2022年高考数学圆锥曲线复习题及答案

圆锥曲线复习题

1.如图，点P是抛物线/=4y在第一象限内的动点，过点P作圆M：/+(y-2)2=4的

两条切线，分别交抛物线的准线/于点A,B.

(I)当NAPB=90°时，求点P的坐标；

(II)当点P的横坐标大于4时，求△PAB面积S的最小

【分析】(I)当N4PB=90°时，圆及圆的切线的性质知尸到圆心M(0,2)的距离是

2企，设P(26z2)(r>0),则“+(r2-2)2=8,解得f,即可得出P点坐标.

(II)设P(2f,£)02),切线方程为(x-2f),由于相切，由圆心M到切

4

线的距离等于半径，得2=叱2M-2|,即(4尸,4)乒+4r(2-?)k+t-4尸=0,记PA,

而

PB的斜率分别为h,ki,由韦达定理得A1+火2,心幻，联立切线与准线y=-1,解得XA,

同理可得动，进而可得|AB|,在计算S△以B,结合基本不等式，即可得出答案.

【解答】解：(I)当NAP8=90°时

由圆及圆的切线的性质知P到圆心V(0,2)的距离是2VL

设P(26?)(f>0),则4尸+(？-2)2=8=尸=2,

所以t=0,即P(2混,2).

(II)设尸⑵,?)(t>2),切线方程为y-P=k(x-2r),

BPAx-y+l2-2kt—0,

则由2=*2kt-2|=(牝2-4求2+4tQ-t2)k+t4-4t2=0,

Jl+fc2

记B4,尸8的斜率分别为ki,k2,

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（t2-4）t2

则k]+卜2=~2~k].卜2=

4（t2-l）

由忧”+八2也则T+2„

一

同理得加=+匚+23

K2

所以|AB|=（l+t2）|牛岩

2

所以S=:I明dp&B=j（l+尸）2|$I=|（l+t2）2囱十%二”的

ZZ勺“2N、（卜142）‘

斗1+尸）2,出2）2浮出,

2J（卜也）

将七+七=咛半匕3若然代入，

L—1q（r—ij

得5=雪里L2>4）,

r-4

令尸-4=m>0,

2

则S=2（若）=2（m+得+10）>2（10+10）=40,

当且仅当胆=5即r=3时取等号（即点尸（6,9）,

所以的面积的最小值是40.

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.

2.已知椭圆心各塔=l（a>b>0）的右焦点为F（1,0）,短轴长为2次.

（1）求椭圆「1的方程；

（2）设S为椭圆「1的右顶点，过点F的直线/1与「1交于〃、N两点（均异于S）,直

线MS、NS分别交直线x=4于U、V两点，证明：U、V两点的纵坐标之积为定值，并

求出该定值；

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(3)记以坐标原点为顶点、F(1,0)为焦点的抛物线为「2,如图，过点F的直线与「

2交于A、B两点，点C在「2上，并使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于

点。，且。在尸的右侧，设△AFG、aCOG的面积分别为Si、52,是否存在锐角。，使

得新=(1+易cos。成立？请说明理由.

【分析】(1)由右焦点为尸(1,0),短轴长为26,得b=g,且“2-房=1,解得a,

即可得出答案.

(2)证法1：若直线/I的斜率不存在，则直线dx=l,进而求出M,N点的坐标，写

出直线MS、MS的方程，与x=4联立，解得U,V的坐标，再计算U、V两点的纵坐标

之积.若直线/的斜率存在，则可设M(Xi,yi),NCx2,”)，直线/：y=k(x-1),联

立椭圆的方程，结合韦达定理可得xi+m，XU2,写出直线MS的方程，进而可得U点的

纵坐标，同理可得V点的纵坐标，再计算U、V两点的纵坐标之积，即可得出答案.

证法2：设A/(xi,yi),N(.X2,y2),直线/i的方程为x=)+l,联立椭圆的方程，结合

韦达定理可得yi+”，yi”，写出直线MS方程，进而可得点U的纵坐标，同理可得丫点

的纵坐标，再计算U、V两点的纵坐标之积，即可得出答案.

设M(xi,yi),N(X2,y2),则丫1+丫2=一五3，％”=一式工，

证法3：设U(4,胆)，V(4,〃),写出直线MS的方程为y=华。-2),联立椭圆的方

程，由韦达定理可得2XM=驾雪，得出X”，进而可得”/,同理可得N点的坐标，由

zn'+3

M、F、N三点共线，得肃||薪，化简得m〃=-9,即可得出答案.

证法4：若直线/1的斜率不存在，则直线A：x=l,进而求出M,N点的坐标，写出直线

MS、NS的方程，与x=4联立，解得U,V的坐标，再计算U、V两点的纵坐标之积.若

直线/的斜率存在,则可设M(2cosa,y/3sina),N(2cosfi,宜sin£),这里a,依Z,

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由例、RN三点共线，则检||品，结合三角函数的恒等变换，可tartan。一/，

写出直线MS的方程，可得点U的纵坐标，同理，点V的纵坐标，再计算U、V两点的

纵坐标之积，即可得出答案.

(3)方法1：设A(t2,2f)(f¥0),写出直线AB方程，联立抛物线的方程，结合韦达

,1

定理可得2<m=-4,进而可得8点坐标，由于重心G在x轴上，推出§(y^4-yB4-yc)=0,

即%=%-23进而可得C点，G点坐标，写出直线AC方程，进而可得Q点坐标，计

S,mFGIIyR

算U=~,结合基本不等式，即可得出答案.

S?^QG\\yc\

方法2：设4(耳，2匕)，Bg,2t2),C(tf,2J)，G("0),Q(力，0),由A,R8

三点共线，得kAB=kAF,即同理可得力f3=-巾.由于G为△ABC的重心，

贝U耳=-(力+也)，推出§=史料=空母也2,且巾=-tit3=仔+。12，计算

s、7：\FG\\y\

-1=1------A-，结合基本不等式，即可得出答案.

S21\QG\\yc\

【解答】解：(1)依题意，得b=色,且“2-房=],

\'a>b>0,."=2,

x2y2

.■♦椭圆ri的方程为一+—=1.

43

(2)证法1：

由椭圆「1的方程可知S(2,0).

若直线/1的斜率不存在，则直线/”x=l,

分3，3N(l,-p,

直线MS、NS的方程分别为3x+2y-6=0、3x-2y-6=0,易得U(4,-3),V(4,3),

:.U、V两点的纵坐标之积为3X(-3)=-9.

若直线/的斜率存在，则可设直线/：y=ka-1),

联立椭圆的方程，得(4必+3)8必x+4严-12=0.

设MCxi,yi),N(x2,J2),

9

8k24/c-12

则*1+x=

24必+3,-4k27-+3

,/直线MS的方程为y=卷^(x-2),A点U的纵坐标yu=鸽.

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2y2

同理，点V的纵坐标y-乎。

2y2y2_4Mxi-1）4（》2—1）”.2X/2~~（X1+X2）+1

所以VuVv4k2.

Xi-2X2-2（久「2）（久2—2）X1X2-2（X1+X2）+4

Z

4fc-12_+1

岁+3许—/C2-^1=-9.

Z=4

4k-12_2.+44k’

4k2+34k2+3

综上，u、V两点的纵坐标之积为定值-9.

证法2：设直线/的方程为x=)+l,

联立椭圆的方程，得(3^+4)/+6?>'-9=0.

设MCxi,yi）,N（X2,>2）,

则%+，2=一品'乃乃=一品，

V直线MS的方程为y=悬(x-2),点U的纵坐标=急.

同理，点V的纵坐标％=当.

12-乙

所以2yl2y24yly24yly2

yuVvxl-2才2-2—-12yly2T81+及）+1

）4-（-9）

4G高:—9

“念）T.（一-6?•）+1―-9t2+6t2+3t2+4-

3t2+4'

故U、V两点的纵坐标之积为定值-9.

证法3：由椭圆「I的方程可知S(2,0).

设U(4,m)，V(4,〃)，则直线MS的方程为y=勺(x-2),

由联立椭圆的方程，得(川+3)x2-4m2x+4m2-12=0,

2m2—6

由韦达定理可得2%=噂；;2,即％M

m2+3•

•、._血八，_m.2m2-6_6m

•♦YM-y-2）-^（^-2）--

2+3m2+3f

于是点M的坐标为（驾，-笆亍，

mz+3mz+3

2n2-66n、

同理，点N的坐标为(二

n2+3'E）'

m2-96mT几，2―96n

：.FM=（■：）,FN=C；)

m2+3'~m2+3M+3'~n2+3

：M、F、N三点共线，：.FM||FN,

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,m2-96nn2-96m

故1-x(-——)=——x(-——),

m2+3n2+3n2+3m2+3

化简得mn=-9.

即U、V两点的纵坐标之积为定值-9.

证法4：由椭圆「1的方程可知S(2,0).

若直线/的斜率不存在，则直线/：x=l,

・・・M(L会，N(l,一分

直线MS、NS的方程分别为版+2)，-6=0、3x-2y-6=0.可得U(4,-3),V(4,3),

・・・U、V两点的纵坐标之积为3X(-3)=-9.

若直线/的斜率存在，则可设M(2cosa,V3sina),N(2cos(i,遮sin/?),

这里a,0#匕i,k£Z,

/.FM=(2cosa-1,V3sina),FN=(2cos£-1,V^si印)，

•；M、F、N三点共线，：.FM||FN,故(2cosa-1)x遮sinS=(2cos£-1)xbsina,

a—B

化简整理得2sin(a-p)=sina-sinp,注意到直线/的斜率存在，sin—HO,

于是便有2cos«0=cos化简得tan号tang=­i,

22LL5

又直线MS的方程为y=舄多仁-2),可得点U的纵坐标yu=黑等，

乙LUaLC乙VKJO(XX

同理，点V的纵坐标y^=康段，

所以，vuvv-代sina一百si印一12sin匆os物碟。sg__3_=A=_9.

-cosa—1cosp—14sin2^sin2^tan^tan^

即U、M两点的纵坐标之积为定值-9.

(3)不存在.

理由如下：

显然，抛物线「2的方程为f=4x.

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方法1：设A(r12,2t)(，W0),

则直线AB方程可为x=望y+1,

由可得y2_2（tjl）y_4=0

故2＜那=-4（注：这里）出表示点8的纵坐标，余类似）,

212

・"=-a・,・80,-务

197

;重心G在x轴上，+yB+yc')=0,即2t—=0，，%="-23

进而C(("—t)2,|-2t)1G(驾沁0).

进一步可得直线AC：y-2t^2t(x-?),：.Q(?-1,0),

又。在焦点厂的右侧，1＞1,即户＞2.

12亡4—2/+2

„S］初GHyR产31T,|2G2t4T21

S2|lQG|.|yc|也2一1一吟答H92tlIT仕2-2)+*+4一

11=1+农

2j『2)&+4

当“一2=二一（注意到於＞2）,即d=2+百0寸，取等号，即有电•21+勺（※）.

r-2s22

若存在锐角6,使得?=（1+J）cos。成立，则?=（14-J）cos。＜1+即能＜14-

V3

2

这与（X）矛盾.

因此，不存在锐角。，使得=（1+7T）cos。成立.

S?2

方法2：设4（妤，20）,B（氏2t2）,C（tf,2t3）,G（奉0）,Q（巾，0）,

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2t-i—2to2t-i

VA,F,B三点共线，:.kAB=kAF,即一—即n々=7,

《一七2匕一1

同理可得t\t3=~中，

・.・G为△A8C的重心，・•・A=-（力+加），

=£1±|±£1=2（布铲㈤,且山=_