药学高数应用

回忆曲边梯形面积的求法一、微元法(1)分割(2)近似(3)求和(4)取极限Ox

yy=f(x)

ab第1页/共28页第一页，共29页。分析面积元素Ox

yy=f(x)

ab

若用AD

表示任一小区间],[xxxD+上的窄曲边梯形的面积，则åD=AA，并取dxxfA)(»Då»dxxfA)(

于是第2页/共28页第二页，共29页。一般解决实际问题的基本步骤(1)确定积分变量x

及其变化范围[a,b].(2)确定被积表达式.在[a,b]的任一小区间

[x,x+dx]上以“不变代变”,求出所求量Q

的微元(3)求定积分用定积分解决实际问题的方法称为微元法或元素法(elementmethod).第3页/共28页第三页，共29页。1.直角坐标系下平面图形的面积由、和直线、所围成的平面图形.二、定积分在几何学中的应用（一）平面图形的面积

微元法:在[a,b]内任取一小区间[x,x+dx],相应的窄条面积为(以直代曲)

故微元因此第4页/共28页第四页，共29页。

同理,由曲线、与直线、所围成的平面图形的面积为第5页/共28页第五页，共29页。解：解方程

例4-13

求由抛物线和，直线x=2及x轴所围成的图形的面积.得交点:x=1第6页/共28页第六页，共29页。解解方程组得两曲线的交点

例4-14

求抛物线和直线所围成的图形的面积.

选为积分变量解法一第7页/共28页第七页，共29页。第8页/共28页第八页，共29页。选为积分变量解法二第9页/共28页第九页，共29页。例4-15求椭圆的面积.

解由椭圆的对称性,所求面积等于第一象限面积的4倍.面积元素b-ba-aOx

y第10页/共28页第十页，共29页。椭圆的参数方程：axyb第11页/共28页第十一页，共29页。一般地，曲边梯形的曲边

f(x)由参数方程

给出,如果

x=(x)适合()=

a

,()=b,(x)在[,]

上具有连续导数，y=(t)连续，则该曲边梯形的面积：第12页/共28页第十二页，共29页。2.极坐标系下平面图形的面积

当曲线由极坐标方程r=r()表示时，求由该曲线与向径

=,

=

(<)所围成的图形的面积。在[,]内任取一个区间[,+d],曲边扇形的面积用圆弧扇形的面积近似。

A≈dA=1/2·[r()]2d第13页/共28页第十三页，共29页。若曲线由r1=r1()，r2=r2()[r1()≤r2()]和向径

=,

=(<)所围成,

则面积r2(θ)r1(θ)若由0变到2，则若曲线过极点，则第14页/共28页第十四页，共29页。例4-16：计算心形线所围图形的面积.

解:(利用对称性)心形线第15页/共28页第十五页，共29页。心形线(外摆线的一种)即点击图中任意点动画开始或暂停

尖点:

面积:参数的几何意义

弧长:第16页/共28页第十六页，共29页。(二)立体的体积

1.已知平行截面面积的几何体的体积

用平面x=a,x=b截曲面得到一个几何体.若此几何体与垂直于

x

轴的平面相截,其截面面积为x

的连续函数A(x)(a≤x≤b)把薄片看成直柱体,则

V≈dV=A(x)dx第17页/共28页第十七页，共29页。例4-17

一平面经过半径为R的圆柱体的底圆直径,且与底面交角为.求这平面截圆柱体所得立体的体积解:

取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴,立体中过任一点x且垂直于x轴的截面为直角三角形.yx第18页/共28页第十八页，共29页。若以y

为积分变量,则垂直于y

轴的平面与圆柱楔的截面为一矩形,其面积为:xy第19页/共28页第十九页，共29页。

旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台2.旋转体的体积第20页/共28页第二十页，共29页。如:曲线y=f(x),直线x=a,x=b,(a<b),y=0围成的图形绕x轴旋转而成立体.在[a,b]内任取[x,x+dx],过点x及x+dx并垂直于x轴的两个平面截得旋转体上一个小薄片,近似看成为圆柱体,则体积微元为:

dV=y2dx=f2(x)dxxyy=f(x)ab第21页/共28页第二十一页，共29页。由曲线x=g(y),y=c,y=d(c<d)与y

轴所围成的平面图形绕y

轴旋转一周所得立体的体积yxcdx=g(y)第22页/共28页第二十二页，共29页。

例4-18

求由椭圆绕轴旋转而成的椭球体的体积.解将椭圆方程化为由公式得出所求的体积为b-ba-aOx

y第23页/共28页第二十三页，共29页。

例4-19

求由曲线与直线、轴围成的图形绕轴旋转而成的旋转体体积.解由公式得出所求的体积为第24页/共28页第二十四页，共29页。例:

求抛物线y2=2px

与x2=2py

所围的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋体的体积解:解方程组得交点(0,0),(2p,2p).(2p,2p)第25页/共28页第二十五页，共29页。例:

求由曲线y=2-x2和y=x2所围成的图形的面积解:解方程组

y=2-x2

y=x2

得交点(-1,1),（1,1）-1112第26页/共28页第二十六页，共29页。作业:P138,15-19第27页/共28页第二十七页，共29页。感谢您的观看！第28页/共28页第二十八页，共29页。内容总结回忆曲边梯形面积的求法。回忆曲边梯形面积的