广西壮族自治区防城港市企沙镇中学2021年高三数学文下学期期末试题含解析

广西壮族自治区防城港市企沙镇中学2021年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.有四张卡片，每张卡片有两个面，一个面写有一个数字，另一个面写有一个英文字母．现规定：当卡片的一面为字母P时，它的另一面必须是数字2．如图，下面的四张卡片的一个面分别写有P，Q，2，3，为检验此四张卡片是否有违反规定的写法，则必须翻看的牌是（）A．第一张，第三张 B．第一张，第四张C．第二张，第四张 D．第二张，第三张参考答案：B【考点】进行简单的合情推理．【分析】由于题意知，一定要翻看P，而3后面不能是Q，要查3．【解答】解：由于当牌的一面为字母P时，它的另一面必须写数字2，则必须翻看P是否正确，这样2就不用翻看了，3后面不能是Q，要查3．故为了检验如图的4张牌是否有违反规定的写法，翻看第一张，第四张两张牌就够了．故选：B．2.现从已编号（1~50）的50位同学中随机抽取5位以已经他们的数学学习状况，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法所选取的5位同学的编号可能是（

）A．5,10,15,20,25

B．3,13,23,33,43

C．1,2,3,4,5

D．2,10,18,26,34参考答案：B3.执行如图所示的程序框图，若输入x=8，则输出的y值为（

）A．

B．

C.

D．3参考答案：B4.有A、B、C、D、E、F6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个．若卡车甲不能运A箱，卡车乙不能运B箱，此外无其它任何限制；要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为（）A．168 B．84 C．56 D．42参考答案：D【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，分两种情况讨论：①甲运B箱，先从C、D、E、F四箱中取出1箱，由甲运输，再将剩余的四箱中取出2箱由有乙运输，最后剩余的2箱由丙运输，②甲不运B箱，先从C、D、E、F四箱中取出2箱，由甲运输，再计算乙、丙的运输方法，由分步计数原理可得两种情况的分配方案的数目，进而由分类计数原理，将两种情况的数目相加，可得可得答案．【解答】解：根据题意，分两种情况讨论：①甲运B箱，先从C、D、E、F四箱中取出1箱，由甲运输，有C41种方案，再将剩余的四箱中取出2箱由有乙运输，有C42种情况，剩余的2箱由丙运输，有C22种方案；此时有C41?C42?C22种分配方案；②甲不运B箱，先从C、D、E、F四箱中取出2箱，由甲运输，此时乙可选的由3箱，有C32种方案，剩余的2箱由丙运输，有C22种方案，此时有C42?C32?C22种方案；∴不同的分配方案共有C41?C42?C22+C42?C32?C22=42（种），故选D．5.如图，在等腰直角中，设为上靠近点的四等分点，过作的垂线，设为垂线上任一点，则

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略6.若正项递增等比数列{}中满足，则的最小值为A.-2

B.-4

C.2

D.4参考答案：D7.已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，P(1，－2)是C上的点，且y＝x是C的一条渐近线，则C的方程为()参考答案：A略8.设函数的取值范围是（

）

（A）（－1，1）

（B）

（C）（－∞，－2）∪（0，+∞）

（D）（－∞，－1）∪（1，+∞）参考答案：答案：D9.设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，在下列各图中，能表示从集合A到集合B的函数的是()参考答案：D略10.已知是虚数单位，则=

A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和为Sn，若直线y=a1x+m与在y轴上的截距为1的直线x+2y﹣d=0垂直，则数列{}的前100项的和为．参考答案：【考点】8E：数列的求和．【分析】直线y=a1x+m与在y轴上的截距为1的直线x+2y﹣d=0垂直，可得=﹣1，=1，解得a1，d．再利用等差数列的前n项和公式与“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：∵直线y=a1x+m与在y轴上的截距为1的直线x+2y﹣d=0垂直，∴=﹣1，=1，解得a1=2，d=2．∴Sn=2n+=n2+n．∴==．∴数列{}的前100项的和=+…+=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了“裂项求和方法”、等差数列通项公式及其求和公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.对任意非零实数a，6，若“ａｂ的运算原理如下图程序框图所示，则32＝．

参考答案：813.若的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为

．参考答案：40令可得，即，则，分别求出的展开式中的含和和的项的系数分别为，所以展开式中的常数项为40.

14.若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是

．参考答案：15.已知函数f(x)满足：对任意实数x，y，都有成立，且，则

.参考答案：

16.在正三角形ABC的底边BC上取中点M，在与底边BC相邻的两条边BA和CA上分别取点P、Q，若线段PQ对M的张角∠PMQ为锐角，则称点P、Q亲密．若点P、Q在BA、CA上的位置随机均匀分布，则P、Q亲密的概率称为正三角形的亲密度．则正三角形的亲密度为．参考答案：【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】设AB=BC=CA=2，设BP=x，0≤x≤2，过M作PM的垂线，交AC于R，当Q落在线段AR内部及A点上时，P与Q是亲密的，记AR的长度为y=f（x），由PM2+MR2=RP2及余弦定理得y=，由此利用定积分能求出正三角形的亲密度．【解答】解：设AB=BC=CA=2，设BP=x，0≤x≤2，过M作PM的垂线，交AC于R，当Q落在线段AR内部及A点上时，P与Q是亲密的，记AR的长度为y=f（x），由PM2+MR2=RP2及余弦定理得：（x2﹣x+1）+[（2﹣y）2+（2﹣y）+1]=（2﹣x）2﹣（2﹣x）y+y2，整理，得：y=，∴正三角形的亲密度为：==[]=[x﹣ln（x+1）]=．故答案为：．17.设，则二项式的展开式中，项的系数为

参考答案：60略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知平面内一动点到点的距离等于它到直线的距离．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程;（Ⅱ）若直线与曲线交于两点,且,又点,求的最小值．参考答案：（Ⅰ）依题知动点的轨迹是以为焦点,以直线为准线的抛物线,……1分

所以其标准方程为…………4分（Ⅱ）设,则因为,所以即（※）………6分又设直线,代入抛物线的方程得,所以,且…8分也所以,所以（※）式可化为,,即,得,或………10分此时恒成立．,且,所以由二次函数单调性可知,当时,有最小值．………13分19.已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（，），离心率为，点O位坐标原点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过椭圆E的左焦点F作任一条不垂直于坐标轴的直线l，交椭圆E于P，Q两点，记弦PQ的中点为M，过F作PQ的中点为M，过F做PQ的垂线FN交直线OM于点N，证明，点N在一条定直线上．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的离心率求得a2=5b2，将点（，）代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可椭圆方程；（2）设直线方程l，则直线FN：y=﹣（x+2），将直线l代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，根据直线OM方程，求得直线FN和OM的交点N，即可得证．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e===，则a2=5b2，将点（，）代入椭圆，解得：b2=1，a2=5，∴椭圆E的标准方程；（2）证明：由题意可知：直线l的斜率存在，且不为0，y=k（x+2），直线FN：y=﹣（x+2），设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0），则，整理得：（1+5k2）x2+20k2x+20k2﹣5=0，由韦达定理可知：x1+x2=﹣，x1+x2=，则x0==﹣，y0=k（x0+2）=，则直线OM的斜率为kOM==﹣，直线OM：y=﹣x，，解得：，即有k取何值，N的横坐标均为﹣，则点N在一条定直线x=﹣上．20.（本小题满分12分）已知数列是等差数列，（1）判断数列是否是等差数列，并说明理由；（2）如果，试写出数列的通项公式；

（3）在（2）的条件下，若数列得前n项和为，问是否存在这样的实数，使当且仅当时取得最大值。若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。参考答案：21.已知椭圆C：（）的离心率，且椭圆C短轴端点到左焦点的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点Q在轴上并使得QF为∠AQB的平分线，求点Q的坐标；（3）在满足（2）的条件下，记△AQF与△BQF的面积之比为，求的取值范围参考答案：（1）椭圆C的方程为

（2）设直线AB方程为代入得设，则

设Q，有已知得即所以

所以，，即Q（-5,0）

（3）由已知得=

因为

所以∈（0,1）

因此，且

略22.(本小题满分14分)已知函数．（I）当时，求函数的单调区间；（II）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45o，问：m在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？参考答案：

（I）当时，，

……ks5u……2分

令时，解得，所以在（0，1）上单调递增；

……4分

令时，解得