2023版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.4点到直线的距离学业分层测评新人教B版必修2

点到直线的距离(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，那么点P的坐标为()A.(8,0) B.(－12,0)C.(8,0)或(－12,0) D.(－8,0)或(12,0)【解析】设点P的坐标为(x,0)，那么根据点到直线的距离公式可得eq\f(|3x－4×0＋6|,\r(32＋－42))＝6，解得x＝8或x＝－12.所以点P的坐标为(8,0)或(－12,0).【答案】C2.点A(0,2)、B(2,0)，假设点C在函数y＝x2的图象上，那么使得△ABC的面积为2的点C的个数为()A.4B.3C.2 D.1【解析】由题意可得|AB|＝2eq\r(2)，直线AB的方程为x＋y－2＝0.因为△ABC的面积为2，所以AB边上的高h满足方程eq\f(1,2)×2eq\r(2)h＝2，得h＝eq\r(2).设点C(t，t2)，那么由点到直线的距离公式得eq\r(2)＝eq\f(|t＋t2－2|,\r(2))，即|t2＋t－2|＝2，那么t2＋t－4＝0或t2＋t＝0，这两个方程共有4个不相等的实数根，故满足题意的点C有4个.【答案】A3.到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为()A.3x－4y－1＝0B.3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0C.3x－4y＋1＝0D.3x－4y－21＝0【解析】设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意eq\f(|c－－11|,\r(32＋－42))＝2，解得c＝－1或c＝－21.应选B.【答案】B4.点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，那么a等于()A.eq\r(2) B.2－eq\r(2)C.eq\r(2)－1 D.eq\r(2)＋1【解析】由题意得eq\f(|a－2＋3|,\r(2))＝1，即|a＋1|＝eq\r(2)，又a>0，∴a＝eq\r(2)－1.【答案】C5.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是()A.eq\f(4,3)B.eq\f(7,5)C.eq\f(8,5) D.eq\f(20,3)【解析】设P(x0，－xeq\o\al(2,0))为y＝－x2上任意一点，那么由题意得P到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝eq\f(|4x0－3x\o\al(2,0)－8|,5)＝eq\f(\o(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(2,3)))\s\up12(2)－\f(20,3)))),5)，∴当x0＝eq\f(2,3)时，dmin＝eq\f(\f(20,3),5)＝eq\f(4,3).【答案】A二、填空题6.倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为____________.【解析】因为直线斜率为tan60°＝eq\r(3)，可设直线方程为y＝eq\r(3)x＋b，化为一般式得eq\r(3)x－y＋b＝0.由直线与原点距离为5，得eq\f(|0－0＋b|,\r(\r(3)2＋－12))＝5⇒|b|＝10.所以b＝±10.所以直线方程为eq\r(3)x－y＋10＝0或eq\r(3)x－y－10＝0.【答案】eq\r(3)x－y＋10＝0或eq\r(3)x－y－10＝07.假设点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，那么|OP|的最小值是________.【解析】|OP|的最小值，即为点O到直线x＋y－4＝0的距离，d＝eq\f(|0＋0－4|,\r(1＋1))＝2eq\r(2).【答案】2eq\r(2)8.x＋y－3＝0，那么eq\r(x－22＋y＋12)的最小值为________.【解析】设P(x，y)，A(2，－1)，那么点P在直线x＋y－3＝0上，且eq\r(x－22＋y＋12)＝|PA|.|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝eq\f(|2＋－1－3|,\r(12＋12))＝eq\r(2).【答案】eq\r(2)三、解答题9.直线l1和l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0，直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且eq\f(d1,d2)＝eq\f(1,2)，求直线l的方程.【解】由题意知l1∥l2，故l1∥l2∥l.设l的方程为7x＋8y＋c＝0，那么2·eq\f(|c－9|,\r(72＋82))＝eq\f(|c－－3|,72＋82)，解得c＝21或c＝5.∴直线l的方程为7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0.10.正方形的中心为直线x－y＋1＝0和2x＋y＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x＋3y－2＝0，求其他三边所在直线的方程.【解】∵由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,2x＋y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0，))∴中心坐标为(－1,0).∴中心到边的距离为eq\f(|－1－2|,\r(12＋32))＝eq\f(3,\r(10)).设正方形相邻两边方程为x＋3y＋m＝0和3x－y＋n＝0.∵正方形中心到各边距离相等，∴eq\f(|－1＋m|,\r(10))＝eq\f(3,\r(10))和eq\f(|－3＋n|,\r(10))＝eq\f(3,\r(10)).∴m＝4或m＝－2(舍去)，n＝6或n＝0.∴其他三边所在直线的方程为x＋3y＋4＝0,3x－y＝0,3x－y＋6＝0.[能力提升]1.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有()A.1条B.2条C.3条 D.4条【解析】由题可知所求直线显然不与y轴平行，∴可设直线为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0.∴d1＝eq\f(|k－2＋b|,\r(k2＋1))＝1，d2＝eq\f(|3k－1＋b|,\r(k2＋1))＝2，两式联立，解得b1＝3，b2＝eq\f(5,3)，∴k1＝0，k2＝－eq\f(4,3).故所求直线共有两条.【答案】B2.假设动点A(x1，y1)、B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，那么AB中点M到原点距离的最小值为()A.3eq\r(2)B.2eq\r(3)C.3eq\r(3) D.4eq\r(2)【解析】根据条件可以知道，AB的中点M一定在处于l1，l2之间且与l1，l2距离相等的直线上，即M在直线x＋y－6＝0上，M到原点距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，由点到直线的距离公式得d＝eq\f(|－6|,\r(2))＝3eq\r(2).【答案】A3.假设直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2eq\r(2)，那么m的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°，其中正确答案的序号是________.(写出所有正确答案的序号)【解析】两平行线间的距离为d＝eq\f(|3－1|,\r(1＋1))＝eq\r(2)，由题意知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.【答案】①⑤4.如图2­2­4所示，直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，假设l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程.图2­2­4【解】设l2的方程为y＝－x＋b(b>0)，那么题图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b).所以AD＝eq\r(2)，BC＝eq\r(2)b.梯形的