椭圆经典练习题44道

21/21椭圆训练题一1．过椭圆的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为（）．A.B.C.D.2．设P是椭圆上的一点，F1、F2是焦点，若∠F1PF2=30°，则△PF1F2的面积为（）A.B.C.D.163．设点是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，为的内心，若，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．4．已知椭圆方程，椭圆上点M到该椭圆一个焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，O是椭圆的中心，那么线段ON的长是（）A.2B.4C.8D.5．从一块短轴长为的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是，则椭圆离心率的取值范围是（）A.B.C.D.6．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆的半径，则椭圆的标准方程是（）A．B．C．D．7．已知（a＞b＞0），M，N是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为，（≠0），若｜｜＋｜｜的最小值为1，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8．已知椭圆的两个焦点为，，是此椭圆上的一点，且，，则该椭圆的方程是B．C．D．9．已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则（）A．4B．8C．12D．1610．过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．11．已知动点在椭圆上,若点坐标为,,且,则的最小值是（)A.B.C.D.12．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，则点P的横坐标为()A．1B.C．2D.13．设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若，，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.14．椭圆的两个焦点分别是，若上的点满足，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．或15．已知椭圆，则以点为中点的弦所在直线方程为()．A．B．C．D．16．过点M(－2,0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1，P2，线段P1P2的中点为P．设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP(O为坐标原点)的斜率为k2，则k1k2等于()A．－2B．2C．－D．17．已知椭圆C：＋＝1(b>0)，直线l：y＝mx＋1，若对任意的m∈R，直线l与椭圆C恒有公共点，则实数b的取值范围是()A．[1,4)B．[1，＋∞)C．[1,4)∪(4，＋∞)D．(4，＋∞)18．直线L：与椭圆E：相交于A，B两点，该椭圆上存在点P，使得△PAB的面积等于3，则这样的点P共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个19．椭圆的一个焦点为，若椭圆上存在一个点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为()A．B．C．D．20．已知对，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是（）A．(0,1)B．(0,5)C．[1,5)D．[1,5)∪(5，＋∞)21．设椭圆的方程为右焦点为，方程的两实根分别为，则（）A.必在圆内B.必在圆外C.必在圆外D.必在圆与圆形成的圆环之间22．椭圆的左、右焦点为，过作直线交C于A，B两点，若是等腰直角三角形，且，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．23．椭圆的两顶点为，且左焦点为F，是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率为 （）A、B、C、D、24．已知焦点在轴的椭圆的左、右焦点分别为，直线过右焦点，和椭圆交于两点，且满足，，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．25．椭圆的一个焦点为，若椭圆上存在一个点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为()A．B．C．D．26．已知椭圆C的方程为(m＞0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为()A．2B．2C．8D．227．椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（）A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍28．过椭圆(a>b>0)左焦点F斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，向量与向量a=(3，-l)共线，则该椭圆的离心率为A．B．C．D．29．已知直线与椭圆相交于、两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段的长是()A.B.C.D.30．直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆截得的最大弦长等于()A.4B.C.D.31．设分别是椭圆：的左、右焦点，过倾斜角为的直线与该椭圆相交于P，两点，且.则该椭圆的离心率为（

）A.B.C.D.32．椭圆的右焦点为，椭圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于，且，则椭圆的方程为()A.B.C.D.33．已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，A、B是以O（O为坐标原点）为圆心、|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F2AB是正三角形，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．34．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（

）A．2B．3C．6D．835．已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．36．过椭圆的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若∠，则椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．37．已知椭圆的左焦点为与过原点的直线相交于两点,连接,若,则椭圆的离心率A．B．C．D．38．已知是椭圆,上除顶点外的一点，是椭圆的左焦点，若则点到该椭圆左焦点的距离为（）A.B.C.D.39．已知点A（0，1）是椭圆上的一点，P点是椭圆上的动点，则弦AP长度的最大值为（）A.B.2C.D.440．若点和点分别为椭圆的中心和右焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为（）A．B．-C．D．141．已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为（）A．B．C．D．42．已知是椭圆上的点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为()A．B．C．D．43．过椭圆的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点，且点在轴上的射影恰好为右焦点，若则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．44．已知椭圆,是椭圆长轴的一个端点,是椭圆短轴的一个端点,为椭圆的一个焦点.若,则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．

参考答案1．B【解析】试题分析：由题意得点P的坐标为，因为所以，即，所以解得（舍去），答案为B考点：椭圆的简单性质2．B【解析】试题分析：根据椭圆方程算出椭圆的焦点坐标为F1（﹣3，0）、F2（3，0）．由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=10，△PF1F2中用余弦定理得到|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cos30°=36，两式联解可得|PF1|•|PF2|=64（2﹣），最后根据三角形面积公式即可算出△PF1F2的面积．解：∵椭圆方程为，∴a2=25，b2=16，得a=5且b=4，c==3，因此，椭圆的焦点坐标为F1（﹣3，0）、F2（3，0）．根据椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a=10∵△PF1F2中，∠F1PF2=30°，∴|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cos30°=4c2=36，可得（|PF1|+|PF2|）2=36+（2+）|PF1|•|PF2|=100因此，|PF1|•|PF2|==64（2﹣），可得△PF1F2的面积为S=•|PF1|•|PF2|sin30°=故选：B点评：本题给出椭圆上一点对两个焦点所张的角为30度，求焦点三角形的面积．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．3．C【解析】试题分析：解：设的内切圆半径为，则由，得，即，即，椭圆的离心率为，故答案为C.考点：椭圆的简单几何性质.4．B【解析】试题分析：根据椭圆的方程算出a=5，再由椭圆的定义，可以算出|MF2|=10﹣|MF1|=8．因此，在△MF1F2中利用中位线定理，得到|ON|=|MF2|=4．解：∵椭圆方程为，∴a2=25，可得a=5∵△MF1F2中，N、O分别为MF1和MF1F2的中点∴|ON|=|MF2|∵点M在椭圆上，可得|MF1|+|MF2|=2a=10∴|MF2|=10﹣|MF1|=8，由此可得|ON|=|MF2|==4故选：B点评：本题给出椭圆一条焦半径长为2，求它的中点到原点的距离，着重考查了三角形中位线定理、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．5．B【解析】试题分析：设椭圆的标准方程为=1，在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜），则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab，由已知得：3b2≤2ab≤4b2，3b≤2a≤4b，平方得：9b2≤4a2≤16b2，即，9（a2-c2）≤4a2≤16（a2-c2），整理得5a2≤9c2且12a2≥16c2，∴，即e∈，故选B.考点：椭圆的基本性质，离心率.6．D【解析】试题分析：圆配方得，半径，因此，得，离心率，得，由于焦点在轴上，因此椭圆的方程是．考点：椭圆的标准方程．7．C【解析】试题分析：设，由题意可得：所以.考点：椭圆的性质.8．A【解析】试题分析：设椭圆的方程为：，由题意可得：，又因为，，所以，即，所以，即，所以椭圆的方程为：．考点：椭圆的定义及性质．9．B．【解析】试题分析：如图，设的中点为，由题意可知，，分别为，的中位线，∴．考点：椭圆的性质．10．A【解析】试题分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），则,∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B，若M是线段AB的中点，∴两式相减可得,.故选A.考点：直线与圆锥曲线的综合问题11．B【解析】试题分析：点为椭圆的右焦点，由于，.当最小时，最小，的最小值为，此时.考点：椭圆的性质.12．D【解析】试题分析：由已知得，且设，则有：由PF1⊥PF2得①且代入①得：；故选D．考点：１．椭圆的性质；２．向量的数量积．13．D【解析】试题分析：由条件，则x轴，而，∴为等边三角形，而周长为4a，∴等边三角形的边长为，焦点在直角三角形中，，，，∴，即，∴，∴.考点：椭圆的标准方程及其几何性质.14．C.【解析】试题分析：设椭圆的方程为，，分别为其左右焦点，由椭圆的第二定义或焦半径公式知，.由得，即，再由即可求出离心率的取值范围.考点：椭圆的几何性质；椭圆的第二定义.15．A【解析】试题分析：设弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆得，两式相减得，整理得∴弦所在的直线的斜率为，其方程为y-2=（x+1），整理得．故选A．考点：椭圆中点弦问题;直线方程的求法．16．C【解析】设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x0，y0)，则x12＋2y12＝2，x22＋2y22＝2，两式作差得x12－x22＋2(y12－y22)＝0，故k1＝＝－＝－，又k2＝，∴k1k2＝－．17．C【解析】直线恒过定点(0,1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b≥1且b≠4．18．B【解析】试题分析：设，即点在第一象限的椭圆上，考虑四边形的面积，，所以，因为为定值，所以的最大值为，所以点不可能在直线的上方，显然在直线的下方有两个点.故选B.考点：直线与圆锥曲线的关系.19．D【解析】试题分析：画出如下示意图．可知0M为△PF1F2的中位线，∴PF2=2OM=2b，∴PF1=2a-PF2=2a-2b，又∵M为PF1的中点，∴MF1=a-b，∴在Rt△OMF1中，由OM2+MF12=OF12,可得(a-b)2+b2=c2=a2-b2．可得2a=3b，进而可得离心率e=．考点：椭圆与圆综合问题．20．D【解析】试题分析：由于直线y=kx+1恒过点M（0，1）要使直线y=kx+1与椭圆恒有公共点，则只要M（0，1）在椭圆的内部或在椭圆上从而有，解可得m≥1且m≠5，故选D．考点：直线与椭圆的相交关系的应用，直线恒过定点，直线与圆锥曲线的关系．21．【解析】由韦达定理，所以因为，所以，即故必在圆与圆形成的圆环之间故选考点：椭圆的离心率；点与圆的位置关系.22．C【解析】试题分析：由题意得，，∴，∴，∴，∴，∴.考点：椭圆的标准方程及性质.23．B【解析】试题分析：依题意可知点F（-c，0）直线AB斜率为

，直线BF的斜率为

，∵∠FBA=90°，∴（

）•（

）整理得，即

，即e2-e-1=0,解得e=或∵e＜1,∴e=，故选B．考点：椭圆的离心率.24．A【解析】如图所示，设则，由椭圆的定义，得，，在中，由余弦定理得，，解得，在中，由余弦定理得，，解得，故，故椭圆方程为．【命题意图】本题考查椭圆的标准方程、向量共线、余弦定理等基础知识，试题综合性较高，意在考查学生逻辑思维能力、综合解决问题的能力．25．A【解析】试题分析：记线段PF1的中点为M，椭圆中心为O，连接OM，PF2则有|PF2|=2|OM|，，解得．故选A．考点：圆与圆锥曲线的综合．26．B【解析】根据已知条件c＝，则点(，)在椭圆(m＞0)上，∴=1，可得m＝2.27．A【解析】由题设知F1（﹣3，0），F2（3，0），∵线段PF1的中点在y轴上，∴P（3，b），把P（3，b）代入椭圆=1，得．∴|PF1|=，|PF2|=．．故选A．28．【解析】设椭圆的左焦点为，，则，直线的方程为，代人椭圆方程并整理得：.由韦达定理得，，所以，，根据与共线得，，即，，故选.考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，共线向量.29．B【解析】,,,，则..选B30．B【解析】直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，该点恰巧是椭圆的上顶点，椭圆的长轴长为4，短轴长为2，而直线不经过椭圆的长轴和短轴，因此排除A、C；将直线y＝kx＋1绕点(0,1)旋转，与椭圆有无数条弦，其中必有最大弦长，因此排除D.选B.31．B【解析】直线斜率为1，设直线的方程为，其中.设，则两点坐标满足方程组化简得，则，因为，所以.得，故，所以椭圆的离心率，选B.32．C【解析】