2017中考数学二轮复习：几何辅助线、二次函数压轴题全解参考答案

中考满分教程系列

参考答案

中考命题的参考书

课堂教学的指导书

学生自学的备考书

我爱压轴题出品

目录

第一部分

第一章四类几何辅助线................................................4

1.I连接................................................................4

1.2延长...............................................................5

1.3平行................................................................5

1.4垂直...............................................................6

第二章三大几何辅助线................................................7

2.1截长补短............................................................7

2.2倍长中线...........................................................8

2.3旋转................................................................9

第三章常见几何模型.................................................10

3.1垂直模型...........................................................10

3.2角平分线模型......................................................12

3.3一线三等角模型....................................................13

3.4等腰直角三角形模型................................................15

3.5中位线模型........................................................16

3.6垂径定理模型......................................................16

3.7折叠模型..........................................................17

3.8旋转模型..........................................................19

第二部分

第四章三角形的存在问题.............................................21

4.1直角三角形的存在问题..............................................21

4.2等腰三角形的存在问题.............................................25

4.3等边三角形存在的问题.............................................27

4.4等腰直角三角形存在的问题.........................................28

4.5全等三角形存在的问题.............................................29

4.6相似三角形的存在问题.............................................33

第五章四边形的存在问题.............................................38

5.I平行四边形的存在问题..............................................38

5.2矩形的存在问题....................................................42

5.3菱形的存在问题....................................................44

5.4正方形的存在问题..................................................46

5.5梯形的存在问题....................................................48

2/100

第六章面积问题.....................................................51

6.1面积最大值........................................................51

6.2面积最小值........................................................53

3.3面积比值..........................................................55

6.4重叠部分面积......................................................56

6.5面积的加减乘除....................................................60

第七章最短路径问题.................................................62

7.1最短路径问题---和最小............................................62

7.2最短路径问题——差最大............................................65

第八章其他问题.....................................................66

8.1垂直平分..........................................................66

8.2角相等............................................................66

8.3中点路径..........................................................70

8.4圆................................................................72

8.5角度定值..........................................................75

8.6新定义............................................................77

8.7平移抛物线........................................................79

8.8中心对称抛物线....................................................81

第三部分

第九章部分城市中考数学压轴题分析..................................82

9.1北京中考数学压轴题分析............................................82

9.2上海中考数学压轴题分析...........................................83

9.3广州中考数学压轴题分析...........................................84

9.4重庆中考数学压轴题分析...........................................86

9.5武汉中考数学压轴题分析...........................................90

9.6成都中考数学压轴题分析...........................................93

9.7宁波中考数学压轴题分析...........................................94

9.8哈尔滨中考数学压轴题分析.........................................96

3/100

第一部分

第一章四类几何辅助线

1.1连接

1.解：①图2成立，理由如下：

过点。作DN工BC,则NDME=NDNF=NMDN=9。。,

又•；ZC=90。，，DM"BC,ON〃AC,•・•。为43边的中点，

11

由中位线定理可知：DN=?AC,MD=2BC，,「AC=5C,；,MD=ND,

\,Z.EDF=90°,JNMDE+NEDN=90。,ZNDF+ZEDN=90。,

.•.ZMOE-Z.VOf.ftAD*f£^4£WAIl'.

■:乙DME=LDNF,MD=ND,£MDE=£NDF,：.^DME=nDNF(ASA),

:&i»ii=Saiwr./I.JVtwi'N=S用心也pea=Si,AW+SAW.

11

由以上可知=..♦.+=.

S网14形MIC*2sAAHCSA/>££$aCEF2sAAtiC

②图3不成立，理由如下:

i£ttZX-.先ii叫，aOCGAflflF,ASA.ZMT-Z/W-IVi.

___SABC

UEF二ShKlW，QBFEC=$GCFE+SGDHC二St.CFc+”•:&ItEf—SaCFE

1

图1图2图3

2.解：(1)是。O的直径，，NAMB=90。,

TM是弧AB的中点，，弧"8=弧加4,...MAnMB,

...△AMB为等腰直角三角形，

：.AABM=Z.BAM=45°,NOMA=45°,

OMLAB,MB=2A8=2x6V2=6,

・・・NMOE+N8OE=90。,VZCOD=90°,Z.MOE+ZMOF=90°,

，乙BOE=CMOF,

住AaB£"AOMF，3OB=O.W.ZOB£=ZOMF.ZBOK=ZMPr.

:、△OBESOMF(AAS),；.OE=OF,

(2)NPMQ为定值，理由如下：

11

•：£BMQ=2/BOQ,NAMP=2/AOP,

4/100

1

・・・N8MQ+NAMP=2(NBOQ+NAOP),

,/ZCOD=90°,,・・N8OQ+NAOP=90。，.・.NBMQ+NAMP=2乂90。=45。，

「・NPMQ=N3MQ+NAMB+NAMP=450+90°=135。，

<J>A皿的因Klj*小IVWillBiF«

•・・OE=OR「.△OEb为等腰直角三角形，・・・£/=隹。£：,

■:4OBE三AOMF,.\BE=MFf

：・4EFM的周长=M+MF+M£=EF+5E+ME=Er+M3=$0E+6,

当OE_LBM时，OE最小，此时。£=23M=2X6=3,

「.△EFM的周长的最小值为3+6=9.

1.2延长

1.解：(1)・「N84。=30。，・・・/840=180°—30°=150°；

(2)延长CD至点£,使得。七=5C,连接AE,并作E凡LAC于点F,

•・・N8+NA£)C=180。，NAOE+NAOC=180°,"B=ZADE,

4T,W-"，・.3WAW.

1

/.ZCAE=Z.DAE+ZCAD=ZBAC+ZCAD=30°,:、EF=2AE=2，

11

；.£Hi)<>MK3SAABC+SaMM：=SiAIM+Sa

1.3平行

I.<1>加图1,在MW。中.是AA8c的中级.&ABC为嚼运:.用形.

：.AD±BCtNMAD=30。，又・.・a=NB£)M=30。，/.ZM£)A=60°.

5/100

Wu.在AAMN中.Z.AMNWu.Z.MANMF."AMNZDMAW1.ZAM/VZ.MDA.

NCCF

',"I»N.；1AC»<，#«Z"VIOf.K»(W>A«MV.-IM-AW-

AN-ACBMAB-AM

AN=AM=AM，

11

=，即+=2；

yACxABxy4rAe—ACAB-xAB

(3)猜想：l+l=i成立.理由如下：

xryn

①如图，过及作AfM〃MN交A8于AT,交AC的延长线于M,

AMAGANyyyy

则AM=AO=AN,x=〃=y,BPx=n,y=n,

②如图，当过点。作MTV"〃MN交AB的延长线于M",交AC于M,

则同理可得L+L=L

1.4垂直

1.解：(J)如图I,过点F作尸M-LAB于点M,在正方形ABCD中，AC_LB。于点E.

I

：.AE=2AC,NABD=NCB£>=45°,「AF平分NBAC,：.EF=MF,

又••.RSAJSRIAAEF.J.AETM.；，MF8=NA"=45".

1

二MF=MB,MB=EF,1・七尸+2AC=M8+AE=M8+AM=4B.

(2)EjFi，Ui。与48三者之间的数量关系：E\F\^--A\C\=AB,理由如下:

22

如图2,连接尸1。|,过点Q作QP_LA]8于点P,FiQ工BC于点Q,

•・AF1平分NBA£i，・・・\尸1=「尸1；同理QFi=P&,••百尸1=尸产1=。尸1，又丁人出=

，同理】产々尸・，

AiFt,.•.RtA4|£iFI«RtAA|PFi：.A\E\=A\P,RsQFCRs[Cj,GQ=

QE],

6/100

由题意：A]A=C]C,：,AiB-\-BC\=AB+A\A-]-BC-C\C=AB-\-BC=2AB,

\'PB=PF\=QF\=QB..\A]B+BC\=A\P+PI3-i-QB+C\Q=A\P+C\Q+2E\F]f

1

即2AB=AiE]+CiFi+2EjF1=A।Ci+2E\F\,：,E\F\+2A\C\=AB.

(3)设尸B=%,则Q8=斯,/A1Ei=3,QC\=C\E\=2,

RtAABG中.W(3+X)2+<2+x>J-5；.

.,.X|=l,X2=-6(舍去),：.PB=\,：.EyF\=\,又•.•A|Cj=5,

由(2)的结论：E\F\+1A\C\=AB,：.AB=2,：.BD=1"^2.

第二章三大几何辅助线

2.1截长补短

I.解：⑴•直线丫=-3xH与两坐标轴交于A、B,J.A(3,0),R(0,J

MO=l,

过M作MF垂直AB于F,则NME4=NBQA=90°,,：Z.FAM=Z.OAB,

4MMF

.".△ME4s△BQA,=OB'•A(3,0),B(oV-3),(W(1.0).

：.OA=3,OB=，§,OM=1,.,.AM=3-1=2,由勾股定理得：AB=2小，

2MF

----3,MF=\=OM,,：MFLAB,二直线AB是小。M的切线.

(2)小。M以2单位/秒的速度沿x轴向右平移，圆心M(l,0),

则移动r秒后的圆心变为(2/+1,0)；

:B(0>方,M(1,0),二直线BM的解析式为：y=-3N-3,如为

大。M以1单位/秒的速度沿射线B/W方向平移，圆心0),

1£

则移动，秒后的圆心变为(1+2，，一2八，

①当两圆外切时，两圆心距离为两圆半径的和即:

3,解得干3秒,

⑵当网和内切时，巧困心即兴为利而半径的茂

(3)如图连接A/B,则MB=2,

•：MO=\,...在RtaBCO中，NBMO=60°,

:BE//x轴,；.NMBE=NBMO=60°,

...△8EM是等边三角形，.'.ABEM=C>0°,；.NPEB=2NEM,

在PM上截取PN=PE,连接"E,

7/100

'.'ZEPA7=60°,PE=PN,「.△PNE是等边三角形，1,PE=EN,Z.PEN=60°,

"ENM=600+60°=120°=ZEPB,

(NPEB=ZNEM,

在△PBE和中<PE=EM.'.△PBE^AWE(ASA),

[Z.EPB=Z.ENM,

：.PB=NM,：.PM=PN+NM=PE+PB,

；,PB、PE、PM三者之间的数量关系为：PM=PB+PE.

2.2倍长中线

1

1.解：(1)BM=DM,BM工DM,在RtZkEBC中，M是斜边EC的中点，，BM=2EC=EM=MC,

1

；・4EMB=2NECB.在Rt2\EOC中，M是斜边EC的中点，，DM=2EC=EM=MC.

，NEMD=2/ECD.NEMD+/EMB=2(ZECD+ZECB),

NECD+NECB=NACB=45。,N8MD=2NAC8=90。，即

(2)(1)中的结论仍成立，

延长OM至点F,使得。M=MF,并连接CO,EF,BD,BF与FC,延长ED交AC于点、H.

\'DM=MF,EM=MC,・••四边形CDEF是平行四边形，,二。七〃CF,ED=CF,

\'ED=AD,.\AD=CF.YDE"CF,Z.AHE=Z.ACF.

ZBAD=45°-ZDAH=45°-(90°-ZAHE)=NAHE—45。,』BCF=ZACF—45。,

"BAD=£BCF.又・；AB=BC,•■.△ABD^ACBF,：.BD=BFf/ABD=NCBF\

NABD+ZDBC=ZCBF+/DBC,/.ZDBF=NABC=90。.

在RtZkOB/7中，由BD=BF,DM=MF,得8M=DM且

2.解：(1)•・•四边形A3CQ是正方形，・・.BC=A8,YE为A3中点，尸为4E中点，

13

.\2BE=2AE=AB,2PE=AE,•:BE=BF,，CF=BC+BF=3BE,BP=BE+2BE=2BE>

8/100

：.BP=2CF.

(2)存在,理由如下:

•：AEHBF,EBLBF,；.EBLAE,：.a=Z.ABE,•/cosa==^g=2>，a=60°或300°.

存在，使得AE//BF,当a=60。或300。时，AE//BF.

(3)延长8P到G,使BP=PG,连接AG、EG,延长PB交CF于H,

'：AP=EP,BP=PG,...四边形ABEG是平行四边形，.,.AG=B£=BF,AG//BE,

r.NGAB+NABE=180°,：NABC=NEBF=90°,.'.Z.CBF+ZABE=360°-180°=180°,

[AG=BF,

■■■£CW-£B.W.A：aAC««>40(T'P<ZG«-Zf»C.

[A8=BC,

；・CF=BG=2BP,£ABG=4BCF,：.Z.ABG+ZCBH=180°-90°=90°,

1

・・・N8CF+NC8”=90°，「♦NCH8=180°-90°=90°,IBP工CF,BP=?CF.

G

2.3旋转

I.解：如图.旃AA6P烧点8顺时计箕转90",使得AB与fit?明令.

PJFC-M-I.ASPA-独尊展J1角：PH-2.V2.02WC中.Pp+f>/=<22>'+J=9.2产’+产/-«<.'.△PPC足“用

一角形.ZBrc=Zflr/,+zprc=45*+w=i35*.

•••△C3产是△ABP绕点B顺时针旋转90。得到

2.解：(1)在RtZkABE和RtZkAGE中，AB=AG,AE=AE.：.RtAABE^RiAAGE(HL).

：.Z-BAE=Z.GAE.同理，乙GAF=/DAF..二NEA尸=2/8AO=45°.

(2)MN2=ND1-\~DH2,理由如下：

9/100

Z.BAM=Z.DAHfN8AM+NOAN=45°,二N/MN=NDAN=45°.

，乙HAN=4MAN.又・.・AM=AH,AN=AN,...△AMNSAHN.；,MN=HN.

9

\Z.BAD=90°,AB=ADfZ.ABD=Z.ADB=45°.二ZHDN=ZHDA+NADB=90°.

_222222

:.NY=ND"+DH\+。片.

(3)由(1)知，BE=EG,DF=FG.设AG=x,则CE=x—4,CF=x-6.

在Rtz\CEF中，•：CE1+CF2=EF2,G-4)2+(x-6)2=

10.解得内=12,X2=-2(舍去).，4G=12.

在Rt^ABD中，/.BD=^BZ+AD~=-^AG2=12点

在(2)中，MN1=NDi+DH2,BM=DH,.".MfT=NI^+BM2.

设MN=a,则/=(］动一3S-aV+cS/.即/=(9电-a)2+(3^)2,

.'.。=5/即MN=5忑.

第三章常见几何模型

3.1垂直模型

1.解：(1)如图1,过点B作BE_Ly轴于点E,作BFLr轴于点F.

由已知得，BF=OE=2,0/=4而2=班，.•.点3的坐标是电,2),

14=b［迫

«AM41MIKJu*rMV：一•

(2=2^3k+bl*=4

交

J.直线AB的解析式是y=-3x+4;

(2)如图2,•.,△ABD由△40P旋转得到,.".△ABD»AAOP,：.AP=AD,Z.DAB=Z.PAO,

：.Z.DAP=Z.BAO=W°,...△AOP是等边三角形，：.DP=AP=-\K+(^=^19.

如图2,过点。作£WJLx轴于点”，延长EB交于点G,则BG_LDH.

【方法一】

在Rtz\BDG中，ZfiGD=90°,NDBG=60。，

r1^/3「逆35r7

.•.BG=BD*cos600=3x-J-=JL-,DG=8Z>sin600=3xyj：.OH=EG=-yJ3.DH=

222222

.•.点。的坐标为(23%)：

【方法二】

BGDGBD

易得NAEB=NBGD=90。，NABE=ZBDG,:.小ABES公BDG,.".AE=BE=AB-

10/100

「「史也苴止3

\'AE=2fBD=0P=3fBE=2、3,AB=4,2=乖=4,解得8G=2,DG=2；

5J57

：.0H=2^3,・••点。的坐标为2）,

史

<3）假设存在点P,在它的运动过程中，使△OPO的面积等于4.

设点P为（/,0）,下面分三种情况讨论：

3义也义3

①当/>0时，如图，BD=OP=t,DG=T/,.,.ZW=2+T/.;△OP。的面积等于丁,

1"3"3苫—2'"21-2"3

.'.2/（24-^F/）=T»解得寸"，，2=打寸"（舍去），

「•点P1的坐标为（寻~~；J,0）.

②••・当。在），轴上时，根据勾股定理求出8。=寸=0P,

433

「・当一寸〈占0时，如图，BD=OP=-t,OG=一寸

3133

：,GH=BF=2~（一寸f）=2+十心,:4OPD的面积等于寸\.•.一，《2+寸/）=寸,

解得“二一'，，2=一43,・,•点P2的坐标为（一0）,点P3的坐标为（一，3,0）.

6・・・。〃=一寸f-2.

③当区一,如图3,BD=OP=~t,DG

1

•••△OPD的面积等于土（-r）[-（2+始）尸小

：.2

21231j虫―「市-丁

解得“=3（舍去），&=3，，点P4的坐标为（3，0），

苴厂-^-2寸

二・点P的坐标分别为（3,0）,（-3,0）,（一^3,0）或（3,0）.

11/100

3.2角平分线模型

1

1.解：(1)・「A8=AC,NA=100°,.•・NA8C=NAC8=2(180°-ZA)=40°,

1

•「C。平分NAC8,.•・NACO=NBCD=2NACB=20°,

/.ZADC=180°-ZA-ZACD=180°-100°-20°=60°,故答案为60；

(2)【方法一】

延长CD使CE=8C,连接BE,在C8上截取C7=AC,连接。F,

1

ZCEB=ZCBE=2(180°一/88)=80°,

ZEBD=ZCBE-AABC=80°-40°=40°,"EBD=ZABC,

[AC=CF,

在△AC。和△?(?£)中，\Z.ACD=/LFCD=20°,.,.△ACD=AFCD(SAS),

[CD=CD

：.AD-DF.£DFC-ZA-100*.£BDF/.DFCZABC-KMf40*=60'.VZiDB-Z/tDC^W.：.4EDB一BDF.,ZEBD-.

[ZEDB=ZFBD,

在△8OE和△8。尸中，<BD=BD,,：,ABDE=^BDF(ASA),：・DE=DF=AD,

l/EBD=/FBD

•/BC=CE=DE+CD,：,BC=AD+CD.

【方法二】

在CB上截取CE=C£>,连接OE,截取CF=CA,连接OF,

1

ZCED=ZCDE=2(180°-N6C0=8O°,Z.BDE=Z.CED-ZB=80°-40°=40°，

：.£BDE=Z.B..,.BE=DE.:'，ACD=4BCD.CD=CD.△ACD-AFCO<SAS»..,.AD=DF.ZDFC=Z^=100*..'.ZBfD=l80°-ZDFC=180'-100*=80'.

：.£BFD=£CED.：.BE=DE=DF^AD..,.BC=BE+CE=AD+CD.

12/100

G

【方法三】

在CB上截取CE=C£),连接QE,过点。分别作。G_LC4于点G,DELCB于点B

1

ZCED=ZCDE=2(180°-ZBCD)=80°,ZDGA=ZDFE=90°,

:CD是NACE的平分线，：.DG=DF,/.BAC=l(K)°，,NDAG=180°-N8AC=80°,

：.Z.DAG=Z.CED,:ADEFODAG(AAS),：.DE=DA,

•：Z.ADC=60°,.,.ZBDE=1800-NCDE-NAOC=180°-80°-60°=40°,

；.NBDE=NB=40°,：.BE=DE=DA,：.：.BC=BE+CE=AD+CD.

3.3一线三等角模型

1.解：(1)为BC边中点，；.BP=CP,'：AB=AC,AD=AE,：.BD=CE,

•「△ABC是等腰直角三角形，AB=AC,，NB=NC=45°,

(BP=CP

在△BPD和aCPE中〈NB=NC,.'.△BPDSCPE(SAS)；

[BD=CE

(2)•；NMPN=45°,：.Z.BPD+Z.CPE=\^°-45°=135°,,.•//?=ZC=45°,

.,.ZBDP+ZCEP=180°32-45°,2-135°=135°,

即NBDP+NC"的度数是定值135°：

过点P作PF_LAB于F,作PH_LAC于H,易得△BPFSCPH,；.PF=PH,

把△PDF绕点P顺时针旋转，使PF与PH重合得到

：.PD=PK,Z.DPF=/.KPH,,:NMPN=45°,；.ZEPK=NEPD=45°,

[PD=PK

在和aKEP中，NEPK=NEPD,:.△DEPSKEP(SAS),

[PE=PE

；.4CEP=LDEP,：.PE平分4CED,过点尸作PG_LOE于G,

fNCEP=NDEP

在△「£//和aPEG中JNPGE=NPHE=90°,.•.△P£W«APEC(AAS),

(PE=PE

：.PH=PG,'：PF=PH,：.PF=PG,平分NBDE；

(3)把aABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACD,

.'.AE=AD,BE-CD.NACf>=NH=45°.Z.CAD=Z.RAE,「NAMN=45°.Z.EAF-Z.DAF=45",在

△AE尸和A4。尸中.

AE=AD

<4EAF=4DAF,/.^AEF-^ADF(SAS),

/产=AF

13/100

\'Z.DCF=Z.ACB+Z.ACD=450+45°=90°,

22222

:.DF=CLT-[-CF1・・・EF=BE+CF.

[c=-3lc=—3

(2)【方法一】

假设在抛物线上存在点G,设G(如n),显然，当〃二一3时，△“GC不存在.

mn1

①当〃>—3时，可得SAGNA=-2+2+2,S^GHC=­m,,；SAGHC=SAGHA,1=0,

由\/«+/?4-|=0，解得.j.3Th

l2I2

3+E1+E

•・•点G在y轴的左侧，「.G(――~，---2~)；

mn1

②当—4g〃V—3时，可得SAG/M=2—2—2,S&GHc=—m,S^GHC=S^GHA,.'.3m—n—1=0,

2((

(\n=nT-\-2m-3l/n=-1\m=2

由4

I3m—n—1=0,解得：[<〃=-4或U〃=5,,点G在y轴的左侧，.\G(—1,—4).

3+yn

r.存在点G(——2'-2)或G(—1，一4).

【方法二】

①如图①，当GH//AC时，点、A,点C到GH的距离相等，，SAG"C=SAGHA,

可得AC的解析式为y=3x-3,•..GH//AC,得G”的解析式为y=3x-1,「.G(—1,一

4)；②如图②，当GH与AC不平行时，I•点A,C到直线G”的距离相等，

1_3

直线GH过线段AC的中点M(1—2).，直线GH的解析式为y=-x-l,

3+JT7[■hfii3+/

：.G2'2)存在点G(-2，-2)或G(-1,-4).

(3)【方法一】

如图③，,.1£(-2,0),，。的横坐标为一2,•.,点。在抛物线上，(一2,—3),

333

,.•/是。C中点，J*(0,-2)，，直线。尸的解析式为：y=4「-

2，则它与x轴交于点。(2,0),

贝I]QB=QO,得NQBD=NQDB,ZBPE+ZEPF+ZFPD=ZDFP+ZPDF+ZFPD=180°,

■:NEPF=NPDF,；.ZBPE=4DFP,：APBEs4FDP,.=些，得：PB-DP=~.

FDDP2

.r巫

•；PB+DP=BD=、IQ,；.PB=2,即尸是BD的中点，

14/100

1亚

连接DE,・••在RtZkOBE中，PE=2BD=2.

【方法二】

15

可知四边形ABACBD/，P'F=2(OB

+CD2，PFHCDhAB

5

连接EF,可知EF=DF=2，**-EF=FP'=FD,coAFP'DZEP

110

4

11M作ME_LOQEM产

±OQF,

.--------