2022年湖南省长沙市宁乡县第十三高级中学高三数学理联考试卷含解析

2022年湖南省长沙市宁乡县第十三高级中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，、、是共起点的向量，、不共线，且存在使成立，则、、的终点共线的充分必要条件是A．B．

C．

D．参考答案：D2.给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：①；②f（3.4）=﹣0.4；③；④y=f（x）的定义域为R，值域是；则其中真命题的序号是（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④参考答案：B【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的判断与证明．【专题】压轴题；新定义．【分析】在理解新定义的基础上，求出{﹣}、{3.4}、{﹣}、{}对应的整数，进而利用函数f（x）=|x﹣{x}|可判断①②③的正误；而对于④易知f（x）=|x﹣{x}|的值域为[0，]，则④错误．此时即可作出选择．【解答】解：①∵﹣1﹣＜﹣≤﹣1+∴{﹣}=﹣1∴f（﹣）=|﹣﹣{﹣}|=|﹣+1|=∴①正确；

②∵3﹣＜3.4≤3+∴{3.4}=3∴f（3.4）=|3.4﹣{3.4}|=|3.4﹣3|=0.4∴②错误；

③∵0﹣＜﹣≤0+∴{﹣}=0∴f（﹣）=|﹣﹣0|=，∵0﹣＜≤0+∴{}=0∴f（）=|﹣0|=，∴f（﹣）=f（）∴③正确；

④y=f（x）的定义域为R，值域是[0，]∴④错误．故选：B．【点评】本题主要考查对于新定义的理解与运用，是对学生能力的考查．3.在等比数列中，则（

）

A.

B.3

C.2

D.参考答案：C4.若，则的大小关系是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C5.已知两点M（﹣1，0），N（1，0），若直线y=k（x﹣2）上存在点P，使得PM⊥PN，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：B考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：以MN为直径的圆的方程为：x2+y2=1，由于直线y=k（x﹣2）上存在点P，使得PM⊥PN，可知：直线与圆有交点，且k≠0，因此：≤1，且k≠0，解出即可．解答：解：以MN为直径的圆的方程为：x2+y2=1，∵直线y=k（x﹣2）上存在点P，使得PM⊥PN，∴直线与圆有交点，且k≠0，∴≤1，且k≠0，解得：，且k≠0．故选：B．点评：本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.已知函数，则不等式的解集为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A7.某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为

（

）

A．0.5

B．0.3

C．0.6

D．0.9参考答案：答案：A8.复数=（）A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i参考答案：C【分析】将分子、分母同时乘以1+2i，再利用多项式的乘法展开，将i2用﹣1代替即可．【解答】解：=﹣2+i故选C9.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：D略10.设集合A={x|＜0}，B={x|0＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|0＜x3} C．{x|0＜x＜1} D．?参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】把集合中的其他不等式化为x与x﹣1的积小于0，即x与x﹣1异号，即可求出其他不等式的解集，确定出集合A，求出两集合的交集即可．【解答】解：由＜0?x（x﹣1）＜0?0＜x＜1，∵B={x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜1}．故选C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.平面上有相异的11个点，每两点连成一条直线，共得48条直线，则任取其中的三个点，构成三角形的概率是．参考答案：【考点】C7：等可能事件的概率．【分析】通过讨论先判断出11个点中有一个4点共线，一个3点共线，然后利用组合的方法求出从11个点中任取三个点的方法及任取三个点能构成三角形的方法，利用古典概型的概率公式求出答案．【解答】解：若任意三点不共线，则任两点一条直线，共有直线C112=55，因为共得48条直线，少了7条，所以存在多点共线的情况，若3点共线的话则减少C32﹣1=2条，若4点共线减少C42﹣1=5条，若5点以上共线减少超过7条，所以11个点中有一个4点共线，一个3点共线，从11个点中任取三个点共有C113=165种，共线有C43+C33=5种由古典概型的概率公式得构成三角形概率是．故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，关键是求出事件包含的基本事件的个数，常用的方法有：排列组合的方法、列举法、列表法、树状图的方法等．12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为9，则输出的值为

.第14题图参考答案：106713.设：，：，若是的充分不必充要条件，则实数的取值范围是 ．参考答案：试题分析：，，，是的充分不必充要条件，所以，解得.考点：充要条件，绝对值不等式，一元二次不等式.14.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=____D____A.

B.

C.

D.参考答案：D选D15.抛物线C的顶点在原点，对称轴为y轴，若过点M(0,1)任作一条直线交抛物线C于A(x1，y1)，B(x2,y2)，且x1x2=-2，则抛物线C的方程为_____________。参考答案：答案：x2=2y16.设z=kx+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则实数k=．参考答案：2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出可行域，得到角点坐标．再对k进行分类讨论，通过平移直线z=kx+y得到最大值点A，即可得到答案．解答：解：可行域如图：由得：A（4，4），同样地，得B（0，2），z=kx+y，即y=﹣kx+z，分k＞0，k＜0两种情况．当k＞0时，目标函数z=kx+y在A点取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，即12=4k+4，得k=2；当k＜0时，①当k＞﹣时，目标函数z=kx+y在A点（4，4）时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，此时，12=4k+4，故k=2．②当k时，目标函数z=kx+y在B点（0，2）时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，此时，12=0×k+2，故k不存在．综上，k=2．故答案为：2．点评：本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义．17.若实数x、y满足约束条件，则z=4x+y的最大值为

．参考答案：14【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：联立，解得A（3，2），化z=4x+y为y=﹣4x+z，由图可知，当直线y=﹣4x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为14．故答案为：14．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线C:的焦点为F，过F的直线l与C相交于A,B两点.(Ⅰ)若，求直线的方程；(Ⅱ)若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆E上，求圆E的标准方程.参考答案：（Ⅰ）依题意知直线l与坐标轴不垂直，故可设直线l的方程为，（m≠0）

①代入中，得，设A(x1,y1）,B(x2,y2),则y1+y2=4m，y1y2=－4，②

---------2分∵，即∴，代入①得------------------------4分∴直线的方程为或--------------5分（也可写成或）(Ⅱ)∵∴AB的中点为D(2m2+1,2m），，---6分因直线的斜率为－m，所以直线的方程为

将上式代入中，并整理得.设M(x3,y3),N(x4,y4),则.故MN的中点为E（.----------------8分由于MN垂直平分AB，故A,M,B,N四点在同一个圆上等价于,从而,即，解得m=1或m=－1，----------------10分圆心或，半径圆E的方程为或--------------12分19.．在中，角所对的边分别为．已知．（Ⅰ）若．求的面积；（Ⅱ）求的取值范围．

参考答案：（1）

由三角形正弦定理可得：，，

……5分

……7分（2）……11分

，

……12分

则

……14分20.（本小题满分13分）已知圆的方程为，过点作圆的两条切线，切点分别为、，直线恰好经过椭圆：的右顶点和上顶点．（1）求直线的方程及椭圆的方程； （2）椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率，求椭圆的方程;（3）设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上,,求直线的方程.参考答案：（Ⅰ）观察知，是圆的一条切线，切点为，--------------1分设为圆心，根据圆的切线性质，，

--------------2分所以，

--------------3分所以直线的方程为

--------------4分直线与轴相交于，依题意，

--------------6分所求椭圆的方程为

（2）

8分9分

11分

13分21.某单位设计了一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD再用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB=BC。 （1）设AB=x米，cosA=f(x)，求的解析式，并指出x的取值范围； （2）求四边形ABCD面积的最大值．参考答案：略22.设函数

(1)当时,求函数的最大值;(2)令()其图象上任意一点处切线的斜率恒成立,求实数的取值范围;(3)当,,方程有唯一实数解,求正数的值.

参考答案：(1)(2)≥(3)(1)依