山东省济南市泺口中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析

山东省济南市泺口中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（）A． B．2﹣ln3 C．4+ln3 D．4﹣ln3参考答案：D【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题．【分析】由题意利用定积分的几何意义知，欲求由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积曲边梯形ABD的面积与直角三角形BCD的面积，再计算定积分即可求得．【解答】解：根据利用定积分的几何意义，得：由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积：S=（3﹣）dx+=（3x﹣lnx）+2=3﹣ln3﹣1+2=4﹣ln3．故选D．【点评】本题主要考查定积分求面积．用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，属于基本运算．2.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点到它的一条渐近线的距离等于实轴长的，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由已知中双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长的，通过渐近线、离心率等几何元素，沟通a，b，c的关系，即可求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵焦点F（c，0）到渐近线y=的距离等于实轴长的，∴=2a×，∴a=2b∴e2=1+=∴e=故选：C．【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质，双曲线的渐近线与离心率存在对应关系，通过a，b，c的比例关系可以求离心率，也可以求渐近线方程．3.如图，在边长为2的正方形中，分别为的中点，为的中点，沿将正方形折起，使重合于点，在构成的四面体中，下列结论中错误的是（

）A．平面B．直线与平面所成角的正切值为C.四面体的外接球表面积为D．异面直线和所成角为参考答案：D4.在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为A.

B.

C.

D.参考答案：C略5.程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14参考答案：B【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．6.设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}，则M∩N＝()A．{－1,0,1}

B．{0,1}C．{1}

D．{0}参考答案：B7.已知M,N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若则A.M

B.N

C.I

D.参考答案：A8.函数的图像大致为参考答案：D解答：当时，，可以排除A、B选项；又因为，则的解集为，单调递增区间为，；的解集为，单调递减区间为，.结合图象，可知D选项正确.

9.已知集合，则等于（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：答案：B10.某学校组织的数学竞赛中，学生的竞赛成绩，，则直线与圆的位置关系是

A．相离

B．相交

C．相离或相切

D．相交或相切参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知四棱椎的底面是边长为6的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是

参考答案：96

12.设,集合则的值是

参考答案：-113.设圆C的圆心为双曲线的右焦点，且圆C与此双曲线的渐近线相切，若圆C被直线截得的弦长等于2,则a的值为

．参考答案：由题知圆心C(，0)，双曲线的渐近线方程为x±ay＝0，圆心C到渐近线的距离d＝＝，即圆C的半径为.由直线l被圆C截得的弦长为2及圆C的半径为可知，圆心C到直线l的距离为1，即＝1，解得a＝.

14.若，则＝

．参考答案：15.已知为正实数，且则的最小值为

．参考答案：216.如图，程序结束输出的值是______。参考答案：9117.若复数（1﹣i）（2i+m）是纯虚数，则实数m的值为．参考答案：﹣2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数（1﹣i）（2i+m）=m+2+（m﹣2）i是纯虚数，∴，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.从1、2、3、4、5、8、9这7个数中任取三个数，共有35种不同的取法（两种取法不同，指的是一种取法中至少有一个数与另一种取法中的三个数都不相同）.（Ⅰ）求取出的三个数能够组成等比数列的概率；（Ⅱ）求取出的三个数的乘积能被2整除的概率.参考答案：解：（1）从1、2、3、4、5、8、9这7个数中任取三个数，每一种不同的取法为一个基本事件，由题意可知共有35个基本事件。设取出的三个数能组成等比数列的事件为A，A包含（1，2，4）、（2，4，8）、（1，3，9）共3个基本事件。

由于每个基本事件出现的可能性相等，所以P（A）=

（2）设取出的三个数的乘积能被2整除的事件为B，其对立事件为C，则C包含(1，3，5)、（1，3，9）、（1，5，9）、（3，5，9）共4个基本事件。由于每个基本事件出现的可能性相等，所以P（C）=

所以，P（B）=1-P（C）=1-=

略19.（本小题共14分）已知函数（Ⅰ）若，求函数的极值和单调区间；(II)若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.参考答案：解：（I）因为，

……………2分当，

，

令，得，

………………3分又的定义域为，，随的变化情况如下表：0极小值

所以时，的极小值为1.

…5分的单调递增区间为，单调递减区间为；

…6分（II）解法一：因为，且，

令，得到，

若在区间上存在一点，使得成立，

其充要条件是在区间上的最小值小于0即可.

…7分

（1）当，即时，对成立，所以，在区间上单调递减，故在区间上的最小值为，由，得，即

…9分

（2）当，即时，

①若，则对成立，所以在区间上单调递减，

所以，在区间上的最小值为，显然，在区间上的最小值小于0不成立

…11分

②若，即时，则有极小值

所以在区间上的最小值为，由，得，解得，即.

…13分综上，由(1)（2）可知：符合题意.

…14分

解法二：若在区间上存在一点，使得成立，

即，因为,所以，只需

…7分令，只要在区间上的最小值小于0即可因为，令，得

…9分（1）当时：极大值

因为时，，而，

只要，得，即

…11分

（2）当时：极小值

所以，当时，极小值即最小值为，由，得，即.

…13分

综上，由(1)（2）可知，有.

…14分略20.如图，在四棱锥中，平面平面，，在中，，并且，（1）点是上的一点，证明：平面平面；（2）若△PAD为正三角形，当面平面时，求点到平面的距离．参考答案：解（1）因为，，由勾股定理得，因为平面平面，平面平面=，面，所以平面面，所以平面平面

………6分（2）如图，因为平面，所以平面平面，，做于，所以面，，设面面=，面平面所以面面，所以，取中点，得为平行四边形，由平面边长得为中点，所以………12分略21.已知是椭圆上一点，椭圆的离心率．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点P（0，3）的直线m与椭圆交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的方程．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得：，解出即可得出．（Ⅱ）设A（x1，y1），由A是PB的中点，得B（2x1，2y1﹣3）．把A，B坐标代入椭圆方程可得：，解出即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：，解得a=2，c=1，b2=3．∴椭圆的方程为．；（Ⅱ）设A（x1，y1），由A是PB的中点，得B（2x1，2y1﹣3）．∵A，B在椭圆上，∴，解得，∴直线m的斜率．∴直线的方程．22.（18分）已知函数y=f（x），若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则称x0为函数f（x）的局部对称点．（1）若a∈R且a≠0，证明：函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）若函数f（x）=2x+b在区间[﹣1，2]内有局部对称点，求实数b的取值范围；（3）若函数f（x）=4x﹣m?2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．参考答案：考点： 函数的图象；函数的值．专题： 函数的性质及应用．分析：（1）根据定义构造方程ax2+x﹣a=0，再利用判别式得到方程有解，问题得以解决．（2）根据定义构造方程2x+2﹣x+2b=0在区间[﹣1，2]上有解，再利用换元法，设t=2x，求出b的范围，问题得以解决．（3）根据定义构造方程4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0…（*）在R上有解，再利用换元法，设t=2x+2﹣x，方程变形为t2﹣2mt+2m2﹣8=0在区间[2，+∞）内有解，再根据判别式求出m的范围即可解答： 解：（1）由f（x）=ax2+x﹣a得f（﹣x）=ax2﹣x﹣a，代入f（﹣x）=﹣f（x）得ax2+x﹣a+ax2﹣x﹣a=0得到关于x的方程ax2+x﹣a=0（a≠0），其中△=4a2，由于a∈R且a≠0，所以△＞0恒成立，所以函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；（2）f（x）=2x+b在区间[﹣1，2]内有局部对称点，∴方程2x+2﹣x+2b=0在区间[﹣1，2]上有解，于是﹣2b=2x+2﹣x，设t=2x，≤t≤4，∴﹣2b=t+，其中2≤t+≤，所以﹣≤b≤﹣1（3）∵f（﹣