有限元法基础动力学问题

12.动力学问题关键概念一致质量矩阵团聚质量矩阵振型阻尼矩阵Rayleigh阻尼显式积分隐式积分Guyan减缩法动力子结构法有限元法基础1第1页/共69页第一页，共70页。12.动力学问题12.1动力学问题的有限元方程（一）动力学问题的基本方程平衡方程几何方程本构关系边界条件初始条件有限元法基础2第2页/共69页第二页，共70页。12.动力学问题（二）Galerkin法

平衡方程和力的边界条件的等效积分形式第一项分部积分有限元法基础3第3页/共69页第三页，共70页。12.动力学问题（三）有限元离散在动力学分析时，物理量是空间（x,y,z）的函数，也是时间（t）的函数，是一个四维问题有限元离散，或网格剖分是对空间域进行，这一步骤与静力学问题分析时相同时间维的离散使用有限差分法处理有限元法基础4第4页/共69页第四页，共70页。12.动力学问题（四）位移插值函数

只对空间域进行离散，插值函数表示为写成矩阵形式有限元法基础5插值函数与时间无关第5页/共69页第五页，共70页。12.动力学问题（五）有限元方程

将插值函数代入Galerkin积分表达式，由的任意性得，系统的求解方程其中有限元法基础6第6页/共69页第六页，共70页。12.动力学问题（六）典型的动力学问题模态分析（ModalAnalysis）

确定结构的动力学特征瞬态分析（TransientAnalysis）使用直接积分法或模态叠加法得到结构的瞬态响应谐分析（HarmonicAnalysis）线性结构承受简谐载荷的稳态响应谱分析（SpectrumAnalysis）

在响应谱作用下，结构的响应

有限元法基础7第7页/共69页第七页，共70页。12.动力学问题12.2质量矩阵和阻尼矩阵动力问题的质量矩阵它与所使用的有限元列式的原理和位移插值函数保持一致。假定质量集中在节点上，导出的质量

矩阵是对角线矩阵，可提高计算效率。有限元法基础8一致质量矩阵ConsistentMass团聚质量矩阵LumpedMass第8页/共69页第八页，共70页。12.动力学问题团聚质量矩阵的计算方法（1）中每一行主元等于中该行所有元素之和（2）中每一行主元等于中该行主元乘以缩放

因子

a根据平动DOF质量守恒确定,即有限元法基础9第9页/共69页第九页，共70页。12.动力学问题振型阻尼矩阵

阻尼正比于质点速度阻尼正比于应变速度这种阻尼称为比例阻尼或振型阻尼，比例系数与固有频率相关。

和与频率无关，为常数。有限元法基础10阻尼矩阵与质量矩阵或刚度矩阵成比例Rayleigh阻尼第10页/共69页第十页，共70页。12.动力学问题12.3直接积分法

半离散的动力学方程的解法分为两类，一是直接进行数值积分，一类是使用固有振型表达动态响应，称为振型叠加法。

直接时间积分一般采用差分格式，分为显式时间和隐式时间积分。

显式积分式条件稳定的，隐式积分是无条件稳定的，各有优缺点。有限元法基础11第11页/共69页第十一页，共70页。12.动力学问题12.3.1中心差分法

有限差分法的理论依据很简单，以有限增量的比值代替数学上的微分，速度表示为中心差分格式为有限元法基础12第12页/共69页第十二页，共70页。12.动力学问题将中心差分格式应用到有限元的半离散方程整理得递推公式有限元法基础13第13页/共69页第十三页，共70页。12.动力学问题中心差分法求解运动方程的步骤1.初始计算1）形成刚度矩阵K、质量矩阵M和阻尼矩阵C2）给定，和3）选择时间步长，4）计算5）形成有效质量矩阵6）三角分解

有限元法基础14第14页/共69页第十四页，共70页。12.动力学问题2.对每一时间步长1）计算时间t的有效载荷2）求解时间的位移3）如果需要计算时间t的加速度和速度

有限元法基础15第15页/共69页第十五页，共70页。12.动力学问题特点（1）若已知和可直接预测下一步的，称为逐步积分法。

如果质量矩阵M是对角的，C也是对角或可以忽略，则利用递推公式求解时不需求解方程，直接可得下一时间步的预测值。有限元法基础16显示时间积分(ExplicitTimeIntegral)

第16页/共69页第十六页，共70页。12.动力学问题（2）当t=0时，需要和，因此必须用专门的起步方法。由速度和加速度的中心差分公式，消去

的量，得初始加速度可用运动方程求得有限元法基础17第17页/共69页第十七页，共70页。12.动力学问题（3）中心差分是条件稳定的，时间步长不能任意取，最大步长与计算的问题相关，以及网格剖分相关。一般步长可取为

为系统的最高阶固有频率，Tn是系统的最小固有振动周期。实际应用中可以用系统中最小尺度单元的最小振动周期代替系统的Tn，因为。

有限元法基础18第18页/共69页第十八页，共70页。12.动力学问题（4）时间步长的确定方式a)网格剖分后，找出尺寸最小的单元，形成单元的特征方程求出最大特征根，得到。b)网格剖分后，找出尺寸最小的单元的最小边长L，可以近似地估计，，由此，得，称为Couran，Friedrich和Lewy条件。有限元法基础19物理解释：时间步长应足够小，以致于在单个时间步内，传播不会超过相邻的两个节点间的距离。第19页/共69页第十九页，共70页。12.动力学问题（5）中心差分的显示算法，适合于由冲击、碰撞、爆炸类型的载荷引起的波传播问题的求解。

因为这些问题本身就是在初始扰动后，按一定的波速C逐步在介质中传播。

对于结构动力学问题，采用显示时间积分不太合适。因为结构的动力响应中低频成分起主要作用，允许大的时间步长。

有限元法基础20第20页/共69页第二十页，共70页。12.动力学问题例：波的传播均匀钢杆，无阻尼，开始静止，突然施加轴向端点力。用40个2节点杆单元模拟，材料为线弹性。图中Cn为Courant数，即实际步长与临界步长的比值。有限元法基础21第21页/共69页第二十一页，共70页。12.动力学问题有限元法基础22第22页/共69页第二十二页，共70页。12.动力学问题有限元法基础23初始速度为零，开始后在加载。第23页/共69页第二十三页，共70页。12.动力学问题12.3.2Newmark法

Newmark积分法假设，在的时间区域内，有其中，和是按积分精度、稳定性和算法阻尼要求决定的参数，取不同的值代表不同的积分方案。有限元法基础24第24页/共69页第二十四页，共70页。12.动力学问题几个特例1），对应于线性加速度法，即在时间步加速度内线性变化2），对应于平均加速度法，即在时间步内加速度取平均值有限元法基础25第25页/共69页第二十五页，共70页。12.动力学问题Newmark法的运动方程由Newmark关系式，得递推公式为有限元法基础26第26页/共69页第二十六页，共70页。12.动力学问题Newmark法的计算步骤1.初始计算（1）形成刚度矩阵K，质量矩阵M和阻尼矩阵C（2）给定，和（3）选择时间步长，以及参数、和积分常数（4）形成有效刚度矩阵（5）三角分解有限元法基础27第27页/共69页第二十七页，共70页。12.动力学问题2.对每一时间步长（1）计算时间的有效载荷（2）求解时间的位移（3）计算时间的加速度和速度有限元法基础28第28页/共69页第二十八页，共70页。12.动力学问题Newmark法的特点（1）为隐式积分算法（ImplicitTimeIntegral）

每一步都必须求解方程；（2）当时算法是无条件稳定的，

即时间步长得大小不影响解得稳定性；（3）当时是条件稳定的，；（4）Newmark法特别适合于时程较长的系统数瞬态

响应分析，而且大时间步长可以滤掉高阶不精确

模态对系统响应的影响。有限元法基础29第29页/共69页第二十九页，共70页。12.动力学问题有限元法基础30第30页/共69页第三十页，共70页。12.动力学问题有限元法基础31第31页/共69页第三十一页，共70页。12.动力学问题12.4特征值问题及其解法

系统的运动方程为

无阻尼自由振动退化为

设方程解的形式为

方程成为

有限元法基础32广义特征值问题第32页/共69页第三十二页，共70页。

12.动力学问题四种类型的解法：直接矢量迭代法（幂法）矩阵变换法多项式迭代求解法（行列式搜索法）利用特征多项式的Sturm序列特性求解法

以及第33页/共69页第三十三页，共70页。

12.动力学问题12.4.1逆迭代法（幂法）

对方程取近似解按以下迭代格式求解则序列将收敛于相应的特征根的特征矢量。

第34页/共69页第三十四页，共70页。

12.动力学问题因为对任一矢量可用特征矢量表示为

代入方程

按迭代方程有

若，当时，

第35页/共69页第三十五页，共70页。

12.动力学问题为了使Xi不受计算的影响，常常需要归一化正迭代法的计算方案

迭代格式

若，当时，特征根的近似解第36页/共69页第三十六页，共70页。

12.动力学问题12.4.2变换法

广义特征值问题化为标准特征值问题

有限元法中的质量矩阵M是对称正定的，则

故有

定义

得到第37页/共69页第三十七页，共70页。

12.动力学问题标准特征值问题

变换法中有Jacobi法、Givens法、Householder，其实质就是通过一系列的变换矩阵，将M变换成单位矩阵，将K变换成对角矩阵。Jacobi法

标准特征值问题的方程

设完成第k步变换成为Pk是正交矩阵，即

第38页/共69页第三十八页，共70页。

12.动力学问题Pk矩阵的构造

第39页/共69页第三十九页，共70页。

12.动力学问题特点

在时，矩阵K趋于对角阵由于只能做有限次变换，因此最后的矩阵是对角占优变换后的矩阵总是对称的，可以减少计算次数在一次变换使非对角线为零元素，在下次变换中可能成为非零，因此收敛缓慢需要结合一些其他策略提高计算效率第40页/共69页第四十页，共70页。

12.动力学问题12.4.3子空间迭代法

子空间迭代法是求解大型特征值问题的低阶特征值有效方法，它实际上是Rayleigh-Ritz法和同时逆迭代法的组合

。子空间迭代法的步骤1)建立q个初始矢量(q>p,p是要计算的特征根个数，一般q=min(2p,p+8))2)从q个迭代矢量中使用逆迭代法和Ritz分析抽取近似的特征根和特征矢量3)迭代收敛后，使用Sturm序列检查验证所得特征根和特征矢量是否符合要求

第41页/共69页第四十一页，共70页。

12.动力学问题子空间迭代法求解过程q个初始迭代矢量构成n×q阶矩阵X1

第k步迭代为

形成子空间投影矩阵

求解子空间特征系统

－－这是Rayleigh－Ritz分析，Kk+1是q×q计算近似特征矢量Xk+1可作为新的迭代矩阵，当时，

第42页/共69页第四十二页，共70页。

12.动力学问题12.4.4Lanczos法Lanczos方法目前被认为是求解大型矩阵特征值问题的最有效方法，与子空间迭代法相比，其计算量要少得多。Lanczos变换

选取初始矢量x,并计算

第43页/共69页第四十三页，共70页。

12.动力学问题理论上讲，xi（i=1,2,…,n）是关于M正交的，即定义矩阵满足关系

第44页/共69页第四十四页，共70页。

12.动力学问题经过Lanczos

变换后矩阵成为

三对角阵的证明

第45页/共69页第四十五页，共70页。

12.动力学问题广义特征值方程的变形使用变换

可得方程可见Tn特征根是广义特征根问题的倒数

第46页/共69页第四十六页，共70页。

12.动力学问题由于截断误差Xi并不一定是正交为了计算效率，而且多数情况下，只需计算一部分低阶特征值，因此变换只需进行q(<<n)步，这就是截断的Lanczos变换这样Tq是原问题的子空间，类似于Rayleigh-Ritz法、子空间迭代法。

第47页/共69页第四十七页，共70页。12.动力学问题12.5振型叠加法（ModalSuperposition）（一）固有振型及性质

对于无阻尼的自由振动问题的运动方程为

设有求解方程，得n个固有频率和特征向量其中有限元法基础48第48页/共69页第四十八页，共70页。12.动力学问题

有限元法基础49根据求特征根的方程，有两式分别左乘和后相减，得当不为零时，有固有振型关于M正交第49页/共69页第四十九页，共70页。12.动力学问题

有限元法基础50利用特征向量的正交性，可得定义则有第50页/共69页第五十页，共70页。12.动力学问题

有限元法基础51（二）系统的动力响应1.位移基向量的变换以特征向量表示位移表达式的意义是将q(t)看成线性组合，而看成是广义的位移基向量，xi是广义位移值。代入系统的动力学方程，并利用的正交性质，得初始条件为第51页/共69页第五十一页，共70页。12.动力学问题

有限元法基础52设阻尼为振型阻尼，利用正交性质其中为的i阶振型阻尼比。这样方程解耦，成为每一个方程相当于一个单自由度系统的振动方程第52页/共69页第五十二页，共70页。12.动力学问题

有限元法基础53特例1）设Q(t)可分解为空间函数和时间函数表示如果F(s)与正交，，这表明系统中将不包含响应成分，也就是说Q(s,t)不能激起与F(s)正交的振型。2）第53页/共69页第五十三页，共70页。12.动力学问题

有限元法基础542）如果对作Fourier分析，可得到所包含的各个频率成分及幅值。根据其中应予考虑的最高阶频率可以确定进行积分的最高阶，例如选择。综合起来，通常在实际分析时，求解的单自由度方程数远低于系统的自由度数n。第54页/共69页第五十四页，共70页。12.动力学问题

有限元法基础552.求解单自由度系统振动方程杜哈美积分时将任意激振力分解为为冲量的连续作用，分别求出个系统的响应，然后叠加起来，即ai和bi由初始条件确定。一般杜哈美积分需数值积分计算第55页/共69页第五十五页，共70页。12.动力学问题

有限元法基础563.振型叠加得到系统响应

获得每个振型的响应后，将它们叠加起来，得到系统的响应，即a)b)c)振型迭代法不使用于非线性系统。第56页/共69页第五十六页，共70页。12.动力学问题

有限元法基础573.振型叠加得到系统响应

获得每个振型的响应后，将它们叠加起来，得到系统的响应，即在实际运用中，所取的振型数远小于n，能大大提高计算效率。第57页/共69页第五十七页，共70页。12.动力学问题

有限元法基础58特点a)振型叠加中使用n个单自由度方程求解，应与直接积分的结果一致；b)振型叠加法比直接积分法节省时间，尤其是在选取少量的单自由度方程的情况；c)振型迭代法不使用于非线性系统。第58页/共69页第五十八页，共70页。12.动力学问题12.6减缩系统自由度的方法12.6.1Guyan减缩法Guyan减缩法又称为主从节点法。设节点位移列阵q，分为主自由度qm和从自由度qs两部分，并设ns和nm分别为qs和qm中的个数，有

有限元法基础59第59页/共69页第五十九页，共70页。12.动力学问题12.6减缩系统自由度的方法12.6.1Guyan减缩法Guyan减缩法又称为主从节点法。设节点位移列阵q，分为主自由度qm和从自由度qs两部分，并设ns和nm分别为qs和qm中的个数，有

有限元法基础60第60页/共69页第六十页，共70页。12.动力学问题考虑无阻尼自由振动，方程代入关系式，并右乘，得

有限元法基础61系统方程从n降为nm第61页/共69页第六十一页，共70页。12.动力学问题Guyan法以静力减缩的方式，导出为主自由度qm和从自由度qs关系式，即

有限元法基础62第62页/共69页第六十二页，共70页。12.动力学问题特点1）减缩后的方程，带宽会增加，只有采用较多的从自由度才能给计算带来明显的好处；2）主从自由度关系矩阵使用静力分析中的凝聚原理建立起来；对质量矩阵的减缩实际上是假定将从自由度上的惯性力项按静力等效的原则转移到主自由度上，这只有在从自由度的质量较小、刚度较大，以及频率较低时才合理。

有限元法基础63第63页/共69页第六十三页，共70