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文档简介
考点12三角函数的图像和性质【考点剖析】1.最新考试说明:(1)考查三角函数的值域与最值(2)考查三角函数的单调性(3)利用三角函数的值域和单调性求参数的值2.命题方向预测:(1)三角函数的最值以及三角函数的单调性是历年高考的重要考点.(2)利用三角函数的单调性求最值、利用单调性求参数是重点也是难点.(3)题型不限,选择题、填空题、解答题都有可能出现,常与多个知识点交汇命题.3.课本结论总结:(1)由y=sinx的图象变换到y=Asin(ωx+φ)的图象,有两种变换方式:①先相位变换再周期变换(伸缩变换):;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是eq\f(|φ|,ω)(ω>0)个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值.(2)的性质:①定义域为R,值域为;②是周期函数,最小正周期为;③在单调递增,在单调递减;④当时,;当时,;⑤其对称轴方程为,对称中心坐标为.(3)的性质:①定义域为R,值域为;②是周期函数,最小正周期为;③在单调递增,在单调递减;④当时,;当时,;⑤其对称轴方程为,对称中心坐标为.〔4〕的性质:①定义域为,值域为;②是周期函数,最小正周期为;③在单调递增;④其对称中心坐标为.名师二级结论:〔1〕由y=sinx的图象变换到y=Asin(ωx+φ)的图象,两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是eq\f(|φ|,ω)(ω>0)个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值.〔2〕在由图象求三角函数解析式时,假设最大值为M,最小值为m,那么A=eq\f(M-m,2),k=eq\f(M+m,2),ω由周期T确定,即由eq\f(2π,ω)=T求出,φ由特殊点确定.(3)作正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象时应注意:①首先要确定函数的定义域;②对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就可根据周期性作出整个函数的图象.(4)求三角函数值域(最值)的方法:①利用sinx、cosx的有界性;②形式复杂的函数应化为的形式逐步分析的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域;③换元法:把sinx或cosx看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.5.、、的性质:①周期性函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为eq\f(2π,|ω|),y=tan(ωx+φ)的最小正周期为eq\f(π,|ω|).②奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y=Asinωx或y=Atanωx,而偶函数一般可化为y=Acosωx+b的形式.③研究函数的单调性、最值、对称性等问题,要注意整体意识,即将看作一个整体.5.课本经典习题:(1)新课标A版第147页,第A9题〔例题〕.①求它的递减区间;②求它的最大值和最小值.【解析】①令,解得,即函数的单调区间为;②由题意得,,.【经典理由】综合考查三角恒等变换与三角函数的图像与性质新课标A版第147页,第A10题〔例题〕函数.①求的最小正周期;②当时,求的最小值以及取得最小值时的集合.【经典理由】综合考查三角恒等变换与三角函数的图像与性质6.考点交汇展示:(1)与不等式的交汇【2023北京,文16】函数.〔I〕f(x)的最小正周期;〔II〕求证:当时,.【答案】〔Ⅰ〕;〔Ⅱ〕详见解析.【解析】试题解析:〔Ⅰ〕.所以的最小正周期.〔Ⅱ〕因为,所以.所以.所以当时,.(2)与平面向量的交汇【2023届河南省洛阳市高三期中】向量.〔I〕假设,求的值;〔II〕令,把函数的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半〔纵坐标不变〕,再把所得图象沿轴向左平移个单位,得到函数的图象,求函数的单调增区间及图象的对称中心.【答案】〔I〕;〔II〕,.试题解析:〔I〕,即,,〔II〕由〔I〕得,从而,解得,的单调增区间时.由得即函数图象的对称中心为.(3)与解三角形的交汇【2023届天津市耀华中学一模】向量,设函数.〔1〕求在上的最值;〔2〕在中,分别是角的对边,假设,的面积为,求的值.【答案】〔1〕;〔2〕〔2〕.【考点分类】热点一三角函数的图象1.【2023课标3,理6】设函数f(x)=cos(x+),那么以下结论错误的选项是A.f(x)的一个周期为−2πB.y=f(x)的图像关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在(,π)单调递减【答案】D【解析】2.【2023课标1,理9】曲线C1:y=cosx,C2:y=sin(2x+),那么下面结论正确的选项是A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2【答案】D【解析】3.某同学用“五点法〞画函数在某一个周期内的图象时,列表并填入了局部数据,如下表:0050〔Ⅰ〕请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数的解析式;〔Ⅱ〕将图象上所有点向左平行移动个单位长度,得到的图象.假设图象的一个对称中心为,求的最小值.【答案】〔Ⅰ〕;〔Ⅱ〕.【解析】〔Ⅰ〕根据表中数据,解得.数据补全如下表:00500且函数表达式为.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知,得.因为的对称中心为,.令,解得,.由于函数的图象关于点成中心对称,令,解得,.由可知,当时,取得最小值.【方法规律】1.用“五点法〞作图应抓住四条:①将原函数化为或的形式;②求出周期T=eq\f(2π,ω);③求出振幅A;④列出一个周期内的五个特殊点,当画出某指定区间上的图象时,应列出该区间内的特殊点.2.的图象有无穷多条对称轴,可由方程解出;它还有无穷多个对称中心,它们是图象与x轴的交点,可由,解得x=eq\f(kπ-φ,ω)(k∈Z),即其对称中心为(eq\f(kπ-φ,ω),0)(k∈Z).3.相邻两对称轴间的距离为eq\f(T,2),相邻两对称中心间的距离也为eq\f(T,2).【解题技巧】根据的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来考虑:(1)A确实定:根据图象的最高点和最低点,即A=eq\f(最高点-最低点,2);(2)k确实定:根据图象的最高点和最低点,即k=eq\f(最高点+最低点,2);(3)ω确实定:结合图象,先求出周期T,然后由T=eq\f(2π,ω)(ω>0)来确定ω;(4)φ确实定:法一:代入图像的最高点坐标或最低点坐标,那么或,求值.法二:由函数y=Asin(ωx+φ)+k最开始与x轴的交点的横坐标为-eq\f(φ,ω)(即令ωx+φ=0,x=-eq\f(φ,ω))确定φ.如:将函数f(x)=sinωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得图象关于对称,那么ω的最小值是A.6 B.C.D.【答案】D【易错点睛】研究三角函数图像的变换时,要注意由的图像变换成的图像的变换过程:的图像由的图像向左〔〕或向右〔〕平移个单位长度.如:为了得到函数的图像,可以将函数的图像〔〕向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位【答案】D【解析】,故只需将向左平移个单位.热点二三角函数的最值1.【2023高考新课标2文数】函数的最大值为〔〕〔A〕4〔B〕5〔C〕6〔D〕7【答案】B【解析】因为,而,所以当时,取最大值5,选B.2.【2023届安徽省滁州市高三9月联考】假设函数的值域是,那么的最大值是___________.【答案】【解析】令,作出的图象,使其值域为,那么定义域最长为即,最大为,即的最大值是.3.【2023届江苏省泰州中学高三10月月考】函数.〔1〕将化简为的形式,并求最小正周期;〔2〕求在区间上的最大值和最小值及取得最值时的值.【答案】〔1〕,;〔2〕时,,时,.【解析】试题分析:〔1〕由三角函数的公式化简可得,由周期公式可得答案;〔2〕由x的范围可得的范围,可得f〔x〕的范围,结合三角函数在该区间的单调性,可得最值及对应的x值.试题解析:〔1〕所以.【方法规律】求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法:(1)利用sinx、cosx的有界性;(2)形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域;(3)换元法:把sinx或cosx看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.【解题技巧】求三角函数的最值问题,最主要的题型是:通过三角恒等变形将所给解析式化为的形式,再进行求解.①当时,,;②当时,那么先求的范围,再利用正弦函数的图像写出函数的最值,再进一步求解.如:函数的最大值为_________.【答案】1【解析】由题意知:=====,即,因为,所以的最大值为1.【易错点睛】在求函数的最值时,一般思路通过三角恒等变换化成的形式,但不要无视变形中的等价性,如定义域的变化.如:函数的值域是 〔〕A.[-4,0] B. C. D.【答案】D热点三三角函数的性质1.【2023山东,文7】函数最小正周期为A.B.C.D.【答案】C【解析】因为,所以其周期,应选C.2.【2023届辽宁省鞍山市第一中学高三上第一次模拟】函数,〔1〕求的对称中心;〔2〕讨论在区间上的单调性.【答案】〔1〕对称中心为,;〔2〕增区间为,减区间为.【解析】试题分析:利用降幂公式和辅助角公式将函数解析式转化为正弦型函数,根据正弦函数的性质来求对称中心,其对称中心能使函数值为0,从而角的终边在x轴上;〔2〕首先求出函数的单调区间,再根据自变量的取值范围来求落在给定范围上的的单调区间.试题解析:1〕由令,得,对称中心为,.【方法规律】、、的性质:①周期性函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为eq\f(2π,|ω|),y=tan(ωx+φ)的最小正周期为eq\f(π,|ω|).②奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y=Asinωx或y=Atanωx,而偶函数一般可化为y=Acosωx+b的形式.③研究函数的单调性、最值、对称性等问题,要注意整体意识,即将看作一个整体.如:函数.(Ⅰ)求的最小正周期;(Ⅱ)求在区间上的最小值.【答案】〔1〕,〔2〕【解析】(Ⅰ)(1)的最小正周期为;(2),当时,取得最小值为:【解题技巧】研究函数的单调性、最值、对称性等问题,要注意整体意识,即将看作一个整体.如〔上例〕【易错点睛】求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0,ω>0)的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去解答,列不等式的原那么是:①把“ωx+φ(ω>0)〞视为一个“整体〞;②A>0(A<0)时,所列不等式的方向与y=sinx(x∈R),y=cosx(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反).如:求的单调递增区间〔教材第39页〕【热点预测】1.【2023天津,文理】设函数,其中.假设且的最小正周期大于,那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】【解析】2.【2023高考天津文理】函数,.假设在区间内没有零点,那么的取值范围是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D3.【百强校】2023届三省高三上学期百校大联考】将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象,那么函数的一个单调递减区间是〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】因为,所以,那么在上递减.4.【【百强校】2023届广东海珠区高三上学期调研测试一】函数,给出以下四个说法:①函数的周期为;②假设,那么;③在区间上单调递增;④的图象关于点中心对称.其中正确说法的个数是〔〕A.3个B.2个C.1个D.0个【答案】C【解析】①因为函数的周期为,不正确;②假设,即,那么时也成立,故不正确;③在区间上,单调递增,正确;④函数函数是奇函数,所以的图象关于点成中心对称,点不是函数的对称中心,故不正确,应选C.5.假设将函数的图象向右平移个单位,所得图象关于轴对称,那么的最小正值是〔〕B.C.D.【答案】C.6.【【百强校】2023届河北武邑中学高三上学期周考】函数的局部图象如下图,那么〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】由图象得,所以由得,应选D.7.【2023届四川省达州市高级中学高三上学期同步测试】给出如下四个结论:①存在α∈0,π②存在区间〔a,b〕使y=cosx为减函数而③y=tan④y=cos⑤y=sin其中正确结论的序号是______________.【答案】④【解析】对于①,sinα+∵α∈(0,π∴α+π4∈(π4,3π对于②,假设y=cosx为减函数,那么x∈[2kπ,2kπ+π],k∈Z,sinx⩾0.命题②错误;对于③,y=tanx在其定义域内不是增函数,在其定义域内有无数增区间。命题③错误;对于④,y=cos该函数既有最大、最小值,又是偶函数。命题④正确;对于⑤,∵y=sin(2x+π6)的最小正周期为π,∴∴正确的命题是④。故答案为:④。8.【2023届江西省高三检测〔二〕】设函数f(x)=sin(2x+π4)(x∈[0,9π8]),假设方程fx=a【答案】[9.【2023高考上海文科】如图,点O(0,0),A(1.0),B(0,−1),P是曲线上一个动点,那么的取值范围是.【答案】【解析】由题意,设,,那么,又,所以.10.【【全国百强校】2023届江苏省南通中学高三10月月考】函数f(x)=sin2x+2,〔Ⅰ〕假设圆心角为θ,半径为2的扇形的弧长为l,且g(θ)=2,θ∈(0,π),求l;〔Ⅱ〕假设函数g(x)的最大值与p(x)=ax2-2x+5〔0≤x≤2【答案】(Ⅰ)l=2π3或l=【解析】试题分析:(Ⅰ)由题意得到三角方程sin(2θ+π3)=0,结合题意和角的范围可得(Ⅱ)由题意结合函数p(x)的解析式分类讨论a=0和a≠0两种情况可得实数a的值为1.试题解析:〔Ⅰ〕因为g(x)=2sin(2x+π3)+2,所以g(θ)=2+2sin(2θ+而θ∈(0,π),所以π3<2θ+π3<7π3,因此
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