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文档简介

2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数()的最小值为0,则()A. B. C. D.2.若函数(其中,图象的一个对称中心为,,其相邻一条对称轴方程为,该对称轴处所对应的函数值为,为了得到的图象,则只要将的图象()A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度3.已知全集为,集合,则()A. B. C. D.4.执行如图所示的程序框图,如果输入,则输出属于()A. B. C. D.5.若复数为虚数单位在复平面内所对应的点在虚轴上,则实数a为()A. B.2 C. D.6.过双曲线左焦点的直线交的左支于两点,直线(是坐标原点)交的右支于点,若,且,则的离心率是()A. B. C. D.7.正项等比数列中的、是函数的极值点,则()A. B.1 C. D.28.已知三棱柱的所有棱长均相等,侧棱平面,过作平面与平行,设平面与平面的交线为,记直线与直线所成锐角分别为,则这三个角的大小关系为()A. B.C. D.9.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是().A.收入最高值与收入最低值的比是B.结余最高的月份是月份C.与月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同D.前个月的平均收入为万元10.已知命题,,则是()A., B.,.C., D.,.11.在边长为1的等边三角形中,点E是中点,点F是中点,则()A. B. C. D.12.已知实数、满足约束条件,则的最大值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知单位向量的夹角为,则=_________.14.某中学高一年级有学生1200人,高二年级有学生900人,高三年级有学生1500人,现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究,则应从高三年级学生中抽取_____人.15.电影《厉害了,我的国》于2018年3月正式登陆全国院线,网友纷纷表示,看完电影热血沸腾“我为我的国家骄傲,我为我是中国人骄傲!”《厉害了,我的国》正在召唤我们每一个人,不忘初心,用奋斗书写无悔人生,小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厉害了,我的国》,并把标识为的四张电影票放在编号分别为1,2,3,4的四个不同的盒子里,让四位好朋友进行猜测:甲说:第1个盒子里放的是,第3个盒子里放的是乙说:第2个盒子里放的是,第3个盒子里放的是丙说:第4个盒子里放的是,第2个盒子里放的是丁说:第4个盒子里放的是,第3个盒子里放的是小明说:“四位朋友你们都只说对了一半”可以预测,第4个盒子里放的电影票为_________16.的展开式中的系数为__________(用具体数据作答).三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,四棱锥中,侧面为等腰直角三角形,平面.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成的角的正弦值.18.(12分)设等差数列的首项为0,公差为a,;等差数列的首项为0,公差为b,.由数列和构造数表M,与数表;记数表M中位于第i行第j列的元素为,其中,(i,j=1,2,3,…).记数表中位于第i行第j列的元素为,其中(,,).如:,.(1)设,,请计算,,;(2)设,,试求,的表达式(用i,j表示),并证明:对于整数t,若t不属于数表M,则t属于数表;(3)设,,对于整数t,t不属于数表M,求t的最大值.19.(12分)在平面直角坐标系中,点,直线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线相交于不同的两点是线段的中点,当时,求的值.20.(12分)如图1,在边长为4的正方形中,是的中点,是的中点,现将三角形沿翻折成如图2所示的五棱锥.(1)求证:平面;(2)若平面平面,求直线与平面所成角的正弦值.21.(12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BCC1B1是菱形,AC=BC=2,∠CBB1=,点A在平面BCC1B1上的投影为棱BB1的中点E.(1)求证:四边形ACC1A1为矩形;(2)求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值.22.(10分)已知;.(1)若为真命题,求实数的取值范围;(2)若为真命题且为假命题,求实数的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】

设,计算可得,再结合图像即可求出答案.【详解】设,则,则,由于函数的最小值为0,作出函数的大致图像,结合图像,,得,所以.故选:C【点睛】本题主要考查了分段函数的图像与性质,考查转化思想,考查数形结合思想,属于中档题.2.B【解析】

由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出,由五点法作图求出的值,可得的解析式,再根据函数的图象变换规律,诱导公式,得出结论.【详解】根据已知函数其中,的图象过点,,可得,,解得:.再根据五点法作图可得,可得:,可得函数解析式为:故把的图象向左平移个单位长度,可得的图象,故选B.【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式,由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出,由五点法作图求出的值,函数的图象变换规律,诱导公式的应用,属于中档题.3.D【解析】

对于集合,求得函数的定义域,再求得补集;对于集合,解得一元二次不等式,再由交集的定义求解即可.【详解】,,.故选:D【点睛】本题考查集合的补集、交集运算,考查具体函数的定义域,考查解一元二次不等式.4.B【解析】

由题意,框图的作用是求分段函数的值域,求解即得解.【详解】由题意可知,框图的作用是求分段函数的值域,当;当综上:.故选:B【点睛】本题考查了条件分支的程序框图,考查了学生逻辑推理,分类讨论,数学运算的能力,属于基础题.5.D【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为求得值.【详解】解:在复平面内所对应的点在虚轴上,,即.故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.6.D【解析】

如图,设双曲线的右焦点为,连接并延长交右支于,连接,设,利用双曲线的几何性质可以得到,,结合、可求离心率.【详解】如图,设双曲线的右焦点为,连接,连接并延长交右支于.因为,故四边形为平行四边形,故.又双曲线为中心对称图形,故.设,则,故,故.因为为直角三角形,故,解得.在中,有,所以.故选:D.【点睛】本题考查双曲线离心率,注意利用双曲线的对称性(中心对称、轴对称)以及双曲线的定义来构造关于的方程,本题属于难题.7.B【解析】

根据可导函数在极值点处的导数值为,得出,再由等比数列的性质可得.【详解】解:依题意、是函数的极值点,也就是的两个根∴又是正项等比数列,所以∴.故选:B【点睛】本题主要考查了等比数列下标和性质以应用,属于中档题.8.B【解析】

利用图形作出空间中两直线所成的角,然后利用余弦定理求解即可.【详解】如图,,设为的中点,为的中点,由图可知过且与平行的平面为平面,所以直线即为直线,由题易知,的补角,分别为,设三棱柱的棱长为2,在中,,;在中,,;在中,,,.故选:B【点睛】本题主要考查了空间中两直线所成角的计算,考查了学生的作图,用图能力,体现了学生直观想象的核心素养.9.D【解析】由图可知,收入最高值为万元,收入最低值为万元,其比是,故项正确;结余最高为月份,为,故项正确;至月份的收入的变化率为至月份的收入的变化率相同,故项正确;前个月的平均收入为万元,故项错误.综上,故选.10.B【解析】

根据全称命题的否定为特称命题,得到结果.【详解】根据全称命题的否定为特称命题,可得,本题正确选项:【点睛】本题考查含量词的命题的否定,属于基础题.11.C【解析】

根据平面向量基本定理,用来表示,然后利用数量积公式,简单计算,可得结果.【详解】由题可知:点E是中点,点F是中点,所以又所以则故选:C【点睛】本题考查平面向量基本定理以及数量积公式,掌握公式,细心观察,属基础题.12.C【解析】

作出不等式组表示的平面区域,作出目标函数对应的直线,结合图象知当直线过点时,取得最大值.【详解】解:作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部,如下图表示:当目标函数经过点时,取得最大值,最大值为.故选:C.【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识;考查运算求解能力,数形结合思想,应用意识,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

因为单位向量的夹角为,所以,所以==.14.1.【解析】

先求得高三学生占的比例,再利用分层抽样的定义和方法,即可求解.【详解】由题意,高三学生占的比例为,所以应从高三年级学生中抽取的人数为.【点睛】本题主要考查了分层抽样的定义和方法,其中解答中熟记分层抽样的定义和抽取的方法是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.15.A或D【解析】

分别假设每一个人一半是对的,然后分别进行验证即可.【详解】解:假设甲说:第1个盒子里面放的是是对的,则乙说:第3个盒子里面放的是是对的,丙说:第2个盒子里面放的是是对的,丁说:第4个盒子里面放的是是对的,由此可知第4个盒子里面放的是;假设甲说:第3个盒子里面放的是是对的,则丙说:第4个盒子里面放的是是对的,乙说:第2个盒子里面放的是是对的,丁说:第3个盒子里面放的是是对的,由此可知第4个盒子里面放的是.故第4个盒子里面放的电影票为或.故答案为:或【点睛】本题考查简单的合情推理,考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力,属于中档题.16.【解析】

利用二项展开式的通项公式可求的系数.【详解】的展开式的通项公式为,令,故,故的系数为.故答案为:.【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系数,注意利用通项公式来计算,本题属于容易题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)见解析(2)【解析】

(1)根据平面,利用线面垂直的定义可得,再由,根据线面垂直的判定定理即可证出.(2)取的中点,连接,以为坐标原点,分别为正半轴建立空间直角坐标系求出平面的一个法向量,利用空间向量法即可求解.【详解】因为平面平面,所以由为等腰直角三角形,所以又,故平面.取的中点,连接,因为,所以因为平面,所以平面所以平面如图,以为坐标原点,分别为正半轴建立空间直角坐标系则,又,所以且于是设平面的法向量为,则令得平面的一个法向量设直线与平面所成的角为,则【点睛】本题考查了线面垂直的定义、判定定理以及空间向量法求线面角,属于中档题.18.(1)(2)详见解析(3)29【解析】

(1)将,代入,可求出,,可代入求,,可求结果.(2)可求,,通过反证法证明,(3)可推出,,的最大值,就是集合中元素的最大值,求出.【详解】(1)由题意知等差数列的通项公式为:;等差数列的通项公式为:,得,则,,得,故.(2)证明:已知.,由题意知等差数列的通项公式为:;等差数列的通项公式为:,得,,.得,,,.所以若,则存在,,使,若,则存在,,,使,因此,对于正整数,考虑集合,,,即,,,,,,.下面证明:集合中至少有一元素是7的倍数.反证法:假设集合中任何一个元素,都不是7的倍数,则集合中每一元素关于7的余数可以为1,2,3,4,5,6,又因为集合中共有7个元素,所以集合中至少存在两个元素关于7的余数相同,不妨设为,,其中,,.则这两个元素的差为7的倍数,即,所以,与矛盾,所以假设不成立,即原命题成立.即集合中至少有一元素是7的倍数,不妨设该元素为,,,则存在,使,,,即,,,由已证可知,若,则存在,,使,而,所以为负整数,设,则,且,,,,所以,当,时,对于整数,若,则成立.(3)下面用反证法证明:若对于整数,,则,假设命题不成立,即,且.则对于整数,存在,,,,,使成立,整理,得,又因为,,所以且是7的倍数,因为,,所以,所以矛盾,即假设不成立.所以对于整数,若,则,又由第二问,对于整数,则,所以的最大值,就是集合中元素的最大值,又因为,,,,所以.【点睛】本题考查数列的综合应用,以及反证法,求最值,属于难题.19.(1);(2).【解析】

(1)在已知极坐标方程两边同时乘以ρ后,利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2可得曲线C的直角坐标方程;(2)联立直线l的参数方程与x2=4y由韦达定理以及参数的几何意义和弦长公式可得弦长与已知弦长相等可解得.【详解】解:(1)在ρ+ρcos2θ=8sinθ中两边同时乘以ρ得ρ2+ρ2(cos2θ﹣sin2θ)=8ρsinθ,∴x2+y2+x2﹣y2=8y,即x2=4y,所以曲线C的直角坐标方程为:x2=4y.(2)联立直线l的参数方程与x2=4y得:(cosα)2t2﹣4(sinα)t+4=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,由△=16sin2α﹣16cos2α>0,得sinα>,t1+t2=,由|PM|=,所以20sin2α+9sinα﹣20=0,解得sinα=或sinα=﹣(舍去),所以sinα=.【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档题.20.(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)利用线面平行的定义证明即可(2)取的中点,并分别连接,,然后,证明相应的线面垂直关系,分别以,,为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,利用坐标运算进行求解即可【详解】证明:(1)在图1中,连接.又,分别为,中点,所以.即图2中有.又平面,平面,所以平面.解:(2)在图2中,取的中点,并分别连接,.分析知,,.又平面平面,平面平面,平面,所以平面.又,所以,,.分别以,,为轴,轴,轴建

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