2023届高考数学黄金考点精析精训考点12三角函数的图象与性质理

考点12三角函数的图像和性质【考点剖析】1.最新考试说明：(1)考查三角函数的值域与最值(2)考查三角函数的单调性(3)利用三角函数的值域和单调性求参数的值2.命题方向预测：(1)三角函数的最值以及三角函数的单调性是历年高考的重要考点.(2)利用三角函数的单调性求最值、利用单调性求参数是重点也是难点.(3)题型不限，选择题、填空题、解答题都有可能出现，常与多个知识点交汇命题.3.课本结论总结：(1)由y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种变换方式：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)：；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是eq\f(|φ|,ω)(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．(2)的性质：①定义域为R，值域为；②是周期函数，最小正周期为；③在单调递增，在单调递减；④当时，；当时，；⑤其对称轴方程为,对称中心坐标为.(3)的性质：①定义域为R，值域为；②是周期函数，最小正周期为；③在单调递增，在单调递减；④当时，；当时，；⑤其对称轴方程为,对称中心坐标为.〔4〕的性质：①定义域为，值域为；②是周期函数，最小正周期为；③在单调递增；④其对称中心坐标为.名师二级结论：〔1〕由y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是eq\f(|φ|,ω)(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．〔2〕在由图象求三角函数解析式时，假设最大值为M，最小值为m，那么A＝eq\f(M－m,2)，k＝eq\f(M＋m,2)，ω由周期T确定，即由eq\f(2π,ω)＝T求出，φ由特殊点确定．(3)作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时应注意：①首先要确定函数的定义域；②对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象.(4)求三角函数值域(最值)的方法：①利用sinx、cosx的有界性；②形式复杂的函数应化为的形式逐步分析的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；③换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．5.、、的性质：①周期性函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(2π,|ω|)，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(π,|ω|).②奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．③研究函数的单调性、最值、对称性等问题，要注意整体意识，即将看作一个整体.5.课本经典习题：(1)新课标A版第147页，第A9题〔例题〕.①求它的递减区间；②求它的最大值和最小值.【解析】①令，解得，即函数的单调区间为;②由题意得，，.【经典理由】综合考查三角恒等变换与三角函数的图像与性质新课标A版第147页，第A10题〔例题〕函数.①求的最小正周期；②当时，求的最小值以及取得最小值时的集合.【经典理由】综合考查三角恒等变换与三角函数的图像与性质6.考点交汇展示：(1)与不等式的交汇【2023北京，文16】函数.〔I〕f(x)的最小正周期；〔II〕求证：当时，．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕详见解析.【解析】试题解析：〔Ⅰ〕.所以的最小正周期.〔Ⅱ〕因为，所以.所以.所以当时，.(2)与平面向量的交汇【2023届河南省洛阳市高三期中】向量.〔I〕假设，求的值;〔II〕令，把函数的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半〔纵坐标不变〕，再把所得图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调增区间及图象的对称中心.【答案】〔I〕；〔II〕，.试题解析：〔I〕，即，，〔II〕由〔I〕得，从而，解得，的单调增区间时.由得即函数图象的对称中心为.(3)与解三角形的交汇【2023届天津市耀华中学一模】向量，设函数.〔1〕求在上的最值；〔2〕在中，分别是角的对边，假设，的面积为，求的值.【答案】〔1〕；〔2〕〔2〕.【考点分类】热点一三角函数的图象1.【2023课标3，理6】设函数f(x)=cos(x+)，那么以下结论错误的选项是A．f(x)的一个周期为−2πB．y=f(x)的图像关于直线x=对称C．f(x+π)的一个零点为x=D．f(x)在(,π)单调递减【答案】D【解析】2.【2023课标1，理9】曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+)，那么下面结论正确的选项是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【答案】D【解析】3.某同学用“五点法〞画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了局部数据，如下表：0050〔Ⅰ〕请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；〔Ⅱ〕将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象.假设图象的一个对称中心为，求的最小值.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕.【解析】〔Ⅰ〕根据表中数据，解得.数据补全如下表：00500且函数表达式为.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，得.因为的对称中心为，.令，解得，.由于函数的图象关于点成中心对称，令，解得，.由可知，当时，取得最小值.【方法规律】1.用“五点法〞作图应抓住四条：①将原函数化为或的形式；②求出周期T＝eq\f(2π,ω)；③求出振幅A；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．2.的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x轴的交点，可由，解得x＝eq\f(kπ－φ,ω)(k∈Z)，即其对称中心为(eq\f(kπ－φ,ω)，0)(k∈Z)．3.相邻两对称轴间的距离为eq\f(T,2)，相邻两对称中心间的距离也为eq\f(T,2).【解题技巧】根据的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：(1)A确实定：根据图象的最高点和最低点，即A＝eq\f(最高点－最低点,2)；(2)k确实定：根据图象的最高点和最低点，即k＝eq\f(最高点＋最低点,2)；(3)ω确实定：结合图象，先求出周期T，然后由T＝eq\f(2π,ω)(ω>0)来确定ω；(4)φ确实定：法一：代入图像的最高点坐标或最低点坐标，那么或，求值．法二：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k最开始与x轴的交点的横坐标为－eq\f(φ,ω)(即令ωx＋φ＝0，x＝－eq\f(φ,ω))确定φ．如：将函数f(x)＝sinωx(其中ω＞0)的图象向右平移个单位长度，所得图象关于对称，那么ω的最小值是A.6 B.C.D.【答案】D【易错点睛】研究三角函数图像的变换时，要注意由的图像变换成的图像的变换过程:的图像由的图像向左〔〕或向右〔〕平移个单位长度.如：为了得到函数的图像，可以将函数的图像〔〕向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位【答案】D【解析】，故只需将向左平移个单位．热点二三角函数的最值1.【2023高考新课标2文数】函数的最大值为〔〕〔A〕4〔B〕5〔C〕6〔D〕7【答案】B【解析】因为，而，所以当时，取最大值5，选B.2.【2023届安徽省滁州市高三9月联考】假设函数的值域是，那么的最大值是___________．【答案】【解析】令,作出的图象，使其值域为，那么定义域最长为即，最大为，即的最大值是.3.【2023届江苏省泰州中学高三10月月考】函数.〔1〕将化简为的形式，并求最小正周期；〔2〕求在区间上的最大值和最小值及取得最值时的值.【答案】〔1〕，；〔2〕时，，时，.【解析】试题分析：〔1〕由三角函数的公式化简可得，由周期公式可得答案；〔2〕由x的范围可得的范围，可得f〔x〕的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x值．试题解析：〔1〕所以.【方法规律】求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：(1)利用sinx、cosx的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.【解题技巧】求三角函数的最值问题，最主要的题型是：通过三角恒等变形将所给解析式化为的形式，再进行求解.①当时，，；②当时，那么先求的范围，再利用正弦函数的图像写出函数的最值，再进一步求解.如：函数的最大值为_________.【答案】1【解析】由题意知：=====，即，因为，所以的最大值为1.【易错点睛】在求函数的最值时，一般思路通过三角恒等变换化成的形式，但不要无视变形中的等价性，如定义域的变化.如：函数的值域是 〔〕A．[－4，0] B． C． D．【答案】D热点三三角函数的性质1.【2023山东，文7】函数最小正周期为A.B.C.D.【答案】C【解析】因为,所以其周期,应选C.2.【2023届辽宁省鞍山市第一中学高三上第一次模拟】函数，〔1〕求的对称中心；〔2〕讨论在区间上的单调性.【答案】〔1〕对称中心为，；〔2〕增区间为，减区间为.【解析】试题分析：利用降幂公式和辅助角公式将函数解析式转化为正弦型函数，根据正弦函数的性质来求对称中心,其对称中心能使函数值为0，从而角的终边在x轴上；〔2〕首先求出函数的单调区间，再根据自变量的取值范围来求落在给定范围上的的单调区间．试题解析：1〕由令，得，对称中心为，.【方法规律】、、的性质：①周期性函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(2π,|ω|)，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(π,|ω|).②奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．③研究函数的单调性、最值、对称性等问题，要注意整体意识，即将看作一个整体.如：函数．(Ⅰ)求的最小正周期；(Ⅱ)求在区间上的最小值．【答案】〔1〕，〔2〕【解析】(Ⅰ)(1)的最小正周期为；(2)，当时，取得最小值为：【解题技巧】研究函数的单调性、最值、对称性等问题，要注意整体意识，即将看作一个整体.如〔上例〕【易错点睛】求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原那么是：①把“ωx＋φ(ω>0)〞视为一个“整体〞；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．如：求的单调递增区间〔教材第39页〕【热点预测】1.【2023天津，文理】设函数，其中.假设且的最小正周期大于，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】【解析】2.【2023高考天津文理】函数，.假设在区间内没有零点，那么的取值范围是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D3.【百强校】2023届三省高三上学期百校大联考】将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，那么函数的一个单调递减区间是〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，那么在上递减．4.【【百强校】2023届广东海珠区高三上学期调研测试一】函数，给出以下四个说法：①函数的周期为；②假设，那么；③在区间上单调递增；④的图象关于点中心对称.其中正确说法的个数是〔〕A．3个B．2个C．1个D．0个【答案】C【解析】①因为函数的周期为,不正确；②假设,即,那么时也成立,故不正确；③在区间上,单调递增,正确；④函数函数是奇函数,所以的图象关于点成中心对称，点不是函数的对称中心，故不正确,应选C.5.假设将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，那么的最小正值是〔〕B.C.D.【答案】C.6.【【百强校】2023届河北武邑中学高三上学期周考】函数的局部图象如下图，那么〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】由图象得，所以由得，应选D.7.【2023届四川省达州市高级中学高三上学期同步测试】给出如下四个结论：①存在α∈0,π②存在区间〔a,b〕使y=cosx为减函数而③y=tan④y=cos⑤y=sin其中正确结论的序号是______________.【答案】④【解析】对于①,sinα+∵α∈(0,π∴α+π4∈(π4,3π对于②,假设y=cosx为减函数,那么x∈[2kπ,2kπ+π]，k∈Z，sinx⩾0.命题②错误；对于③，y=tanx在其定义域内不是增函数，在其定义域内有无数增区间。命题③错误；对于④,y=cos该函数既有最大、最小值，又是偶函数。命题④正确；对于⑤,∵y=sin(2x+π6)的最小正周期为π,∴∴正确的命题是④。故答案为：④。8.【2023届江西省高三检测〔二〕】设函数f(x)=sin(2x+π4)(x∈[0,9π8])，假设方程fx=a【答案】[9.【2023高考上海文科】如图，点O(0,0),A(1.0),B(0,−1),P是曲线上一个动点，那么的取值范围是.【答案】【解析】由题意，设,，那么，又,所以.10.【【全国百强校】2023届江苏省南通中学高三10月月考】函数f(x)=sin2x+2，〔Ⅰ〕假设圆心角为θ，半径为2的扇形的弧长为l，且g(θ)=2，θ∈(0,π)，求l；〔Ⅱ〕假设函数g(x)的最大值与p(x)=ax2-2x+5〔0≤x≤2【答案】(Ⅰ)l=2π3或l=【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意得到三角方程sin(2θ+π3)=0，结合题意和角的范围可得(Ⅱ)由题意结合函数p(x)的解析式分类讨论a=0和a≠0两种情况可得实数a的值为1．试题解析：〔Ⅰ〕因为g(x)=2sin(2x+π3)+2，所以g(θ)=2+2sin(2θ+而θ∈(0,π)，所以π3<2θ+π3<7π3，因此