2022年度辽宁省沈阳市十九高级中学高三数学文期末试卷含解析

2022年度辽宁省沈阳市十九高级中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知满足则的最大值为A．

B．

C．

D．参考答案：C【知识点】线性规划E5由线性规划知识可知当目标函数过可行域的点时取得最大值，这时，所以C为正确选项.【思路点拨】由条件可求出可行域，再根据目标函数求出最大值.2.若实数a，b满足a＞0，b＞0，则“a＞b”是“a+lna＞b+lnb”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】据a，b的范围结合函数的单调性确定充分条件，还是必要条件即可．【解答】解：设f（x）=x+lnx，显然f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵a＞b，∴f（a）＞f（b），∴a+lna＞b+lnb，故充分性成立，∵a+lna＞b+lnb”，∴f（a）＞f（b），∴a＞b，故必要性成立，故“a＞b”是“a+lna＞b+lnb”的充要条件，故选：C3.函数的定义域为(

）A．

B．

C．

D．参考答案：D4.已知二次函数满足且，则含有零点的一个区间是

（

）

A．(-2,0)

B．(-1,0)

C．(0,1)

D．(0,2)参考答案：A5.对于集合，如果定义了一种运算“”，使得集合中的元素间满足下列4个条件：（ⅰ），都有；（ⅱ），使得对，都有；（ⅲ），，使得；（ⅳ），都有，则称集合对于运算“”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“”：①，运算“”为普通加法；②，运算“”为普通减法；③，运算“”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有(

)A①②

B①③

C②③

D①②③参考答案：B略6.若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（

）A．

B．至多有一个

C．

D．参考答案：D试题分析：因为直线和圆没有交点，所以，即，所以点在圆内，即点在椭圆内部，所以过点的直线与椭圆有两个公共点，故选D.考点：1.直线与圆的位置关系；2.点与圆、点与椭圆的位置关系；3.直线与椭圆的位置关系.7.设a∈,则使函数的定义域是R,且为奇函数的所有a的值是(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：A8.下列命题：①“”是“存在n∈N*，使得成立”的充分条件；②“a＞0”是“存在n∈N*，使得成立”的必要条件；③“”是“不等式对一切n∈N*恒成立”的充要条件．其中所以真命题的序号是（）A．③B．②③C．①②D．①③参考答案：考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：选项①“”应是“存在n∈N*，使得成立”的充要条件；选项②当存在n∈N*，使得成立时，a只需大于当n∈N*，时的最小取值即可，可得a＞0；选项③由充要条件的证明方法可得．解答：解：选项①当时，必存在n∈N*，使得成立，故前者是后者的充分条件，但存在n∈N*，使得成立时，a即为当n∈N*，时的取值范围，即，故“”应是“存在n∈N*，使得成立”的充要条件，故①错误；选项②当存在n∈N*，使得成立时，a只需大于当n∈N*，时的最小取值即可，故可得a＞0，故“a＞0”是“存在n∈N*，使得成立”的必要条件，故②正确；选项③由①知，当n∈N*时的取值范围为，故当时，必有“不等式对一切n∈N*恒成立”，而要使不等式对一切n∈N*恒成立”，只需a大于的最大值即可，即a故“”是“不等式对一切n∈N*恒成立”的充要条件．故选B点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及指数函数和恒成立问题，属基础题．9.已知，满足约束条件，若的最小值为，则A. B. C. D.参考答案：A10.已知为第二象限角，，则的值等于A. B. C. D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知f（x）=，则不等式f（x2﹣x+1）＜12解集是．参考答案：（﹣1，2）【考点】5B：分段函数的应用．【分析】由题意可得函数f（x）为奇函数，函数f（x）在R上是增函数．令x2+x=12，求得x=3或x=﹣4（舍去）．故由不等式f（x2﹣x+1）＜12，可得x2﹣x+1＜3，由此求得x的范围．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，∴函数f（x）为奇函数，再根据二次函数的图象和性质可得：f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（0）=0，可得函数f（x）在R上是增函数．令x2+x=12，求得x=3或x=﹣4（舍去）．∴由不等式f（x2﹣x+1）＜12，可得x2﹣x+1＜3，即（x+1）（x﹣2）＜0，解得﹣1＜x＜2，故答案为：（﹣1，2）．12.已知a，b∈R，a2﹣2ab+5b2=4，则ab的最小值为

．参考答案：考点：基本不等式．专题：三角函数的图像与性质．分析：a2﹣2ab+5b2=4，配方为（a﹣b）2+（2b）2=4，令a﹣b=2cosθ，2b=2sinθ，θ∈[0，2π）．可得ab=（sinθ+2cosθ）sinθ=+sin（2θ﹣α），即可得出．解答： 解：a2﹣2ab+5b2=4，配方为（a﹣b）2+（2b）2=4，令a﹣b=2cosθ，2b=2sinθ，θ∈[0，2π）．∴b=sinθ，a=sinθ+2cosθ，∴ab=（sinθ+2cosθ）sinθ=sin2θ+sin2θ==+sin（2θ﹣α），tanα=．∴当sin（2θ﹣α）=﹣1，ab取得最小值：．故答案为：．点评：本题考查了配方法、三角函数代换法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.设满足不等式，若，则的最小值为

参考答案：作出满足不等式的平面区域，如图所示，当直线经过点时目标函数取得最小值－1．又由平面区域知，则函数在时，取得最大值，由此可知的最小值为．14.若实数满足，则目标函数的最大值是_____参考答案：1315.已知直线l1与直线垂直，且与圆相切，则直线l1的一般方程为

．参考答案：或16.数列是正项等差数列，若，则数列也为等差数列.类比上述结论，写出正项等比数列，若=

，则数列{}也为等比数列.参考答案：答案：17.已知函数，实数x，y满足

，若点M(1，2)，N(x，y)，则当≤4时，的最大值为

(其中O为坐标原点)参考答案：12三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，b，c.向量满足∥.

(1)求sinA＋sinB的取值范围；(2)若，且实数x满足，试确定x的取值范围．参考答案：解：(1)因为m∥n∴，＝，即ab＝4cosAcosB.因为△ABC的外接圆半径为1，由正弦定理，得ab＝4sinAsinB.…………2分于是cosAcosB－sinAsinB＝0，即cos(A＋B)＝0.

因为0＜A＋B＜π.所以A＋B＝.故△ABC为直角三角形．…………4分sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝sin(A＋)，因为＜A＋＜，所以＜sin(A＋)≤1，故1＜sinA＋sinB≤.

………………6分(2)x＝.

………………7分设t＝sinA-cosA()，则2sinAcosA＝，………………9分x＝，因为x′＝，故x＝在()上是单调递增函数．

………………12分所以所以实数x的取值范围是（）…14分19.已知△ABC的面积为S，且?=S．（Ⅰ）求tan2B的值；（Ⅱ）若cosA=，且|﹣|=2，求BC边中线AD的长．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）根据△ABC的面积，结合平面向量的数量积求出tanB的值，再求tan2B的值；（Ⅱ）根据tanB的值，求出sinB、cosB，再由cosA的值求出sinA，从而求出sinC=sinB，判断△ABC是等腰三角形，求出底边上的中线AD的长．【解答】解：（Ⅰ）△ABC的面积为S，且?=S；∴accosB=acsinB，解得tanB=2；∴tan2B==﹣；（Ⅱ）∵|﹣|=2，∴||=2，又tanB==2，sin2B+cos2B=1∴sinB=，cosB=；又cosA=，∴sinA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=；∵sinB=sinC，∴B=C，∴AB=AC=2，∴中线AD也是BC边上的高，∴AD=ABsinB=2×=．20.如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数的图象，且点M到边OA距离为t（0＜t＜2）．（I）当时，求直路l所在的直线方程；（Ⅱ）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？参考答案：解：（I）∵，∴y′=﹣x，∴过点M（）的切线的斜率为﹣t，所以，过点M的切线方程为，即．当t=时，切线l的方程为．即当时，直路l所在的直线方程为；（Ⅱ）由（I）知，切线l的方程为，令y=2，得x=，故切线l与线段AB交点为F（），令x=2，得y=，故切线l与线段BC交点为G（）．地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，设其面积为f（t），∴==（0＜t＜2）．，∴当t∈（0，）时，f′（t）＞0，f（t）为单调增函数，当t∈时，f′（t）＜0，f（t）为单调减函数．∴当t=时，f（t）的极大值（最大值）为．∴当点M到边OA距离为米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为平方米．略21.（本小题满分12分）已知向量，其中，记函数，已知的最小正周期为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）当时，试求的值域．参考答案：(Ⅰ)==.

∵

，∴

，

∴=1；

(Ⅱ)由(1)，得，∵

，∴

.∴

的值域．

22.当前全世界人民越来越关注环境保护问题，某地某监测站点于2018年8月起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下表：空气质量指数（μg/m3）[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染天数2040m105

（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；（2）由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；（3）在空气质量指数分别为[0，50]和（50，100]的监测数据中，用分层抽样的方法抽取6天，从中任意选取2天，求事件A“两天空气质量等级都为良”发生的概率。参考答案：（1）见解析（2）平均数为95，中位数为（3）【分析】（1）由频率分布表求出n，m，由此能完成频率分布直方图．

（2）由频率分布直方图能求出该组数据的平均数和中位数．（3）由题意知在空气质量指数为[0，50]和（50，100]的监测天数中分别抽取2天和4天．在所抽取的6天中，将空气质量指数为[0，50]的2天记为x，y，空气质量指数为（50，100]的4天记为a，b，c，d，从中任取2天，利用列举法能求出事件A“两天空气质量等级都为良”发生的概率．【详解】（1）.∵，.∴n=100.∴20+40+m+10+5=100.∴m=25;;;，由此完成频率分布直方图如图.（2）.由频率分布直方图得该组数据的平均数为25×0.004×50+75×0.008×50+125×0.005×50+175×0.002×50+225×0.001×50=95，∵[0，50]的频率为0.004×50=0.2，（50，100]的频率为0.008×50=0.4，∴中位数为（3）.由题意知在空气质量指数为[0，50]和（50，100]的监测