第五节无穷小的比较

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1.5

无穷小的比较

本节我们对一些尚未解决的极限问题做一点初步的讨论.因为无穷大的倒数为无穷小,

我们用“0”和“

”分别表示无穷小和无穷大,则下列形式的极限都不能用极限运算法则求解:所以,和都可以看做的变形.由也是的变形.

原因是这些形式的极限值可能是任意的实数,也可能不存在.我们称上述四种形式的极限为未定式的极限,例如,不存在.另外,对幂指函数(且不恒等于1),

由及指数函数与对数函数的连续性,有如果为未定式的极限,为型未定式,即则也是未定式,且有以下三种形式:而且这三种形式经过函数的恒等变形都可以化为的形式.

综上所述,两个无穷小之商的极限,在极限的讨论中具有特别的地位.

实际上,这样的极限是对两个无穷小趋于零的速度进行比较,简称无穷小的比较.

例如,当不可比.下面我们对无穷小趋于零的速度进行量化比较.观察各极限极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不存在,定义1.11

(无穷小量阶的比较)

记作记作注:在不太关心无穷小具体表示时,也把无穷小

记作例1证明当

证(1)

(2)令故(2)成立.

(3)

由(1)有

再由(2)有

特别地,如果当时,是无穷小,习惯将同幂函数进行比较.

例2当解常用等价无穷小:一个无穷小性质:例如,当证定理1.22

(无穷小的等价代换)意义:利用等价无穷小代换,可以简化极限的计算.

解注意:无穷小替换定理适用于乘、除情形,无穷小代数和的情形需慎用.例3求解解错例4求解例5求解

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