解答题型突破五训练七

解答题五——解析几突破训练1.(2020届江西上饶二模)已知圆C1的方程为(x+2)2+y2=32,点C2(2,0),点M为圆C1上的任意一点,线MC2的垂直平分线与线段MC1相交于点求点N的轨迹C的方程已知点A(0,2√2),过点A且斜率为k的直线l交轨迹C于P,Q两点,以OP,OQ为邻边作平行四边OPBQ,是否存在常数k,使得点B在轨迹C上?若存在,求k的值;若不存在,请说明理由【解析】(1)∵|NC2|=|NM|,∴|NC1|+|NC2|=|NC1|+|NM|=|C1M|=4√2>|C1C2|,故点N的轨迹是C1,C2为焦点的椭圆,则∴轨迹C的方程为 (2𝑥2+𝑦2=与椭圆方程联立得{ 消去y,得𝑦=𝑘𝑥+∴x1+x2=-8√2k22𝑘2∵Δ=128k2-2=+y1+y2=k(x1+x2)+4√2=4√222𝑘2∴B(-8√2k,4√22𝑘2+1将点B的坐标代入椭圆方程

8√2k2+24√22

(- k2=7 ∴存在常数k=±√14,使得平行四边形OPBQ的顶点B在椭圆上22.(2020届湖南模拟)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,D(0,2)为椭圆C短轴的一个端点,F为椭圆的右焦点,线段DF的延长线与椭圆C相交于点E,且求椭圆C的标准方程·⃗⃗⃗2围【解析】(1)设椭圆C的方程为𝑥2+𝑦2=1(a>b>0),右焦点𝑎2因为D(0,2)为椭圆C的短轴的一个端点,所以因为|DF|=3|EF|,所以点E(4𝑐,-3因为点E在椭圆C上,所以16𝑐2+1=1,即9𝑎2又c2=a2-4,所以a2=8,所以椭圆C的标准方程是 (2ll代入椭圆C的方程,得x2+2(kx+m)2=8,即(2k2+1)x2+4kmx+2m2-A(x,y),B(x,yx+x=-4𝑘𝑚,xx=2𝑚2-1 2

12因为kOA·kOB=-3,所以𝑦1·𝑦2=-3,所以3x1x2+2y1y2=0,所以 𝑥1 所以(2k2+3)·2𝑚2-8 即(2k2+3)(m2-4)-

𝑚2-4

2𝑘2-12𝑂𝐴·𝑂𝐵=x1x2+y1y2=-x1x2=-2=-2

=2-2𝑘

2𝑘+12𝑘因为Δ=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-8)=8(8k2+4-m2)=8(6k2+1)>0,k2≥0,所以0<21<··⃗⃗⃗ 当直线l的斜率不存在时,点A,B关于x轴对称,则kOA=-

k=-3

>0k=√6.y=√6x与𝑥+𝑦=1A(√2,√3),B(√2,-√3OA

OA

·⃗⃗⃗,⃗⃗⃗·⃗⃗⃗ 设点A(x1,y1),B(x2,y2),则𝑦1·𝑦2=-3,即y1y2=-𝑥1 2·⃗⃗⃗2𝑦=由

x2+2k2x2=8,即(2k2+1)x2=8,所以𝑥2=8 =

1同理,2

𝑥2 2=22(-3)

2𝑘所以2

=

2=29 (2𝑘+1)(2𝑘

4𝑘+20𝑘

4𝑘+4k2+9≥2√4𝑘2·9=124k2=9k=±√6

1·⃗⃗⃗3.(2020届陕西省八校联考)已知椭圆C过点A(2√6,2),两个焦点分别为(-求椭圆C的标准方程设直线l交椭圆C于A,B两点,坐标原点O到直线l的距离为3,求△AOB面积的最大值【解析】(1)由题意可设椭圆C的方程为𝑥2+𝑦2=1(a>b>0),半焦距为

2 2

√6𝑎2∴椭圆C的标准方程为𝑥236(2)当直线l与x轴平行时,把y=±3代入椭圆方程可得𝑥2+9=1,解得x=±3,故△AOB的面362l0lABd=|𝑚|=3联立𝑥=𝑡𝑦+ 2 +2

=

Δ=4t2m2-4(t2+3)(m3-y+y=-2𝑡𝑚,yy=𝑚2- 𝑡2+31

则|AB|=√(1+𝑡2)[(𝑦+𝑦)2-4𝑦𝑦]=√(1+𝑡2)[4𝑡𝑚24(𝑚2-36)=6√(𝑡+1)(𝑡 1

𝑡2+3

令t2+3=n≥3,则△AOB的面S=1d·|AB|=1×3×6√(𝑡2+1)(𝑡2+9)=9√(𝑛-2)(𝑛+6)=9√-12(1-1)2+

𝑛 当且仅当n=6,t=±√3时,△AOB的面积取得最大值,最大值为综上,△AOB面积的最大值为4.(2020届江西红色七校联考)已知椭圆C:𝑥2+𝑦2=1(a>b>0)的右焦点

与抛物线y2=4x的焦点重合,原到过点A(a,0),B(0,-b)的直线的距离是7

求椭圆C的方程设动直线l:y=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P,过F1作PF1的垂线与直线l交于点Q,试证明点),得a2=b2+1,直线AB:𝑥-𝑦=1,即bx-ay-𝑎∴OABd=𝑎𝑏=2√21, 联立①②,解得∴椭圆C的方程为 𝑦=𝑘𝑥+4

+𝑦2

=

得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,由直线与椭圆相切,得m≠0且Δ=64k2m2-4(4k2+3)·(4m2-12)=0,整理得4k2-将4k2+3=m2代入(*)式,得m2x2+8kmx+16k2=0,即(mx+4k)2=0,解得x=-4𝑘,∴P(-4𝑘,3 𝑚

3=𝑚=-

-4𝑘-

1∴FQy=4𝑘+𝑚(x-13联立

𝑦=𝑘𝑥+

𝑦

3∴点Q在定直线x=4上5.(2020届山东德州期末)已知椭圆C:𝑥2+𝑦2=1(a>b>0),点M(-1,3)在椭圆C上,椭圆C的离心率是(1)求椭圆C的标准方程

(2)设点A为椭圆长轴的左端点,P,Q为椭圆上异于椭圆C长轴端点的两点,记直线AP,AQ斜率分别4k1,k2,若k1k2=-1,请判断直线PQ是否过定点.若过定点,求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由41+

=

𝑎2=【解析】(1M(-13)CC的离心率是1,可得

解得{𝑏2 故椭圆C的标准方程为

=

𝑐2= (2)设点P,Q的坐标分别为PQP(13),Q(13)P(13),Q(13) PQ的方程为当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为𝑥2+𝑦2=联立{ 消去y得(4k2+3)x2+8kmx+(4m2-𝑦=𝑘𝑥+由Δ=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=48(4k2-m2+3)>0,有 定理得x+x=-8𝑘𝑚,xx=4𝑚2- 1 故 =- 化简整理得m2-km-2k2=0,解得m=2k或m=-当m=2k时,直线PQ的方程为y=kx+2k,即y=k(x+2),过定点(-2,0),不合题意当m=-k时,直线PQ的方程为y=kx-k,即y=k(x-1),过定点综上所述,直线PQ过定点 揭阳一模)已知点P(√6,1)在椭圆C:𝑥2+𝑦2=1(a>b>0)上,椭圆C的焦距为求椭圆C的方程

斜率为定值k的直线l与椭圆C交于A,B两点,且满足|OA|2+|OB|2的值为常数,其中O为坐标原点①求k的值以及这个常数②写出一般性结论(不用证明):斜率为定值k的直线与椭圆𝑥2+𝑦2=1(a>b>0)交于A,B两点,且满𝑎2|OA|2+|OB|2的值为常数,则k的值以及这个常数是多少【解析】(1P在椭圆上得3+1

∴3b2+2a2=2a2b2,c=1,又∴2b4-3b2-2=0,解得b2=2,得∴椭圆C的方程为 (2)①设直线l的方程为y=kx+t,代入 得(3k2+2)x2+6ktx+3t2-∴x+x=-6𝑘𝑡,x