直线间夹角平面间夹角时北师大选修

第一课时直线间的夹角、平面间的夹角第1页/共33页第一页，共34页。第2页/共33页第二页，共34页。山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科学人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A处，乙站在山坡斜面上的B处，从A、B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30m和40m，CD的长为60m，AB的长为80m.第3页/共33页第三页，共34页。第4页/共33页第四页，共34页。问题4：若n1，n2分别为两个平面π1、π2的法向量，则π1与π2的夹角θ与〈n1，n2〉有什么关系？第5页/共33页第五页，共34页。1．两直线的夹角当两条直线l1与l2

时，把两条直线交角中，范围在

内的角叫做两直线的夹角．

2．异面直线l1与l2的夹角

(1)定义：直线l1与l2是异面直线，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，则

和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角．共面直线l1第6页/共33页第六页，共34页。〈s1，s2〉π－〈s1，s2〉平面π1平面π2直线l1和l2第7页/共33页第七页，共34页。第8页/共33页第八页，共34页。第9页/共33页第九页，共34页。第10页/共33页第十页，共34页。[例1]

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，∠PDA＝30°，AE⊥PD，E为垂足．

(1)求证：BE⊥PD；

(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值．

[思路点拨]

要证明两直线垂直，或求两直线的夹角，只要适当地建立空间直角坐标系，求出两直线对应的方向向量，然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得．第11页/共33页第十一页，共34页。第12页/共33页第十二页，共34页。第13页/共33页第十三页，共34页。第14页/共33页第十四页，共34页。1．已知直线l1的一个方向向量为a＝(1，－2,1)，直线l2的一个方向向量为b＝(2，－2,0)，则两直线的夹角为________．第15页/共33页第十五页，共34页。2．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线BA1与AC的夹角．第16页/共33页第十六页，共34页。第17页/共33页第十七页，共34页。第18页/共33页第十八页，共34页。3.

如右图，在四棱锥P－ABCD中，

PD⊥平面ABCD，∠PAD＝60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，

AD＝2.

(1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；

(2)求异面直线PA与BC夹角的余弦值．第19页/共33页第十九页，共34页。第20页/共33页第二十页，共34页。第21页/共33页第二十一页，共34页。第22页/共33页第二十二页，共34页。第23页/共33页第二十三页，共34页。第24页/共33页第二十四页，共34页。第25页/共33页第二十五页，共34页。第26页/共33页第二十六页，共34页。4．正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1且C1E＝3EC.(1)证明：A1C⊥平面BED；(2)求平面A1DE与平面BDE夹角的余弦值．解：以D为坐标原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．可知D(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)．第27页/共33页第二十七页，共34页。第28页/共33页第二十八页，共34页。第29页/共33页第二十九页，共34页。第30页/共33页第三十页，共34页。第31页/共33页第三十一页，共34页。用向量法求两异面直线的夹角θ及两平面的夹角φ时，要注意两异面直线的夹角、两平面夹角与直线的方向向量a，b的夹角及两平面的法向量n1，n2的夹角的关系：①当cos〈a，b〉<0时，cosθ＝－cos〈a，b〉，当cos〈a，b〉≥0时，cosθ＝cos〈a，b〉，即cosθ＝|cos〈a，b〉|.②当cos〈n1，n2〉≥0时，cosφ＝cos〈n1，n2〉，当cos〈n1，n2〉<0时，cosφ＝－cos〈n1，n2〉，即cosφ＝|cos〈a，b〉|.第32页/共33页第三十二页，共34页。感谢您的观看！第33页/共33页第三十三页，共34页。内容总结第一课时直线间的夹角、平面间的夹角。第4页/共33页。