广西壮族自治区钦州市灵山县三隆中学高三数学理下学期期末试卷含解析

广西壮族自治区钦州市灵山县三隆中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则a，b，c的大小关系为(

)A. B.C. D.参考答案：D【分析】根据幂函数的单调性性，得到，再根据对数的运算性质，得到，即可得到答案.【详解】由题意，幂函数在上为单调递增函数，所以，又由对数的运算性质，可得，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了幂函数的单调性，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟练应用幂函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.如图，已知，圆心在上，半径为的圆在时与相切于点，圆沿以的速度匀速向上移动，圆被直线所截上方圆弧长记为，令，则与时间（≤≤，单位：）的函数的图像大致为参考答案：B3.已知实数满足的最小值为3，则的值为

（

）

A．3

B．一3

C．-4

D．4参考答案：A4.已知点表示N除以m余n，例如，，则如图所示的程序框图的功能是（

）A．求被5除余1且被7除余3的最小正整数

B．求被7除余1且被5除余3的最小正整数C.求被5除余1且被7除余3的最小正奇数

D．求被7除余1且被5除余3的最小正奇数参考答案：D5.设集合P={x∈R|（x﹣4）2＜9}，Q={x∈N*|∈N*}，其中N*值正整数集，则P∩Q=（）A．{1，2，3，4，5，6} B．{3，4，6} C．{2，3，4，6} D．{4，6}参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合P和Q，由此能求出P∩Q．【解答】解：∵集合P={x∈R|（x﹣4）2＜9}={x|1＜x＜7}，Q={x∈N*|∈N*}={1，2，3，4，6，12}，∴P∩Q={2，3，4，6}．故选：C．6.在复平面内，复数z=（i为虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数z===i+1对应的点（1，1）位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.已知,(0,π),则=(

)A．1

B．

C．

D．1参考答案：A略8.函数部分图象如图所示，其图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和（Ⅰ）求的解析式及的值；（Ⅱ）在中，、、分别是角、、的对边，若，的面积为，求、的值.参考答案：（Ⅰ）由图可知，．设函数的周期为，则，所以，所以．……………2分此时，．又点在图象上，所以，可得，因为，所以．

……………4分所以的解析式为．

…………………5分[，所以又因为是最小的正数，所以．……………………8分（Ⅱ）由，得，即．，，所以，所以．…10分由，得，①由，得，即，②从而得，③解①③得．………13分【解析】略9.已知，则的大小关系为、

、

、

、参考答案：已知，由指数函数性质易知，又，故选.另：，，亦得.10.已知四棱锥的三视图如图，则四棱锥的全面积为()

A.

B.C.5

D.4参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是______________.

参考答案：3【命题立意】本题考查了程序框图的识别与应用。第一次循环有，第二次循环有，第三次循环有，第四次循环有，第五次循环有，此时不满足条件，输出,12.学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是．参考答案：B【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A，B，C，D分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．【解答】解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B故答案为：B13.随机掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数为m，已知向量=（m，1），=（2﹣m，﹣4），设X=，则X的数学期望E（X）=

．参考答案：4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积运算求出X，再根据m的取值求出X的可能取值，得出对应的概率，写出X的分布列与数学期望．【解答】解：向量=（m，1），=（2﹣m，﹣4），∴=+=（2，﹣3），∴X=?=2m﹣3，又m=1，2，3，4，5，6；∴X=﹣1，1，3，5，7，9；且P（X=﹣1）=P（X=1）=P（X=3）=P（X=5）=P（X=7）=P（X=9）=；∴X的分布列为：X﹣113579P数学期望E（X）=（﹣1+1+3+5+7+9）×=4．14.已知函数,若对任意x∈R，都有f(a+x)=f(a-x)，则=__________.参考答案：答案:015.若圆与圆相交于两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长度是

．参考答案：416.观察下列等式：，，，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈，

；参考答案：17.直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25交于A，B两点，且，则直线l的斜率为．参考答案：±【考点】参数方程化成普通方程．【分析】直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25联立，可得t2+12tcosα+11=0，|AB|=|t1﹣t2|=?（t1+t2）2﹣4t1t2=10，即可得出结论．【解答】解：直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25联立，可得t2+12tcosα+11=0．t1+t2=﹣12cosα，t1t2=11．∴|AB|=|t1﹣t2|=?（t1+t2）2﹣4t1t2=10，?cos2α=，tanα=±，∴直线AB的斜率为±．故答案为±．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆上任一点与左，右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4（+1）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线l1过原点O，直线l2与直线l1相交于点Q，||=1，且l2⊥l1，直线l2与椭圆交于A，B两点，问是否存在这样的直线l2，使?=﹣1成立．若存在，求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由题意，得2a+2c=4（+1），=，求出a，b，c，即可求椭圆的标准方程；（2）分类讨论，根据?=﹣1，||=1进行转化，将直线l2的方程为mx+ny=1代入椭圆方程，利用x1x2+y1y2=0，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得2a+2c=4（+1），=，…∴a=2c=2，b=2．∴椭圆的标准方程为．

…（Ⅱ）假设存在直线l2，使?=﹣1成立．设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），Q（m，n），且m2+n2=1，则直线l1的方程为nx﹣my=0，直线l2的方程为mx+ny=1．（1）当n=0时，此时直线l2的方程为x=±1，可得A（1，），B（1，﹣），代入?=﹣1，不符题意；

…（2）当n≠0时，将直线l2的方程为mx+ny=1与椭圆方程联立，又m2+n2=1，得（1+m2）x2﹣4mx+2﹣8n2=0．

…∴x1+x2=，x1x2=．

…又∵?=﹣1，∴x1x2+y1y2+2=m（x1+x2）+n（y1+y2）．又mx1+ny1=1，mx2+ny2=1∴m（x1+x2）+n（y1+y2）=2．∴x1x2+y1y2=0．

…∴n2x1x2+1+m2x1x2﹣m（x1+x2）=0．∴x1x2+1﹣m（x1+x2）=0．

…∴﹣5n2=0．∴n=0这与n≠0矛盾．

…综上可知，不存在这样的直线l2，使?=﹣1成立．

…（13分）【点评】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，点P（1，）及点A，B在椭圆E上，且+=m（m∈R）．（1）求椭圆E的方程及直线AB的斜率；（2）当△PAB的面积取得最大时，求△PAB的重心坐标．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由离心率公式和点P满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解得a2=4，b2=3，由此能求出椭圆E的方程及直线AB的斜率；（2）设AB的方程为y=﹣x+t，代入椭圆方程得：x2﹣tx+t2﹣3=0，求得△=3（4﹣t2），运用韦达定理和弦长公式求得|AB|，运用点到直线的距离公式可得点P到直线AB的距离为d，求得S△PAB．由此能求出△PAB的最大值和重心坐标．【解答】解：（1）由e==，a2﹣b2=c2，P在椭圆上，可得+=1，解得a2=4，b2=3，椭圆方程为+=1；设A（x1，y1）、B（x2，y2），由+=m，得（x1+x2﹣2，y1+y2﹣3）=m（1，），即，又+y12=1，+y22=1，两式相减得kAB==﹣?=﹣?=﹣；（2）设AB的方程为y=﹣x+t，代入椭圆方程得：x2﹣tx+t2﹣3=0，x1+x2=t，x1x2=t2﹣3，△=3（4﹣t2），|AB|=?=?，点P到直线AB的距离为d=，S△PAB=d|AB|=|2﹣t|?=（﹣2＜t＜2）．令f（t）=3（2﹣t）3（2+t），则f’（t）=﹣12（2﹣t）2（t+1），由f’（t）=0得t=﹣1或2（舍），当﹣2＜t＜﹣1时，f’（t）＞0，当﹣1＜t＜2时f’（t）＜0，所以当t=﹣1时，f（t）有最大值81，即△PAB的面积的最大值是；

根据韦达定理得x1+x2=t=﹣1，而x1+x2=2+m，所以2+m=﹣1，得m=﹣3，于是x1+x2+1=3+m=0，y1+y2+=3++=0，因此△PAB的重心坐标为（0，0）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线斜率的计算，注意运用点差法，考查当△PAB的面积取得最大值时，原点O是△PAB的重心．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．20.在中，角所对的边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）已知，的面积为，求边长的值.参考答案：(1)；(2).试题分析：(1)借助题设条件运用正弦定理求解；(2)借助题设条件运用三角形面积公式及余弦定理求解.试题解析：（1）在中，由正弦定理得：.因为，所以，从而，又，所以，所以.（2）在中，，得.由余弦定理得：，所以.考点：正弦定理和余弦定理等有关知识的综合运用．21.已知函数（a是常数），（1）求函数的单调区间；（2）当时，函数有零点，求a的取值范围．参考答案：1）见解析；（2）或．（1）根据题意可得，当a＝0时，，函数在上是单调递增的，在上是单调递减的．···········································1分当a≠0时，，因为＞0，令，解得x＝0或．·····························3分①当a＞0时，函数在，上有，即，函数单调递减；函数在上有，即，函数单调递增；························4分②当a＜0时，函数在，上有，即，函数单调递增；函数在上有，即，函数单调递减；························5分综上所述，当a＝0时，函数的单调递增区间，递减区间为；当a＞0时，函数的单调递减区间为，，递增区间为；当a＜0时，函数的单调递增区间为，，递减区间为；·······6分（2）①当a＝0时，可得，，故a＝0可以；·········7分②当a＞0时，函数的单调递减区间为，递增区间为，（I）若，解得；可知：时，是增函数，时，是减函数，由，∴在上；解得，所以；·······································10分（II）若，解得；函数在上递增，由，则，解得由，即此时无解，所以；·····························11分③当a＜0时，函数在上递增，类似上面时，此