双曲线的切线和它的切点弦

双曲线的切线和它的切点弦的性质王安陶（安徽省淮南二中232038）证明证明本文探究双曲线切线的作法，自双曲线外一点所引切线的分布和切点弦的性质。下面先给出切线的一个定理。定理1双曲线的两个焦点，各自关于它的所在支切线对称点的轨迹，是以另一个焦点为圆心,实轴长为半径，且夹在各自焦点关于两条渐近线的对称点间的两段圆弧（不含弧的端点）.如图1,设Q1，Q2分别是焦点F1关于渐近线L］和L2的对称点,T为左支上任意一点,m为过T的切线.P为F］关于m的对称点,F］P交m于A.联PF2,由轴对称性质及双曲线的光学性质知ITPI=ITF1I且ZF1TA=zATP=zATF^・•・tpf2三点共线。・•.if2pi=if2ti-itpi=if2ti-itf1i=实轴长。又渐近线是切线的极限位置，・•・P点的轨迹是以f2为圆心，以实轴长为半径的圆弧QQ2（不含q1.q2两点）.同理,右焦点f2关于所在支动切线对称点的轨迹是以F1为圆心，以实轴长为半径的圆弧Q3Q4（不含q3.q4两点）。两段圆弧合起来就是所求的轨迹。用定理1作双曲线的切线。如图2,设M为双曲线外一点（区域W内），自M引双曲线的切线作法如下：（1） 作焦点片和f2关于各自所在支切线对称点的轨迹Q］Q2和q；q4；（2）以M为圆心，以IMFJ为半径画弧交Q1Q2于P］；以M为圆心，以MF2I为半径画弧交Q3Q4于P2;（3）联P1F1和P2F2，分别作P1F1和P2F2的中垂线MR］和MR2.则MR］和MR2分别为双曲线左,右两支的切线（或作直线F2P1和F1P2，分别交双曲线于T］和T2，再作直线MT1和MT2即得所求切线）。如图2,两条渐近线把双曲线的外部分成四个区域。当M在对称中心时，自M不能引它的切线；当M在渐近线上（除去对称中心）时，自M能引它的一条切线；当M在区域I或II时，自M分别能左支或右支的两条切线；当M在区域III或W时，自M都能引两条分别与两支相切的切线。下面给出双曲线切点弦的性质。x2y2定理2设M为双曲线 —-—=1(a，a2 b2b>0）外一点（不在渐近线上）。过M作双曲线的切线MA和MB，A.B为切点。又过M作一条割线交双曲线于R、S,交切点弦2MR-MSAB于Q,则MQ=—MR+MS分析定理中的条件可分为以下四种种情形：⑴切线与同一支相切，割线与两支相交；⑵切线与同一支相切，割线也与该支相交；⑶切线与两支相切，割线也与两支相交；⑷切线与两支相切，割线只与一支相交。这四种情形的证法是相同的。这里任选一种（如情形⑴）加以证明。图相交；⑶切线与两支相切，割线也与两支相交；⑷切线与两支相切，割线只与一支相交。这四种情形的证法是相同的。这里任选一种（如情形⑴）加以证明。图3 ―证明如图3,设M的坐标为（x0,y0）,MS为割线的正方向，其参数方程为2tt a2b2—b2x2+a2y2TOC\o"1-5"\h\z—1_^= 00>0t+1b2xcos6—a2ysin61 2 0 02ttt=1^一t+11 2用有向线段的数量表示就是2MR-MSMQ=—MR+MSx=x0+tcos9 （参数t为有向线段TOC\o"1-5"\h\z: 的数量） Qy=y0+tsin9xxyy而切点弦AB的方程为 0—=1Qa2 b2=1=1以Q代入Q得x(x+tcos6—0——0 a2

y(y+tsin0)0 0 b2a2b2—b2x2+a2y2

解得t= 0 0>0b2xcos6—a2ysin6(•.•9在MS割线的正方向上)以Q代入双曲线方程，化简并整理得：(b2cos29-a2sin29)t2+2(b2x0cos9-a2y0sin9)t-(a2b2-b2x02+a2y02)=0由韦达定理得t1+t2=－2(bxcos6+a2ysin6