向量的数乘运算题型练习-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第PAGE"pagenumber"11页，共NUMPAGES"numberofpages"11页第六章6.2.3向量的数乘运算【基础篇】题型1向量的数乘的定义与运算法则1．已知λ∈R，则下列结论正确的是()A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|aC．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>02．若a，b为已知向量，且eq\f(2,3)(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，则c＝________.题型2向量的数乘的应用3．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，eq\o(AG,\s\up6(→))＝2eq\o(GD,\s\up6(→))，则用向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))表示eq\o(BG,\s\up6(→))为()A.eq\o(BG,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(BG,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))4．如图，在平面四边形ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，eq\o(AD,\s\up6(→))＝m，eq\o(BC,\s\up6(→))＝n，则eq\o(EF,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)m＋eq\f(1,2)n B.eq\f(2,3)m＋eq\f(1,3)nC.eq\f(3,4)m＋eq\f(1,4)n D.eq\f(1,3)m＋eq\f(2,3)n题型3向量共线的判定5．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，且a，b不共线，则()A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线6．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O.若2eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))＋3eq\o(OB,\s\up6(→))，则四边形ABCD一定是()A．矩形 B．梯形C．平行四边形 D．菱形7．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，其中e1，e2不共线．问是否存在实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？题型4向量共线定理的应用8．如图，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(NC,\s\up6(→))，P是BN上一点．若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为()A.eq\f(9,11) B.eq\f(2,11)C.eq\f(3,11) D.eq\f(1,11)9．在△ABC中，点D在边BC的延长线上，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→)).若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，－eq\f(1,3)<x<0，则点O在()A．线段BC上 B．线段CD上C．线段AC上 D．线段AD上10．在△ABC中，点D满足eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，直线AD与BC交于点E，则eq\f(|\o(CE,\s\up6(→))|,|\o(CB,\s\up6(→))|)的值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)11．设e1，e2是空间内两个不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋ke2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5e1＋4e2，eq\o(DC,\s\up6(→))＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝________．【提升篇】1．在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，则()A.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))C.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))2．已知向量a，b不共线．若向量a＋λb与b＋λa的方向相反，则λ的值为()A．1 B．0 C．－1 D．±13．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，已知eq\f(PT,AP)＝eq\f(\r(5)－1,2)，则()A.eq\o(CT,\s\up6(→))＝eq\f(3－\r(5),2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(3－\r(5),2)eq\o(CE,\s\up6(→))B.eq\o(CT,\s\up6(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CE,\s\up6(→))C.eq\o(CT,\s\up6(→))＝eq\f(3－\r(5),4)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(3－\r(5),4)eq\o(CE,\s\up6(→))D.eq\o(CT,\s\up6(→))＝eq\f(3－\r(5),4)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CE,\s\up6(→))4．已知O是平面内一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心5．(多选)[重庆南开中学2022质量检测]已知点P是△ABC的中线BD上一点(不包含端点)且eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，则下列说法正确的是()A．x＋2y＝1 B．2x＋y＝1C．2x＋4y≥2eq\r(2) D．log2x＋log2y≥－36．(多选)[山东师范大学附属中学2022高一月考]已知点P为△ABC所在平面内一点，且eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝0.若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是()A．向量eq\o(PA,\s\up6(→))与eq\o(PC,\s\up6(→))可能平行B．点P在线段EF的延长线上C．点P在线段EF上D．PE∶PF＝2∶17．已知M是△ABC所在平面内的一点．若满足6eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，且S△ABC＝λS△ABM，则实数λ的值是________．8．[山东历城二中、章丘四中等校2022高一联考]在△ABC中，点P满足BP＝2PC，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝μeq\o(AN,\s\up6(→))(λ>0，μ>0)，求eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)的最小值．9．已知e1，e2是平面上两个不共线的向量，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝ke1－4e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－e1＋ke2，eq\o(BD,\s\up6(→))＝e1＋2e2.(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))方向相反，求k的值；(2)若A，C，D三点共线，求k的值．答案及解析1.【答案】C【详解】当λ<0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C.2.【答案】eq\f(12,13)b－eq\f(8,39)a【详解】∵eq\f(2,3)(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，∴eq\f(8,3)a－2c＋15c－12b＝0，化简得13c＝12b－eq\f(8,3)a，∴c＝eq\f(12,13)b－eq\f(8,39)a.3.【答案】A【详解】由题意可得eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).故选A.4.【答案】A【详解】由已知可得eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝0，eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＝0，由平面向量的加法可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(EF,\s\up6(→))＝\o(EA,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))＋\o(DF,\s\up6(→))，,\o(EF,\s\up6(→))＝\o(EB,\s\up6(→))＋\o(BC,\s\up6(→))＋\o(CF,\s\up6(→))，))上述两个等式相加可得2eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝m＋n，则eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(m＋n)．故选A.5.【答案】B【详解】∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，且a，b不共线，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b.∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(BD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))共线，则A，B，D三点共线，故选B.6.【答案】B【详解】∵2eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))＋3eq\o(OB,\s\up6(→))，∴2(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→)))＝3(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，∴2eq\o(DA,\s\up6(→))＝3eq\o(CB,\s\up6(→))，∴四边形ABCD一定是梯形．故选B.7.【答案】由题意得d＝λa＋μb＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，若d与c共线，则存在实数k≠0，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，))解得λ＝－2μ.故存在实数λ，μ，且λ＝－2μ，使d与c共线．8.【答案】D【详解】由题意可得eq\o(AC,\s\up6(→))＝5eq\o(AN,\s\up6(→))，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)×5eq\o(AN,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(10,11)eq\o(AN,\s\up6(→)).因为B，P，N三点共线，所以m＋eq\f(10,11)＝1，即m＝eq\f(1,11).9.【答案】B【详解】由向量共线定理可知O，B，C三点共线．∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(AD,\s\up6(→))－3eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).又∵－eq\f(1,3)<x<0，∴点O在线段CD上，且不与C，D两点重合．10.【答案】C【解析】设eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(λ,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(λ,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(λ,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)－1))eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(CE,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))共线，设eq\o(CE,\s\up6(→))＝keq\o(CB,\s\up6(→))，则eq\f(λ,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)－1))eq\o(AC,\s\up6(→))＝k(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(λ,6)＝k，,\f(λ,2)－1＝－k，))所以eq\f(λ,6)＝1－eq\f(λ,2)，解得λ＝eq\f(3,2)，此时eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(CB,\s\up6(→))，故eq\f(|\o(CE,\s\up6(→))|,|\o(CB,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,4).故选C.11.【答案】1【详解】依题意，eq\o(CD,\s\up6(→))＝e1＋2e2，故eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝7e1＋(k＋6)e2.已知A，B，D三点共线，可设eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7＝λ，,k＋6＝kλ，))解得k＝1.1.【答案】B【详解】如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，由平行四边形法则得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AO,\s\up6(→))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))．故选B.2.【答案】C【详解】∵向量a＋λb与b＋λa的方向相反，∴(a＋λb)∥(b＋λa)．由向量共线的充要条件可知，存在一个实数m，使得a＋λb＝m(b＋λa)，即(1－mλ)a＝(m－λ)b.∵a与b不共线，∴1－mλ＝m－λ＝0，可得m＝λ.∴1－λ2＝0，λ＝±1.当λ＝1时，向量a＋b与b＋a是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去．∴λ＝－1.3.【答案】A【详解】设AP＝1，则PT＝eq\f(\r(5)－1,2)＝TS，CP＝1＋eq\f(\r(5)－1,2)＝eq\f(\r(5)＋1,2)＝CS，eq\o(CT,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AT,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,\r(5)－1)eq\o(TS,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,\r(5)－1)(eq\o(CS,\s\up6(→))－eq\o(CT,\s\up6(→)))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,\r(5)－1)(eq\f(1＋\f(\r(5)－1,2),2＋\f(\r(5)－1,2))eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(CT,\s\up6(→)))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(CT,\s\up6(→))，所以eq\f(\r(5)＋3,2)eq\o(CT,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))，所以eq\o(CT,\s\up6(→))＝eq\f(3－\r(5),2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(3－\r(5),2)eq\o(CE,\s\up6(→)).故选A.4.【答案】B【详解】eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)为eq\o(AB,\s\up6(→))上的单位向量，eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)为eq\o(AC,\s\up6(→))上的单位向量，设∠BAC的平分线为AD，则eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)的方向为eq\o(AD,\s\up6(→))的方向．又∵λ∈[0，＋∞)，∴λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))的方向与eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)的方向相同．∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，∴点P在射线AD上移动．∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心．5.【答案】AC【详解】因为eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AD,\s\up6(→)).又B，P，D三点共线，所以x＋2y＝1，所以选项A正确，选项B错误．x＋2y＝1，所以2x＋4y＝2x＋22y≥2eq\r(2x·22y)＝2eq\r(2x＋2y)＝2eq\r(2)(当且仅当x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,4)时等号成立)，所以选项C正确．因为x＋2y＝1≥2eq\r(2xy)，所以xy≤eq\f(1,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当x＝\f(1,2)，y＝\f(1,4)时等号成立))，所以log2x＋log2y＝log2(xy)≤log2eq\f(1,8)＝－3，所以选项D错误．故选AC.6.【答案】CD【详解】点P为△ABC所在平面内一点，E为AC的中点，F为BC的中点，则eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PE,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PF,\s\up6(→))，而eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，即(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＋2(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝0，于是得2eq\o(PE,\s\up6(→))＋4eq\o(PF,\s\up6(→))＝0，即eq\o(EP,\s\up6(→))＝2eq\o(PF,\s\up6(→))，所以点P在线段EF上，且PE∶PF＝2∶1，即点P，A，C不共线，则向量eq\o(PA,\s\up6(→))与eq\o(PC,\s\up6(→))不可能平行，A不正确，B不正确，C正确，D正确．故选CD.7.【答案】3【详解】如图，记2eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→)).∵eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AN,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(BN,\s\up6(→))＝2eq\o(NC,\s\up6(→))，S△ABC＝eq\f(3,2)S△ABN.又∵S△ABM＝eq\f(1,2)S△ABN，∴S△ABC＝3S△ABM，∴λ＝3.8.【答案】【详解】连接AP，如图．∵△ABC中，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，点P满足eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，∴－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝2(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).又∵eq\o(AB,\s\up