（江苏专用）2023版高考数学三轮复习小题专题练（二）三角函数、平面向量文苏教版

〔江苏专用〕2022版高考数学三轮复习小题专题练〔二〕三角函数、平面向量文苏教版PAGE13-小题专题练(二)三角函数、平面向量(建议用时：50分钟)1．(2022·宿迁模拟)在平面直角坐标系中，向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，1)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，5)，那么向量eq\o(BC,\s\up6(→))的坐标为________．2．假设sinα＝－eq\f(5,13)，且α为第四象限角，那么tanα的值等于________．3．在△ABC中，a＝3，b＝eq\r(6)，∠A＝eq\f(2π,3)，那么∠B＝________．4．sin2α＝eq\f(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＜α＜\f(π,2)))，tan(α－β)＝eq\f(1,2)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β))＝________．5．函数y＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋cos2x的最小正周期为________．6．向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，假设(m＋n)∥(m－n)，那么λ＝________．7．向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为120°，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2.假设eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，那么实数λ的值为________．8．a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c＝2，C＝eq\f(π,3)，假设sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，那么A＝____________．9．函数f(x)＝eq\r(3)cos2x－sin2x，那么以下结论中正确的序号是________．①函数f(x)的图象关于直线x＝eq\f(11π,12)对称；②函数f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0))对称；③函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(5π,12)))上是增函数；④将y＝2sin2x的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度可以得到函数f(x)的图象．10．(2022·淮安模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0≤φ<2π)在R上的局部图象如下图，那么f(2018)的值为________．11．(2022·辽宁师大附中模拟)a，b是单位向量，且a·b＝0.假设向量c满足|c－a－b|＝1，那么|c|的取值范围是________．12．甲船从位于海岛B正南10海里的A处，以4海里/小时的速度向海岛B行驶，同时乙船从海岛B以6海里/小时的速度向北偏东60°方向行驶，当两船相距最近时，两船行驶的时间为________小时．13．角φ的终边经过点P(1，－1)，点A(x1，y1)、B(x2，y2)是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象上的任意两点．假设|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为eq\f(π,3)，那么feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝________．14．如图，圆O是边长为2的正方形ABCD的内切圆，假设P，Q是圆O上两个动点，那么eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→))的取值范围是________．小题专题练(二)1．解析：eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，4)．答案：(1，4)2．解析：因为α为第四象限的角，故cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－〔－\f(5,13)〕2)＝eq\f(12,13)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(－\f(5,13),\f(12,13))＝－eq\f(5,12).答案：－eq\f(5,12)3．解析：在△ABC中，根据正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，有eq\f(3,sin\f(2π,3))＝eq\f(\r(6),sinB)，可得sinB＝eq\f(\r(2),2).因为∠A为钝角，所以∠B＝eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)4．解析：因为eq\f(π,4)＜α＜eq\f(π,2)，所以eq\f(π,2)＜2a＜π，可得cos2α＝－eq\f(4,5)，那么tan2α＝－eq\f(3,4)，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝eq\f(tan2α－tan〔α－β〕,1＋tan2αtan〔α－β〕)＝－2.答案：－25．解析：因为y＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1＋cos2x,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，所以该函数的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.答案：π6．解析：因为m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，又(m＋n)∥(m－n)，所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得λ＝0.答案：07．解析：由eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，知eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，即eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(λ－1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－λeq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＝(λ－1)×3×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－λ×9＋4＝0，解得λ＝eq\f(7,12).答案：eq\f(7,12)8．解析：在△ABC中，由sinC＋sin(B－A)＝2sin2A可得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin2A，即sinAcosB＋cosAsinB＋cosAsinB－sinAcosB＝4sinAcosA，所以cosAsinB＝2sinAcosA，即cosA(sinB－2sinA)＝0，即cosA＝0或sinB＝2sinA，①当cosA＝0时，A＝eq\f(π,2)；②当sinB＝2sinA时，根据正弦定理得b＝2a，由余弦定理c2＝b2＋a2－2abcosC，结合c＝2，C＝eq\f(π,3)，得a2＋b2－ab＝4，所以a＝eq\f(2\r(3),3)，b＝eq\f(4\r(3),3)，所以b2＝a2＋c2，所以B＝eq\f(π,2)，所以A＝eq\f(π,6).综上可得，A＝eq\f(π,2)或eq\f(π,6).答案：eq\f(π,2)或eq\f(π,6)9．解析：f(x)＝eq\r(3)cos2x－sin2x＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).令2x－eq\f(π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(5π,12)，k∈Z，当k＝1时，函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝eq\f(11π,12)，所以①正确；令2x－eq\f(π,3)＝kπ，k∈Z，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)，k∈Z，所以当k＝1时，函数f(x)的图象的对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0))，所以②正确；由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(5π,12)，k∈Z，所以当k＝0时，函数f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))，所以③错误；将函数y＝2sin2x的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度可以得到函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象，所以④错误．所以正确的序号是①②.答案：①②10．解析：由题图知A＝5，T＝12，从而ω＝eq\f(π,6)，φ＝eq\f(π,6)，解析式为f(x)＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋\f(π,6)))，故f(2018)＝f(2)＝5.答案：511．解析：由a，b是单位向量，且a·b＝0，可设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)．因为向量c满足|c－a－b|＝1，所以eq\r(〔x－1〕2＋〔y－1〕2)＝1，即(x－1)2＋(y－1)2＝1.该方程表示圆心为(1，1)，半径为1的圆，所以eq\r(2)－1≤|c|＝eq\r(x2＋y2)≤eq\r(2)＋1，所以|c|的取值范围是[eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1]．答案：[eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1]12．解析：如图，设经过x小时后，甲船行驶到D处，乙船行驶到C处时两船相距最近，那么AD＝4x，BC＝6x，那么BD＝10－4x，由余弦定理知，CD2＝(10－4x)2＋(6x)2－2×(10－4x)×6xcos120°＝28x2－20x＋100＝28eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,14)))eq\s\up12(2)＋eq\f(675,7)，假设甲行驶2.5小时，那么甲船到达海岛B，因而假设x<2.5，那么当x＝eq\f(5,14)时距离最小，且最小距离为eq\r(\f(675,7))＝eq\f(15\r(21),7)，假设x≥2.5，那么BC≥6×2.5＝15>eq\f(15\r(21),7)，因而当两船相距最近时，两船行驶eq\f(5,14)小时．答案：eq\f(5,14)13．解析：结合三角函数图象，可知函数的最小正周期为eq\f(2π,3)，那么ω＝3，因为角φ的终边经过点P(1，－1)，所以不妨取φ＝－eq\f(π,4)，那么f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝sineq\f(5π,4)＝－eq\f(\r(2),2).答案：－eq\f(\r(2),2)14．解析：以O为坐标原点建立如下图的平面直角坐标系，那么P，Q在以O为圆心的单位圆上，设P(cosα，sinα)，Q(cosβ，sinβ)，又A(－1，－1)，C(1，1)所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝(cosα＋1，sinα＋1)，eq\o(CQ,\s\up6(→))＝(cosβ－1，sinβ－1)所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→))＝(cosα＋1)·(cosβ－1)＋(sinα＋1)·(sinβ－1)＝cosαcosβ＋cosβ－cosα－1＋sinαsinβ＋sinβ－sinα－1＝(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋(sinβ＋cosβ)－(sinα＋cosα)－2＝cos(α－β)＋eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4)))－eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－2，当cos(α－β)＝－1且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4)))＝－1且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝1时，那么eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→))有最小值，此时α－β＝(2k＋1)π且β