联赛湖北预赛试题）设复数z１=(2-a)+(1－b)ｉ,z2=(3+２a）+(２+3ｂ)i，z3=（3-a)+(3-2ｂ)i,其中a,b∈R,当|ｚ1|＋|ｚ2|+|z3｜取得最小值时，３a+4b=.②(1993年全国高中数学联赛上海预赛试题)已知复数z１，ｚ2满足|z1|≥1,|z２｜≥,则复数i１993ｚ1+i1995ｚ2+2z1z2的模长的最小值是．2．(2０２3年全国高中数学联赛安徽预赛试题）设z是复数，则|z－1|+|z-i|+|z+1|的最小值等于__＿______＿.3.(２023年全国高中数学联赛湖北预赛试题）设z是模为2的复数,则|z-|的最大值与最小值的和为．4.(１９99年全国高中数学联赛河北预赛试题)若复数z满足|ｚ+1＋i|＋|z－1－i|=2,记|z+i|的最大值和最小值分别为6Y.P.M数学竞赛讲座M，ｍ,则=.5．(1９９8年第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数ｚ的模为1，则函数|ｚ2+iz２+1｜的值域是.１1.幅角主值[例11]:(1９98年全国高中数学联赛试题)已知复数z=1ｓinθ+icoｓθ(<θ<π)．求z的共轭复数的辐角主值.[解析]:[类题]：1.（1984年全国高中数学联赛试题）集合S=｛z2|aｒgz=ａ,a∈R}在复平面的图形是()(A）射线argz＝2a(Ｂ)射线argz=－2a(C)射线aｒgz=-a(D)上述答案都不对2.(１998年全国高中数学联赛湖南预赛试题）设ｚ是复数，z+2的幅角为,z－2的幅角为,则z=.3．(１993年全国高中数学联赛试题)若zC,arg(z24)=，ａｒｇ(ｚ2＋4)=，则z的值是________.４．(1992年全国高中数学联赛试题)设z1,ｚ2都是复数,且|z１|=3,|ｚ2|=５|z1+z2|＝7，则arg(）3的值是＿＿__＿_.５.(1999年全国高中数学联赛试题）已知θ=arｃtan，那么,复数z＝的辐角主值是___＿_____.12.几何形状［例１２]:(1995年全国高中数学联赛试题)设复平面上单位圆内接正20边形的2０个顶点所相应的复数依次为z1，z2,…,z20,则复数Z1１９95,z2１995,…,ｚ202395所相应的不同的点的个数是.[解析]：［类题]:1.（2０23年全国高中数学联赛浙江预赛试题)若在复平面上三个点A(0),B(z0-z）,C(ｚ0+z）构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，其中z0=-+ｉ,则△ABC的面积为.２.①(１９92年全国高中数学联赛试题)设复数z1,z２在复平面上相应的点分别为A,Ｂ,且｜z１|＝4,４ｚ1２2z１z2+z２2=0,O为坐标原点,则△OAB的面积为.ﻫ②(１997年全国高中数学联赛上海预赛试题)设复数z１、z2满足z１z2＝1,z1３+ｚ23=0，且z1+z2≠0.ｚ1、z２在复平面内的相应点为Z1、Z2,O为原点,则△Z1OZ2的面积是＿＿＿＿_3.(1996年全国高中数学联赛试题)复平面上，非零复数z1,ｚ2在以i为圆心,１为半径的圆上，z2的实部为零,ｚ1的辐角主值为,则z2＝_＿____＿.4.(2０23年全国高中数学联赛广西预赛试题）已知关于x的实系数方程x2-2x+２＝0和x2+2mx＋1=0的四个不同的根在复平面上相应的点共圆,则m的取值范围是．5.(1997年全国高中数学联赛试题)设非零复数a1，a２,ａ３,a4,a5满足，其中S为实数,且｜S|≤2.求证:复数ａ１,ａ２，ａ3,a4,a5在复平面上所相应的点位于同一圆周上.Y.P.M数学竞赛讲座713.解折综合［例13]:（2０23年全国高中数学联赛试题)设A,B,Ｃ分别是复数Ｚ0＝aｉ,Z１=＋ｂｉ，Ｚ2=1+ci（其中a,b,ｃ都是实数)相应的不共线的三点,证明:曲线Z＝Ｚ0ｃos４t+2Ｚ1cos2tsiｎ2t＋Ｚ２ｓｉｎ4t（t∈R)与ABＣ中平行于AC的中位线只有一个公共点,并求出此点．[解析］:[类题]：1.(199３年全国高中数学联赛试题)设m,n为非零复数,i为虚数单位，ｚC,则方程｜z+ni|＋｜zmi｜=n与|z+ni|｜zmi|m在同一复平面内的图形(F1,F２为焦点）是()yOｘyOxOxＯx（A)(B）(C)（D)2.（19８9年全国高中数学联赛试题)若M={ｚ｜z=+i,t∈Ｒ,t≠－1，ｔ≠0}，Ｎ=｛z|z=［ｃos(arcsｉnｔ)+icｏs（arccost)],t∈Ｒ,｜t|≤1｝，则M∩N中元素的个数为()(A)0(B）１(C)2(D)43．(1988年全国高中数学联赛试题）复平面上动点z1的轨迹方程为｜z1-ｚ0|=|ｚ1｜，z0为定点,z0≠0,另一个动点z满足z1ｚ=－1,求点ｚ的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置.４．①（202３年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数z,w满足:|ｚ-１-i|-|z|=,｜w＋3i|=1,则|z–w|的最小值=.②(1992年全国高中数学联赛上海预赛试题）x、y是实数.z1＝x++yi,z2＝ｘ-+yｉ(i为虚数单位）,|z1|+｜z2|=12,令ｕ＝|５x−6ｙ−３０|，则u的最大值是_____,u的最小值是__＿＿_.５.(19９6年全国高中数学联赛上海预赛试题)已知满足条件|z2｜+|z2−1|=7的复数z在复平面内的所相应的点的集合是一条二次曲线,则该二次曲线的离心率ｅ=_＿___．１4.复数应用[例1４]：(202３年全国高中数学联赛试题)若（1+x+x２)100０的展开式为a0+a１ｘ＋a2x2＋…+a2０２3ｘ2023，则a0+a3+a６+a9+…+a19９8的值为.[解析]：[类题]：1.（20２3年全国高中数学联赛甘肃预赛试题）已知sinα+sｉｎβ＝,ｃosα+coｓβ=,则=．2.(20２３年湖北数学奥林匹克夏令营试题)求值:tａn700-=.3．(2023年全国高中数学联赛广西预赛试题）化简ａｒｃcot2+aｒｃtａn=.4.(2023年复旦自主招生试题)ａｒctaｎ+arctan+arctan+aｒctan＝．Y.Ｐ.M数学竞赛讲座１竞赛中的复数问题复数不仅具有自身知识体系的丰富性，并且还与代数、三角、几何之间存在内在的紧密联系．复数的演绎独具特色,饶于技巧,复数是竞赛数学的内容之一．一、知识结构1.概念与运算:⑴表达形式:①代数式：z=a＋bi（a,b∈R）;②三角式：ｚ=ｒ(cｏsθ+iｓｉnθ)(ｒ≥0,θ∈R);③指数式:z＝reｉθ(ｒ≥0，θ∈R);④欧拉公式:eiθ=cｏsθ＋isinθ，θ∈Ｒ.⑵共轭与模:①=;=;=;②｜|z1|-|z２｜|≤|z1＋ｚ2|≤|z1｜＋|z2|;|z１z2|=|ｚ１||z2｜;｜|=;③ｚ=|z｜２=||2;④z=z∈Ｒ；|ｚ|＝｜Re(z)｜ｚ∈R．⑶运算法则：①乘法:r１(cｏsθ1+ｉsinθ２)ｒ2(ｃoｓθ２+isｉnθ2)=r1r2（coｓ(θ1＋θ2)＋iｓiｎ（θ1+θ２)）;②除法:=(coｓ(θ１-θ2)+isｉn(θ1-θ2)）;③乘方:[r（coｓθ+iｓinθ)]n＝rn(cｏｓnθ+ｉsinｎθ）；④开方:zn=r(cosθ+isｉｎθ)ｚ＝(cos+isｉn)(k=０,1,2…,n－1).２．辐角与三角：⑴辐角性质:①定义:若ｚ＝ｒ（cｏsθ+ｉsinθ)（r≥０,θ∈R),则θ称为复数ｚ的辐角,记为Argｚ；特别地,当θ∈［0,2π)时,则θ称为复数z的辐角主值,记为aｒｇz;②运算：Argz１+Argz2=Aｒg(z1z2）;Argz1-Arｇz2＝Arg（)=Aｒg（z1);nAｒｇz＝Argzｎ;③性质:若ｚ=cosθ＋isinθ，则1+ｚ=2cos(ｃｏs＋isｉn);1-z=－2sin（cos+isｉn).⑵单位根:①定义：方程xn=1的n个根叫做n次单位根,分别记为ωk(k=0,1,2,…，n-1);ωk=(cos+isin)（k=0，1,2…,n－1）；②性质:ω0=1;ωk=ω1ｋ；ωkωj=ωｋ+j;单位根的积仍是单位根;n次单位根的所有为:1，ω1,ω１２,…，ω1n-1;③1+ω1+ω12+…+ω1n-1=0,(ｘ－１)(x-ω１)(ｘ－ω12）…(x－ω1ｎ-１)=xn-1．⑶基本结论:①实系数ｎ次方程的虚根α与其共轭复数成对出现;②若|z1｜=｜z2|=…=｜zｎ|,且ｚ１+ｚ2+…＋zn=0,则ｚ１,z２，…，ｚｎ相应的点是正n边形的顶点,且正ｎ边形的中心在坐标原点;③若复数z１,ｚ2相应的点分别为Z1,Z2,且z１=z0ｚ2,则∠Z1OZ2=argｚ0,或aｒgｚ0-π．３.复数与几何:⑴基本原理:①点的相应:复数ｚ＝x＋ｙｉ与点Z（x,y)成一一相应;②向量相应:复数ｚ=x+yi与向量＝(ｘ，y)成一一相应;③距离公式:复数z１,z2相应的点分别为Ｚ１，Ｚ2,则｜Ｚ1Z2|＝|ｚ１-z2|；④旋转公式:复数z1,ｚ2相应的点分别为Z１,Ｚ2，向量绕点Z1逆时针旋转θ角,再伸长r(ｒ>０)倍,则所得向量中的Z相应的复数ｚ=ｚ１+r（z２－ｚ1）(cｏsθ+isiｎθ).⑵线性结论：①定比分点:若复数ｚ,z1，z2相应的点分别为Ｚ,Ｚ1,Z2,点Z分有向线段的比为λ(λ≠-１),则z=；②三点共线:若复数z,ｚ1,z2相应的点分别为Ｚ,Z１,Z2,则三点Z，Z1,Ｚ2共线的充要条件是：Z=λＺ1+(1-λ)Z2;③平行条件:若复数z1,ｚ２,z３，z4相应的点分别为Z１,Z2,Z3,Z4,则Z1Ｚ2∥Ｚ3Z４的充要条件是:ｚ1-z2=λ(z3-z4)；④垂直条件:若复数z1，z2,z3,z4相应的点分别为Z1,Ｚ2,Z３,Ｚ4,则Z１Ｚ2⊥Z3Z4的充要条件是:z1-z2＝λ(z3－z4)ｉ．2Y.P．M数学竞赛讲座⑶几何结论:①三角形面积:若复数z１,ｚ２，ｚ3相应的点分别为Z１，Z２,Z3，则△Z1Ｚ2Z3的面积=×复数(z１+z2+z3）的虚部；②三角形形状：若复数z1,z2,ｚ3相应的点分别为Z1,Z2，Z3，则△Z1Ｚ2Z3为正三角形的充要条件是:ｚ12+z22＋z32=z1z２+ｚ2z３+z3z１；或z1+ωz2+ω2ｚ3=０；③三角形相似:若复数z１,z2,ｚ3相应的点分别为Z１，Z2,Ｚ3,复数w1,w２,w3相应的点分别为W1,W２,W3,则△Z1Z２Ｚ3∽△Ｗ1Ｗ2Ｗ３的充要条件是:=；④四点共圆:若复数z1，z2,z３,z4相应的点分别为Ｚ１，Z2,Z3，Z4,则四点Z1,Z2,Z3，Z4共圆的充要条件是::∈R.二、典型问题1.复数概念［例1]:(2０23年全国高中数学联赛试题）若对一切θ∈R,复数z=(ａ＋cosθ)＋(2a-sinθ)i的模不超过2,则实数ａ的取值范围为.[解析]:｜ｚ|≤2(a+coｓθ)2+(2a-sinθ)2≤4２acoｓθ-4asinθ≤３-5a２－2asiｎ(θ+φ)≤３-5a2２｜a｜≤3－5a2(|a|-1)(｜ａ|+3）≤0ａ∈[-,].[类题]：1.①(２02３全国高中数学联赛黑龙江预赛试题)已知复数z1＝m+2i,z2=3-４i,若为实数,则实数m的值为．②(2023年全国高中数学联赛湖南预赛试题)已知复数z1满足（z１-２)(１+i)=1-ｉ，复数z2的虚部为2，则z１ｚ２为实数的条件是z２＝.2．(1９99年全国高中数学联赛河南预赛试题）若为纯虚数,则|z｜＝．3.(2０２3年全国高中数学联赛浙江预赛试题)假如复数(a+2i）(1＋i）的模为4,则实数a的值为.4.(199４年全国高中数学联赛试题)给出下列两个命题:①设a，ｂ，c都是复数，假如a2+b2>ｃ2,则a2+b2-ｃ2>0；②设a,b,ｃ都是复数,假如a2+ｂ2-ｃ2＞0，则ａ２+b2>ｃ2.那么下述说法对的的是()(A)命题①对的,命题②也对的（Ｂ)命题①对的，命题②错误(C)命题①错误,命题②也错误(D)命题①错误,命题②对的5.(202３年全国高中数学联赛浙江预赛试题）设z是虚数,w=z+，且-1＜ｗ<2,则z的实部取值范围为.解:设z=a+biw=ａ+bi＋=a+＋(b-)i.由-1<w<2w为实数b-=０b=0,或a2＋b2=1.当ｂ＝0时,a≠０,w=a＋|w|≥2，不符合-１<w＜2；当a2＋b2=1时，w=2ａ,由-1<ｗ<2－<a＜1.2.代数形式[例2]:(１９9５年全国高中数学联赛试题)设α,β为一对共轭复数，若|α－β｜=2,且为实数,则|α|=．[解析]：设α＝a+bｉ(a,ｂ∈Ｒ)β=ａ-ｂiαβ=a2+ｂ２∈R,α-β=2bi,|α－β|=２｜b｜=,=为实数α3=（a＋ｂi）3=(a３-3ab2)+（3ａ２b－b3）i为实数3a2b-b3=０|a|=1|α|=2．［类题]:1．①(20２３年全国高中数学联赛江苏预赛试题)复数(１+ｉ)4+(1-i)4=.②(2023年全国高中数学联赛上海预赛试题)计算:＝.Ｙ.P．Ｍ数学竞赛讲座３2.(19９６年第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知i2=－1,在集合{ｓ|s=１+ｉ+i2+i3+…+in,n∈N}中包含的元素是.３.（2023年全国高中数学联赛上海预赛试题）复数数列{an｝满足a1＝０,aｎ=an-12+i(n≥２,i为虚数单位,则它的前2023项的和＝．４.（20２3年湖南高中数学夏令营试题)设复数数列{zn}满足ｚ1＝i,ｚn+１=-zｎ2－i,则|z2０23|=5.(19９1年全国高中数学联赛上海预赛试题)使复数z=成为实数的所有x构成的集合是.解:复数z=为实数［sｉnｘ＋siｎ2x+i(2cｏs2xsiｎｘ-tanx)]（ｃosｘ+i)为实数sinx+ｓin２x+(2coｓ2xsiｎx－tanx)coｓx=0sin２x+cos２ｘsiｎ２x=0sin2x=0sinx=0(cosx≠０)ｘ=kπ.3．三角形式［例３]:(199９年全国高中数学联赛试题)给定实数ａ,b,c,已知复数ｚ1,z２,z3满足:，求|az1+bz2+cz3|的值.[解析]:由|z1|=|z2|=|ｚ３｜=1，可设z1=cosα+isiｎα,z2＝cosβ+ｉsｉnβ,z3=cosγ+isｉnγ＋+＝coｓ(α－β)+isin(α-β)＋cos(β-γ)＋isｉｎ(β-γ)+cos(γ－α)＋iｓiｎ(γ-α)=1sｉn(α-β)+sin（β-γ）+sin（γ-α)=０2ｓinｃos-2sinｃos=0ｓｉnsｉnsin=0.当sin＝０时,β=2kπ+αz1＝z2,由+＋＝1+=0（)２+1=０=i|az１＋bz2+cz3｜＝|（a+bｉc）ｚ1|=；同理可得:当ｓin=0时,|az1+bz２+cz3｜=;当ｓin=0时,|az1＋bz2+cz3|＝.[类题]:1.（1９9２年全国高中数学联赛上海预赛试题)设A、B、C为△ABC的三内角，则复数的虚部是.解：==2=2[(coｓ（A+B+C)+iｓin（Ａ+B+C))=-2，虚部是0.2.(19９2年湖南高中数学夏令营试题）已知复数z1,ｚ2满足|z1|=|z2|=1,z1-z2＝cｏｓ１５0+isiｎ1５0,则=.解:设z1=ｃosα+isinα,z2=ｃosβ+isｉnβz１－ｚ２＝(ｃosα-cｏsβ)+(sinα-sｉnβ)ｉ=cos１50＋isin150cｏsα－cｏsβ=cｏs1５０，ｓinα-sinβ=sin1５０（cｏsα－ｃosβ）２＋(sinα－sｉnβ)2=1ｃｏs(α－β）=,ｓinα-sｉnβ=＝cos（α－β)+isｉn(α-β)=i．3．(2０23年全国高中数学联赛河北预赛试题)设|ｚ1|=|z2｜=ａ(a≠0）,且z1+z2=m+mi,其中ｍ为非零实数.则z１３z２３的值是．解:设z1＝acosα＋ａisiｎα，z2＝acoｓβ+ａisｉnβ,由z1+ｚ２=m+mia(cosα+ｃｏsβ）=m，a（ｓinα＋sinβ)＝mｃｏsα+cｏsβ=４Y.P.M数学竞赛讲座ｓinα+sinβ2cｏscｏs＝2ｓｉｎcｏscos＝sｉntａn=1α+β=ｚ1ｚ2＝a２[ｃos（α+β)+ｉｓｉn(α+β)]＝ａ2iｚ13z2３=(z1ｚ2)３=-a6i．4.(19８5年全国高中数学联赛上海预赛试题)设|z|=1，则|z2-z＋2｜的最小值为．解:设z＝cosθ+isinθ|ｚ２-z+２|＝|cos2θ+isin2θ-cosθ-isiｎθ+2｜=|cｏs2θ-cosθ＋2+(sｉn２θ-sinθ)i|=＝≥.５.(20２3年全国高中数学联赛辽宁预赛试题）已知复数集合D,复数z∈Ｄ当且仅当存在模为1的复数z1,使得|z-2０2３-20２3i|＝|z14+1-２ｚ12|．则D中实部和虚部都为整数的复数的个数是．解:设z1=cosθ＋isinθ|z１4+1-２z１２|=|(ｚ1２-１)２|＝|z1２-1|2=｜cos２θ-1+iｓｉn2θ|2=(ｃｏｓ2θ-1)2+sin22θ＝2－２cos2θ≤4|z-2０23-202３i|≤4,设z＝ｘ+yi(x-２023）2＋(y-2０２３)2≤16x2+y２≤16共有49个解．4.共轭运算[例4]:(2023年全国高中数学联赛试题)若复数z1,z2满足|z1|=2,|ｚ2|=３,3z1-２z2＝-i,则z1z2＝.[解析]：|z1|=2，｜z2|＝3ｚ１=4,z２=9-i=3z1-2ｚ２=z１z2-z2z1＝z1z2(2－3）=－z1ｚ2(3－2)＝-z1z2(+i)z1z2=-+i.[类题]:1．（１９８6年全国高中数学联赛试题)为z为复数,M={ｚ｜(z－１）2=｜z-１|2},那么(）（A)M＝｛纯虚数｝（Ｂ)Ｍ={实数｝(C)｛实数}M{复数｝(D）M={复数}解:(z-1)2＝|z-１|2(z-1)2=（z-１)(-１)z＝1,或z=M={实数}．２.(1９85年全国高中数学联赛试题)设ｚ，w,λ为复数，｜λ|≠1关于z的方程-λz=w下面有四个结论:①z＝是这个方程的解;②这个方程只有一个解；③这个方程有两个解；④这个方程有无穷多解．则(）(A)只有①和②是对的的(B)只有①和③是对的的（C)只有①和④是对的的(Ｄ)以上(A)、(B)、（C)都不对的解:-λz=wz-=z－(λz+w）=(1－λ)z=w+ｚ=.故选(Ａ).３.(202３年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)假如复数z1,ｚ２满足|ｚ1｜=|z2|,且ｚ1-ｚ2=2－i,则的值为.解：设｜z1|=|z2｜＝ａｚ1=z2=a２a２(2-i)=ｚ1z2－z2z1＝-z1z2(-)=-z1ｚ2(2＋i)＝==．４.(１９96年湖南高中数学夏令营试题）z１,z2是已知的两个任复数,复数z满足z≠0,z+z２≠0,z1+z+z1=0,则arg=.解:z１＋ｚ+z1=0z1+(z＋z１）=0ｚ１z2+（z+z1）z2=０;z1+ｚ+z1＝０z+ｚ2+z２=0z2+(z+z2)=０z1z2＋(z+z2)z1=0（z＋z1)z2＝(z+z2)ｚ1==正实数arｇ=0．5.(1９91年全国高中数学联赛试题)设复数z1,z2满足｜z1|＝|z1+z２｜＝3，|z1－z2|=３,则log3｜（z1)２023＋(ｚ2)２０23｜＝．解:9＝|ｚ１|2=z１，9=|ｚ1＋z2|2=（z1+z2)(+)=z１+z2+z２+ｚ１；27=|z1－ｚ２|２=(ｚ1－z2)(-)=z1＋ｚ2-（z2+z１)z1＋z2=１8z2=9|z2|=3|ｚ2|=｜z１|=９,z2+ｚ1=－9,设z１=9(cｏｓθ+iｓinθ)z２=９(coｓθ-isinθ）cｏｓθ=-sinθ=z1=9ω,或ω２log3|(z1)2０23+(z2)20２3｜=lｏg3｜(9ω)２02３+（9ω２）2023|＝Ｙ．P.Ｍ数学竞赛讲座5lｏg3|９2023(ω+ω2）|=4000.５．模的运算[例5］:（2023年全国高中数学联赛新疆预赛试题）复数z１和z2满足:|z２|=4,4z12-２z1z２＋ｚ22=0,则|(z１+1)2(z1-2)｜的最大值为．［解析］：由4ｚ１2-2z1z２＋z22＝０3ｚ12+(ｚ１-ｚ2)2＝0（z1-z２)2=-3z12z1-z2＝ｚ1iz2=(1ｉ)z１|z2|=2|ｚ１||ｚ１|=2,设ｚ1=2(cosα+isiｎα）｜(z１+１)2(z１-2)｜=|(z1＋１)2||(z1－2）｜=[(2cosα+1)2+(2siｎα)2］＝≤３(cｏｓα=).［类题]:１．(1983年全国高中数学联赛上海预赛试题）｜｜=.2．（２０23年全国高中数学联赛天津预赛试题）复数z满足｜z｜(3ｚ+2i)=２（iz−6),则｜z|等于.解:设|z|=r(r>0)z=r2=|z|2＝||2==r4＝1６r＝2.3.（20２3年全国高中数学联赛吉林预赛试题）设{zn｝是一个复数数列,定义zn=(1+i)(1+)…(１+),则=.解:|zn-ｚn+1｜=1.4．(2０２3年全国高中数学联赛湖南预赛试题）已知复数ｚ满足z-z－=3，且arg(z-1）=，则ｚ=.解:z-z-=３(ｚ-１）(－1)=4｜z-１|=2z－1=２(cos＋isin）.5.（２02３年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设ｚ是复数，且|z|=１，则u=|ｚ2-z+1|的最大值与最小值是.解:u=｜z2-z＋1|=|z２-z+z|=|z(z+-1)|=|ｚ+-1|.设z=x＋yi,则｜ｘ|≤１u=｜z+－1|=｜2x－1|∈[0,3］.6.乘方运算[例6]：(2０23年全国高中数学联赛安徽预赛试题)设ｎ≥2０23,且ｎ为使得an=(+i)ｎ取实数值的最小正整数,则相应此n的an=．[解析］：令tａnθ=(0<θ<）taｎ2θ＝=3＋2tanθ=+1tａn２θ=-12θ=θ=an=[ｒ（cos+isiｎ)]n＝rｎ(cosｎ+iｓinn)取实数值,其中r＝2ｓinｎ=0n=ｋπ３n=8ｋn=8ｍ,满足此条件且n≥2０2３的最小正整数n为２023,此时aｎ=a20２3=２２０２3cos753π＝－2２0２3.［类题]：1.(1989年全国高中数学联赛上海预赛试题)计算:()19８９=.2．①(202３年全国高中数学联赛山东预赛试题)已知z=(-3i)n,若z为实数，则最小的正整数n的值为.解：令tanθ=-=－θ=-３i=2(cｏs+iｓｉn)z=（-３ｉ)n=[2(cos+iｓｉn）]n＝（2）n[cos(ｎ)+isｉn(n)］为实数ｓｉn(n)=０n=kπk=最小的正整数n的值为3．②(1985年全国高中数学联赛上海预赛试题)设n为使an=(+i)n取实数的最小自然数,则相应此n的6Y．P．M数学竞赛讲座an=．３．①(2023年全国高中数学联赛安徽预赛试题)设n为不超过202３的正整数.假如有一个角θ使得(ｓiｎθ+ｉcosθ)n＝sｉnnθ+icoｓｎθ成立,则这种n的总个数为．解:(ｓiｎθ＋icosθ）n=[ｉ(cosθ－ｉsinθ）]n=in［cｏs(-θ)+isiｎ(－θ）]n＝iｎ[cos(-ｎθ)＋isin(－ｎθ）]＝iｎ[cos（nθ)－isiｎ(nθ)]=in-1(siｎnθ+ｉcoｓnθ)in-１=１ｎ-1=4kｎ=4k+1(n≤202３)k≤500(k=0）这种n的总个数为501.②(１988年全国高中数学联赛上海预赛试题)设m、n是自然数，且使（+i)m=(1+i)n成立(其中i是虚数单位),则乘积mn的最小值是.4.（202３年全国高中数学联赛山东预赛试题)已知ｚ为复数.若|z|=1,|+ｉ|=1,则当(ｚ+i)n(ｎ为正整数）为实数时,|z+i｜n的最小值为.解:由|z|＝1z=１,|+i|=１（+i)(z－i）=1(－ｚ）i=1ｚ-=iz＝+iz＋ｉ=+ｉ=（i)(z＋ｉ）n=()n(i）n,其中ｗ=ｉ是方程w２-ｗ+1=0的根ｗ3=-1n=3时，|ｚ+ｉ|n的最小值为3.5.(1９８５年全国高中数学联赛上海预赛试题)[(）8＋１]n当n取1,2,…,100时，可得个不同的数值．解:[(）8+1]n=［(-ｉ)8()8+１]n=［(-iω）8＋１]n=(ω２+1）ｎ＝(-ω)n，可得6个不同的数值.7.单位复数[例7］:(1991年全国高中数学联赛试题)设a,b,c均为非零复数，且＝=，则的值为.［解析]:设＝==xa=xｂ,b=xc,c＝xaａｂc=x3abcx3=1x＝1,ｘ=ω,ｘ=ω2(三次方程有三个根)=０=＝１,或ω,或ω２.[类题]:１.①(1980年全国高中数学联赛上海预赛试题)设x1,x2是方程x２-ｘ+1=0的两个根,则ｘ11980＋＝．解：xi6=1ｘ１1980=1,=１x1198０+=2;②(2023年全国高中数学联赛湖北预赛试题)已知复数m满足ｍ+=１,则m２023+=.解:m+=1ｍ２-m+１=0(ｍ+1)(m２-ｍ+１)＝0ｍ３=-1m6=1m2０23=m4=-m,m202３＝m5=ｍ2023+=-m+ｍ＝0.２.①(１９90年全国高中数学联赛试题)设非零数复数ｘ,y满足ｘ2+xy+y２=0,则代数式(）1990+()１９90的值是．解:x２＋xｙ+y2=0()2+＋1=0.令＝ωω２+ω＋１=０ω3=1()19９0+()19９０＝+=+==-1.②(２023年全国高中数学联赛甘肃预赛试题）设非零数相异复数x,y满足x2＋xy+y2＝0,则代数式［］２023（ｘ２０23+y2０23）的值是．Y.Ｐ.M数学竞赛讲座73.(２023年全国高中数学联赛河南预赛试题)若z∈C,且x10=1，则1+x+x２+x3＋…+x2023+x202３＝．解:若z∈Ｒ，由ｘ10=1x=1.当x=1时,1+x+x2+ｘ3+…+x2０23＋x2０23＝2０23；当ｘ＝-1时，1+x＋x2+x３+…+x2０２3+x２023=１;若z≠1,由ｘ10=１（x2-１)(x8+x６+ｘ４+x2+１）=0x8+ｘ６+x4+x2＋1=0x9+x7+x5+ｘ3＋ｘ=0１+x+x２＋x3+…+x10＝01＋ｘ+x2+x3+…+x２023+x２０2３＝1．4.(19９9年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二）试题）已知复数z满足:z3=27,则ｚ5+３ｚ4+2２４2=.５．(2023年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设（＋i)2０23=f(x)+ig(x)(f(ｘ）,g(x）均为实系数多项式）,则f（x)的系数之和是.解:(+i)2023＝f(x)＋ig(x）f(1)+ｉg(1)=(+i）2０23=(-i)202３(-+i)2023＝ω2０２３=ω=-＋if(1)=－.8.复数方程[例8]:(19９4年全国高中数学联赛试题)x的二次方程x2+ｚ１x+z2+m=０中，ｚ１,z2,m均是复数,且z12-4z2=１６+20ｉ,设这个方程的两个根α,β满足|α－β｜＝2，求|ｍ|的最大值和最小值．［解析]:由韦达定理知α＋β＝-z１,αβ＝z2+m2８=|α－β|2＝|(α-β)2｜=|（α+β)2-４αβ|=|z12－4z2-4m|＝|１6+２0i-4ｍ|｜m－(4+5ｉ)｜=７m在以A(4,5)为圆心,７为半圆的圆上｜m｜≥7-|OＡ｜＝７-;|m|≤７+|OA|＝７+．[类题]：1.（１995年全国高中数学联赛上海预赛试题)若虚数ｚ使２z＋为实数,则２ｚ+的取值范围是_＿___．２.（1993年全国高中数学联赛试题)二次方程（1ｉ)x２+(+ｉ)ｘ+(1+i)0(i为虚数单位,R)有两个虚根的充足必要条件是的取值范围为____＿_＿_.解:设方程有实根x0,则(x02+λｘ0+1)+(－ｘ0２+x0＋λ)i=0(x0＋1)(λ+1)=0x０＝-1λ＝2;λ＝-１x02-x0+1=０无实根,综上,λ=2;所以,有两个虚根的充足必要条件是的取值范围为λ≠２．3.（1９84年全国高中数学联赛上海预赛试题）方程ｚ4=(为ｚ的共轭复数)的根为.解:ｚ4=|ｚ|4=｜||z|=0,1z＝0,z5=ｚz５=1z=cos＋isin(k＝0,１,2,3,4)4.（2０23年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛（高二)试题）复数ｚ满足等式ｚ+|z｜3=0,则ｚ=.解：由ｚ＋|ｚ|３=0ｚ=-｜ｚ｜3|z｜=|-|z|3||z|=｜|｜｜z｜3|z|＝|z|4|z｜=0,1;当|z|=0时,由z+|z|3=0z=0;当|z｜=１时,由z+|ｚ|3=０z＋=0z是纯虚数z=i.5．(2０2３年全国高中数学联赛试题)设ω=cos+isin,则以,３，7,9为根的方程是()ﻫ（Ａ)x４＋x3+x２+x+1=0(B)x4x3＋x2x+1=0(C)x4ｘ3x2+x+1=0(D）ｘ4+x3＋ｘ2ｘ１=0解:ω=cos＋isin＝coｓ+isiｎω,ω2,…,ω10是1的10个10次方根(x-ω）(ｘ-ω２)…(x-ω1０)=x10－１;又因ω2,ω4,ω6,ω8，ω１0是1的5个5次方根（x-ω２）(x-ω４)…(ｘ-ω１0）＝ｘ5-1;两式相除得：(x-ω)(ｘ－ω3)…(x-ω9)=x5+1,其中ω5=coｓπ＋iｓinπ=-1x-ω5＝ｘ+1(ｘ-ω)（x－ω3)(x－ω7）(x-ω9)==x４x3＋x２x＋１．选（B).9．复数与点[例9]：（1998年全国高中数学联赛试题)设复数ｚ=cｏsθ+isinθ(0０≤θ≤18０0),复数ｚ,（1+i)z，2在复平面上相应的三个点分别是Ｐ,Ｑ，R,当P，Ｑ，R不共线时,以线段PQ,PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S,则点S到原点距离的最大值是＿.[解析]：设点S相应的复数为ω,由PQSＲ为平行四边形ω＋z=(1+i）ｚ＋2ω=zi＋2|ω|２=（ｚi+2)(-ｉ+２z)＝5z＋２ｉ(z２-２)=5-4sin２θ≤９,当θ=时,等号成立点S到原点距离的最大值是3.8Y.P.M数学竞赛讲座[类题]：1.(1989年全国高中数学联赛试题）若A,Ｂ是锐角△AＢＣ的两个内角,则复数z=(cｏsＢ－siｎA)+i(sｉｎB-ｃosA)在复平面内所相应的点位于（）(Ａ)第一象限(B)第二象限(C)第三象限（D）第四象限2.(２0２３年全国高中数学联赛安徽预赛试题)若点A,B分别相应复数ｚ,ｚ-1，zＲ，则直线ＡＢ与x轴的交点相应的复数为(用z和表达).解:设A(a，b)B(，-)直线AB:y-ｂ=（x-a),令y=０x==.３.(202３年湖南高中数学夏令营试题）已知z为复数,arg(ｚ＋3)=1350，则取最大值时，z＝.解：取最大值|ｚ+６|+|ｘ-3ｉ｜取最小值z在线段x-2y+6=０（－6≤ｘ≤0)上;arg(z＋3）＝13５0z＋３在射线y＝-x(x≤0）上z在射线y=－x－３（ｘ≤-3)上ｚ＝－4＋ｉ.4．(1９99年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题）在复平面内由,,(i-１)３相应的点构成的三角形的最大内角等于.５.(2023年全国高中数学联赛河北预赛试题)假如复数z满足|z|＝１,A(-1,０),B(0，-1)是复平面上两点,那么函数f（z)=|（z+１)(－ｉ)|取最大值时,△ＡBＺ的形状是.解：设z=coｓθ+ｉsinθf(z)＝|(z+1)(-i)|＝|[(1+coｓθ）+isiｎθ］[cosθ-(1+sinθ)i]｜=|(1+ｃｏsθ）+isiｎθ||cｏsθ-(1+sｉnθ)ｉ|==2,为等腰三角形.10．模的意义［例１0]:（２０２3年全国高中数学联赛试题)已知复数z1,ｚ2满足|z1|=2，｜z2|＝3,若它们所相应向量的夹角为60０,则||=.［解析]:设z1,z２，z1+z２相应的点分别为Ａ,B,C,则四边形ＯACB是平行四边形,且∠ＡＯB＝６０0|z１-z2|=|AB|=;｜ｚ１+z2|=｜OＣ|=｜｜＝.[类题]:1.①（2023年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设复数z1=(2-ａ)+(1-ｂ)i,z2=（3+2a)+（２+３ｂ)i，z3=(３-a)+（３-2b)i,其中ａ，ｂ∈R,当｜z1|+｜z2｜+|ｚ3｜取得最小值时,３ａ+4b=.解:易求得z1+ｚ２+ｚ3=8+6i,于是｜z１｜+|z２|＋|z3|≥|z1+z２+z3|=|8+６i｜=1０,|ｚ１|+|z２|+|z3|取得最小值,当且仅当(2-a)：（１-b)=(3+2ａ）:（2+3b)=（３-a)：（3－2b）＝8：6(四向量同向),解得a=,b＝，所以3a+4b=12．②（1993年全国高中数学联赛上海预赛试题)已知复数z１,z2满足|z１｜≥1，|ｚ2|≥,则复数i19９3z1+ｉ1995ｚ２+2z1ｚ2的模长的最小值是.解:i1９93=ｉ,ｉ１995=-i,|ｉ１９93ｚ1+i1995ｚ2+２z1z2|＝｜i(z１－ｚ2)+２z1ｚ2｜≥2|ｚ1z2|-|z1-z2|≥3－（１+)=.２.(２０2３年全国高中数学联赛安徽预赛试题)设z是复数,则｜z-1|+｜z-i|+|ｚ+1|的最小值等于_＿_＿__＿___．解:在复平面上，设A(-1,0）,B(1,0）,C(0,１),则当z为△ＡBC的费马点(0,）时,|z－1|+|z-i|+|ｚ＋1|取得最小值，最小值为１+.Y．P.M数学竞赛讲座９3.(2023年全国高中数学联赛湖北预赛试题）设z是模为2的复数，则｜ｚ-|的最大值与最小值的和为.解:|z-|=|(ｚ2－1）|=|||ｚ2-1｜=|z2－1|．设w＝ｚ2,由|z|=2|w｜＝|ｚ2|=｜z|2=4,|z2－1|=|ｗ-1|的几何意义是半径为4圆上的点到定点(１,0)的距离最大值与最小值的和为44.（1999年全国高中数学联赛河北预赛试题)若复数z满足|ｚ+1+i|+|z-1－ｉ|=2,记|z＋ｉ|的最大值和最小值分别为M,m,则＝.解:在复平面上,设A(－1，-１)，Ｂ(1,1),C(0,-１)，则|AB｜＝２|z+1+i|+|ｚ-１-ｉ|=２点在线段ＡＢ上Ｍ=|BC|=,m＝.５.(19９8年第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数z的模为1,则函数｜z２+iz2+1|的值域是.解：|z２+iz2+1｜=|(1+i)ｚ2+1|=|1+i||ｚ２＋｜＝｜z2＋|,设w=z２,由|ｚ|＝1|w|=｜ｚ2|=|z｜２＝1,|ｚ2+|＝|ｗ＋｜的几何意义是单位圆上的点到定点(-,)的距离值域是[－1,+1].11．幅角主值[例11］:(1998年全国高中数学联赛试题)已知复数z＝1siｎθ+ｉcosθ(<θ＜π).求z的共轭复数的辐角主值.[解析］：=1ｓiｎθ-icosθ，设的辐角主值α，则taｎα==-=－＝-tan(+)=tａｎ[π-(+)］＝tan（-）α＝-.［类题]:１.(1984年全国高中数学联赛试题)集合S=｛z2|ａｒgz=ａ,a∈R}在复平面的图形是()(Ａ)射线arｇz＝2a(B)射线argz＝－2a(C）射线argｚ=-a(D)上述答案都不对解:由复数幅角主值定义知0≤arｇz<2π０≤a<２π０≤2a<4π,z＝r（cｏｓa＋iｓiｎa)z2＝r2(cos２a+ｉsｉｎ２a).①当0≤a＜π时,arｇz２=2a;②当π≤a＜2π时,argz2＝2a-2π,故选(D).2.(199８年全国高中数学联赛湖南预赛试题）设z是复数,z+2的幅角为,z-2的幅角为,则z=.解：设ｚ+2=R(+i),z－2=r(－+ｉ)Ｒ-２+Ri＝２-r＋rｉR-2=２－r，且R=ｒR=2z=-１+i.3．（1993年全国高中数学联赛试题)若ｚC,ａrｇ(z24)=,ａrｇ(z2+4)=，则z的值是__＿__＿__.解:设z2＋４，z2-４,z2相应的点分别为A,B,C，则Ｃ是AB的中点,∠ＢOA=-=|ＯＣ|=|AB|=４,ａrｇz２＝∠COx=+=z２=4(cos+isin)z=2(cｏs+sｉn)=（１＋i）．4．(1992年全国高中数学联赛试题)设z1,z2都是复数，且｜z1｜＝3，|z２|=５｜z1+z2｜=7,则aｒg（）３的值是＿＿____．1０Y.P.M数学竞赛讲座解:设z1,z2,z1＋ｚ2相应的点分别为Ａ,B,Ｃ，则四边形OABC为平行四边形,且cos∠ＯBＣ=-∠OBC=ａｒg（）＝∠BOA=π-＝，或ａｒｇ()=arg（）３=π．５.(１９9９年全国高中数学联赛试题)已知θ＝arctan,那么，复数z=的辐角主值是＿＿_____＿_．解：θ=arｃtａnｔanθ＝cosθ=，sinθ=z=(cｏｓθ＋iｓinθ)２(23９-ｉ)＝(１19+1２0i)(23９-i)=（2８561＋28561i)argz＝.１2．几何形状[例12]:(1995年全国高中数学联赛试题)设复平面上单位圆内接正２0边形的20个顶点所相应的复数依次为z１，z2,…，z20，则复数Ｚ1１995,z21995,…,z2０２３95所相应的不同的点的个数是.[解析]:设z１=cosθ＋ｉsinθｚk＝(cosθ+isinθ)（coｓ+isｉn）（1≤ｋ≤２０),由１9９5=2０×９9+１5zk1９９5＝(coｓ１9９5θ+isin1995θ）(ｃos(ｋ-1)＋ｉｓiｎ(ｋ-1）)=(coｓ1９9５θ＋iｓｉn1９9５θ)(cｏｓ+isin）ｋ-1=(ｃos１９95θ+isin1９9５θ）（-i)k-１，共有4个不同值.(1，-1,i，-i).[类题]：1.（２0２３年全国高中数学联赛浙江预赛试题)若在复平面上三个点Ａ(0),B(z０-ｚ)，C(z0+z)构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，其中z0=-+i,则△ABＣ的面积为.解:依题意，z０＋z=i(z0－z)z=z0=iz0,|ｚ0|2＝，△AＢC的面积为=|AB||AC|=|z０-z|｜z0＋ｚ｜=|（1－i)(1+i）|｜ｚ0|2＝.2.①(199２年全国高中数学联赛试题）设复数z1，ｚ2在复平面上相应的点分别为A，B,且｜z1|=4,4z122z1z2+ｚ22＝0,O为坐标原点,则△OAB的面积为.

解:4z１22z1ｚ２+z22=0(z2-z１)2=－３z１2ｚ2-z1=z1ｉ｜z2-z1｜=|z１|AB⊥OA，且|AB|=|ＯA|△ＯＡB的面积=|OA|｜AB|＝8.②(1９97年全国高中数学联赛上海预赛试题)设复数z1、z2满足ｚ1z2＝1,z1３＋ｚ23=0,且z1＋z２≠0.z1、z2在复平面内的相应点为Z1、Ｚ2，O为原点，则△Z１OＺ2的面积是＿_＿__解:ｚ1３＋z23=0(z１+ｚ2）(z12-z1z2+z22)=0z1２-ｚ1ｚ2+z2２=0=∠Z1ＯZ2=arg（)=△Ｚ1OZ2的面积=|z1z2|sin=.3.（1９9６年全国高中数学联赛试题)复平面上,非零复数z１，z2在以i为圆心,1为半径的圆上,z2的实部为零,z１的辐角主值为，则z2=_＿＿____.解：z２的实部为零ｚ2=ａiz2⊥ｚ2argｚ２=＋=|z2｜=ｚ２=（cos＋isin）=-+i.Y.P.M数学竞赛讲座１14.(2０2３年全国高中数学联赛广西预赛试题)已知关于x的实系数方程ｘ2-２x+2=0和x2+２mｘ+1=0的四个不同的根在复平面上相应的点共圆，则m的取值范围是．解：x2-2x+２=0z1＝1-i,ｚ2=1+ｉ,x2+2ｍｘ+１＝0ｚ３＝-m-i，z4=-m+i,:∈R=x（z1z2+ｚ３z4-z1ｚ４－z2z３)=x(ｚ１z2+z３z４-ｚ1z3-z２ｚ4)2+1-(1-ｉ)（-m+i)－（１+i)（-m-ｉ）=x[２+１-（1－i)（-ｍ-i)-(1+i)(-m+ｉ)]5．(1997年全国高中数学联赛试题)设非零复数a1,a2,a3,ａ4,ａ5满足,其中S为实数,且|S｜≤２.求证:复数a１,a2，ａ3，a4,a5在复平面上所相应的点位于同一圆周上.解:设=ｋ(k≠0)a2＝kａ1,a3＝k2ａ1,a4=k3a1，a５=ｋ４a1S＝a1+a2＋a3+ａ4+a5=ａ1(1+k+k2+k3+k４),S＝4(1++＋+)＝４(１+k+k2＋k3+k４)(4-a1)(1+ｋ+k2＋ｋ３+k4）=０．①若1+k+k2+ｋ3+k4=0k5=1｜k|=１｜a1|=|ａ２|=｜ａ3|=|a４｜＝｜a5|;②若4-a１=0a1k2＝2ａ3=21+ｋ+k2＋＋=,令ｋ+=xx２+x-1＝0,该实系数二次方程的△＝52S＞0,且ｆ（2)=５＞0,ｆ(-2)=1>0|x｜＜2