2023年高等代数知识点总结第三版王萼芳与石生明编

第四章矩阵知识点考点精要一．矩阵及其运算1.矩阵的概念(1）由sｎ个数(ｉ=１,2…s；j＝1，2……n）排成ｎ行n列的数表,称为ｓ行n列矩阵,简记为。（2)矩阵的相等设,,假如m=l,n=k,且，对ｉ=1,2…m;j=1,2……n都成立,则称A与B相等,记A=B。（3)各种特殊矩阵行矩阵，列矩阵,零矩阵,方阵(上)下三角矩阵，对角矩阵,数量矩阵,单位矩阵。２.矩阵的运算(１）矩阵的加法+=运算规律:i）A+B=B＋Ai)（A+B)＋C=A+(B＋Ｃ)ｉii)A+O=Aiv)A＋(－A)=O(3）数与矩阵的乘法运算规律:(k+l）A=kＡ+lA,k（Ａ+B)=ka＋ｋBk（ｌA）=（kl)AlA＝A.(3）矩阵的乘法其中运算规律:i)(AB）C＝A（BC）ｉ)Ａ(Ｂ＋C)=ＡB＋AＣiii)（B+C)A=BA+ＣAiv）k(AB)=A(ｋＢ)=(kA)B一般情况,AＢBＡAＢ=AC,A0Ｂ＝CAＢ=0Ａ=０或B=0(４）矩阵的转置Ａ的转置就是指矩阵运算规律：i)iｉ）iｉｉ)ｉv)（5）方阵的行列式设方阵Ａ的行列式为运算规律:ｉ)iｉ)iii)，这里A，Ｂ均为n级方阵。二．矩阵的逆1.基本概念(1)矩阵可逆的定义n级方阵A称为可逆的，假如有n级方阵Ｂ，使得AB＝BA=E，这里E是单位矩阵。（2)随着矩阵设是矩阵中元素的代数余子式，矩阵称Ａ的随着矩阵。２.基本性质（１）矩阵Ａ可逆的充足必要条件是A非退化(）,而（2）假如矩阵Ａ,B可逆,那么与AB也可逆,且(３)设Ａ是sn矩阵，假如Ｐ是ss可逆矩阵,Q是nn可逆矩阵,那么秩(A）＝秩（PA)=秩（ＡＱ）三．分块矩阵了解分块矩阵的概念及运算，特别是准对角矩阵的性质。对于两个有相同分块的准对角矩阵,假如它们相应的分块是同级的，则（１）(2)（3)（4）A可逆的充要条件是可逆，且此时,四．初等变换与初等方阵１.基本概念（1)初等变换i)用一个非零的数ｋ乘矩阵的第i行(列）记作 ii)互换矩阵中ｉ,j两行（列)的位置,记作iii）将第i行(列）的k倍加到第j行（列）上,记作称为矩阵的三种初等行（列)矩阵。初等行,列变换称为初等变换所得到的矩阵。(2)初等方阵单位矩阵经一次初等变换所得到的矩阵。、2.基本性质（1)对一个sn矩阵A作一次初等行变换就相称于在A的左边乘上相应的ss初等矩阵；对A作一次初等列变换就相称于在A的右边乘上相应的nn初等矩阵。(２）任意一个sｎ矩阵A都与一形式为的等价,它称为矩阵Ａ的标准型,主对角线上1的个数等于A的秩。（3)n级矩阵A为可逆的充足必要条件是，它能表达成一些初等矩阵的乘积。(４）两个sn矩阵Ａ，B等价的充足必要条件是，存在可逆的s级矩阵P与可逆的n级矩阵Q，使B＝PAQ。3.用初等变换求逆矩阵的方法把n级矩阵A,E这两个ｎｎ矩阵凑在一起,得到一个n2n矩阵（ＡE),用初等行变换把它的左边一半化成E，这时,右边的一半就是。第五章二次型知识考点精要1．二次型及其矩阵表达(1）二次型设P是一数域，一个系数在数域P中的的二次齐次多项式称为数域P上的一个n元二次型。（2）二次型矩阵设是数域P上的ｎ元二次型，可写成矩阵形式其中ｘ=,Ａ=。A称为二次型的矩阵。秩（A）称为二次型的秩。(3)矩阵的协议数域P上nn矩阵A，B称为协议的，假如有属于P上可逆的nn矩阵C，使2.标准型及规范性定理数域P上任意一个二次型都可以通过非退化的线性替换化成标准型用矩阵的语言叙述,即数域P上任意一个对称矩阵协议于一个对角矩阵。定理任意一个复系数的二次型通过一适当的非退化的线性替换化成规范型且规范形是唯一的。定理任意一个实系数的二次型通过一适当的非退化的线性替换化成规范型且规范形是唯一的,其中p称为此二次型的正惯性指数，q称为此二次型的负惯指数,２p-q称为此二次型的符号差。3.正定二次型及正定矩阵(1）基本概念i)正定二次型实二次型称为正定的，假如对于任意一组不全为零的实数,都有ii）正定矩阵实对称矩阵A称为正定的,假如二次型正定。iｉi)负定半正定半负定不定的二次型设是一实二次型,对于任意一组不全为零的实数,假如，那么称为负定的;假如都有那么称为半正定的;假如都有,那么称为半负定的；假如它既不是半正定的又不是半负定的，那么就称为不定的。(2)正定二次型，正定矩阵的鉴定对于实二次型=,其中A是实对称的,下列条件等价；i）是正定的，ｉ)A是正定的ｉii)的正惯指数为niv）A与单位矩阵协议v）A的各阶顺序主子式大于零第六章线性空间知识点考点精要一．线性空间1．线性空间的定义设Ｖ是一个非空集合,P是一个数域。在集合Ｖ的元素之间定义了一种代数运算；这就是说,给出了一个法则,对于V中的任意两个元素,在v中都有唯一的一个元素r与它们相应，称为与的和，记为。在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法；这就是说,对于属于P中任意数k与V中任意元素，在V中都有唯一的元素与它们相应，称为k与的数量乘积，记为。假如加法与数量乘法满足下述规则，那么Ｖ称为数域P上的线性空间。(1)(2)(3）在V中有一元素0,对于V中任意元素都有(具有这个性质的元素0称为V的零元素)；(4）对于V中的每一个元素，都有V中的元素，使得（称为的负元素）(5）;(６)（7）（8)２．维数，基与坐标(1）假如在线性空间V中有n个线性无关的向量。但是没有更多数目的线性无关的向量,那么V就称为n维的。假如在V中可以找到任意多个线性无关的向量,那么V就称为无限维的。（2)假如在线性空间V中有n个线性无关的向量，且V中任历来量都可以用它们线性表出，那么V是n维的,而就是Ｖ的一组基。（3)在n维线性空间中,n个线性无关的向量称为Ｖ的一组基。设是V中任历来量，于是，线性相关，因此可以被基唯一的线性表出，其中系数称为在基下的坐标，记(）．3．基变换与坐标变换（1）设与是n维线性空间Ｖ中两组基，假如矩阵称为到基的过度矩阵。（2）设与是n维线性空间V中两组基,由基到基的过度矩阵为A，向量在这两组基下的坐标分别为（）与,则=A。二.线性子空间1．线性子空间(１)数域Ｐ中线性空间Ｖ的一个非空子集合W称为Ｖ的一个线性子空间,假如Ｗ对于Ｖ的两种运算也构成数域P上的线性空间。(2)线性空间V的非空子集W是V的子空间的充足必要条件是W对于V的两种运算封闭。2.子空间的交与和（1）线性空间Ｖ的子空间的交与和,即都是V的子空间。(2)维数公式假如是线性空间V的两个子空间，那么维（)+维()=维(）+维(）3．子空间的直和(1)设是线性空间V的子空间，假如和中的每个向量的分解式,是唯一的,这个和就称为直和，记为。(2)设是线性空间V的子空间,下列这些条件是等价的：i)是直和ii）零向量的表达式是唯一的iｉi）={0}ｉv）维(）＝维（）+维(）。三．线性空间的同构1.数域P上两个线性空间V与称为同构的,假如由Ｖ到有一个1－--１的映上的映射,具有以下性质:(1）（2）其中是V中任意向量，ｋ是P中任意数,这样的映射称为同构映射。2.数域P两个有限维数线性空间同构的充足必要条件是它们有相同维数。第七章线性变换知识点考点精要一.线性变换及其运算1.线性变换的定义线性空间V的的一个变换đ称为线性变换,假如对于V中任意元素和数域P中任意数ｋ,都有đ＝đ(）+đ()đ(K)＝kđ（）2．线性变换的运算设đ,是数域P上线性空间Ｖ的两个线性变换,kP。（１)加法（đ+)（)=đ(）+(）(2）数乘（kđ)(）＝kđ(）（３）乘法(đ）（）=đ（（）)(4)逆变换V的变换đ称为可逆的,假如有V的变换,使đ＝đ＝（V的恒等变换）３．设是数域P上的n维线性空间V的一组基,đ是V中的一个线性变换,基向量的象可以被基线性表出:用矩阵来表达是A（)=()=（）Ａ（1)其中矩阵Ａ称为đ在基下列矩阵。(2）设是数域P上n维向量空间V的一组基,在这组基下,每个线性变换按公式（1）相应一个nn矩阵。这个相应具有以下性质:i)线性变换的和相应于矩阵的和ii)线性变换的乘积相应于矩阵的乘积;iｉi）线性变换的数量乘积相应于矩阵的数量乘积;ｉｖ)可逆的线性变换与可逆矩阵相应,且逆变换相应于逆矩阵。(3）设线性变换đ在基下的矩阵是A,向量在基下的坐标是，则đ在基下的坐标(）可按公式计算。（4)设Ａ,Ｂ为数域P上两个n级矩阵，假如可以找到数域P上的n级可逆矩阵Ｘ，使得,就说A相似于B。(５)线性变换在不同基下所相应的矩阵是相似的;反过来，假如两个矩阵相似，那么它们可以看作同一线性变换在两组基下所相应的矩阵。二.特性值与特性向量1.特性值与特性向量的定义设A是数域P上线性空间Ｖ的一个线性变换，假如对于数域P中一数，存在一非零向量，使得A=,那么称为A的一个特性值,称为A的属于特性值的一个特性向量。2.特性多项式的定义(１）设Ａ是数域P上一个n级矩阵,是一个文字,矩阵Ｅ-A的行列式称为Ａ的特性多项式,这是数域P上的一个ｎ次多项式,则3．特性值与特性向量的性质（１)设是ｎ级矩阵的全体特性值,则(2)属于不同特性值的特性向量是线性无关的。（3)假如是线性变换A的不同的特性值,而是属于特性值的线性无关的特性向量，ｉ=1，２…．.，k那么向量组也线性无关。4.线性变换在某组基下为对角矩阵的条件（1）设A是n维线性空间Ｖ的一个线性变换,A的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充要条件是,A有n个线性无关的特性值。(２)假如在n维线性空间V中的,线性变换A的特性多项式在数域P中有ｎ个不同的根，即Ａ有n个不同的特性值,那么Ａ在某组基下的矩阵是对角矩阵。（3)在负数域上的线性空间中，假如线性变换Ａ的特性多项式没有重跟，那么Ａ在某组基下的矩阵是对角矩阵。三.矩阵的相似1.矩阵相似的定义设A，Ｂ为数域P上两个n级矩阵,假如可以找到数域P上的ｎ级可逆矩阵Ｘ,使得,就说A相似于Ｂ,记为A~B.2.相似矩阵的性质(1）相似矩阵有相同的特性多项式.(2)相似矩阵有相同的最小多项式。四．线性变换的值域与核１．设Ａ是线性空间V的一个线性变换,A的全体象组成的集合称为Ａ的值域，用AV表达。AV是V的子空间，维（AV）称为Ａ的秩,所有被A变成零向量的向量组成的集合称为A的核，记为。是Ｖ的子空间,维()称为A的零度。2.设đ是ｎ维线性空间Ｖ的线性变换,是V的一组基。在这组基下đ的矩阵是A,则（１）đＶ=L（）（2)đ的秩=A的秩3.设A是ｎ维线性空间V的线性变换，则A的秩＋A的零度=ｎ五.不变子空间1.设Ａ是数域Ｐ上线性空间V的线性变换,W是V的子空间,假如Ｗ中的向量在A下的象仍在W中，就称Ｗ是Ａ的不变子空间，简称A-子空间。第九章欧几里得空间知识考点精要一．欧氏空间的基本概念1.设Ｖ是是数域R上一线性空间,在V上定义了一个二元实函数,称为内积,记为,特具有一下性质:(1）；（2）（3）；(4）,当且仅当=０时=0.这里是V中任意的向量，k是任意实数,这样的线性空间V称为欧几里得空间。2.非负实数称为向量的长度，记为。3．非零向量的夹角规定为４.假如向量的内积为零,即,那么称为正交或互相垂直，记为。5.设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基令矩阵称为基的度量矩阵。（1)度量矩阵是正定的;（2）不同基底的度量矩阵是协议的。6.欧氏空间V中一组非零向量,假如它们两两正交，就称为一正交向量组。在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。二．同构1.实数域R上欧氏空间V与称为同构,假如由V到有一个１-１上的映射，适合（1）(2)（3）这里,这样的映射称为V到的同构映射。2.两个有限维欧氏空间同构的充足条件是它们的维数相同。三．正交矩阵1.基本概念（１)n级实数矩阵A称为正交矩阵，假如。(2)欧氏空间V的线性变换A称为正交变换，假如它保持向量的内积不变,即对任意的都有2．重要结论设A是欧氏空间Ｖ的一个线性变换，于是下面4个命题等价:A是正交变换;Ａ保持向量的长度不变，即对于,；假如是标准正交基，那么也是标准正交基;A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。四．正交子空间１.基本概念(1）设是欧氏空间V中两个子空间。假如对于任意的恒有=0,则称为正交的，记。一个向量，假如对于任意的，恒有＝0，则称与子空间正交，记为。(2)子空间称为子空间的一个正交补,假如,并且＝V。2.重要结论（1)假如子空间两两正交，那么和是直和。（2）欧氏空间V的每一个子空间都有唯一的正交补。(３)恰由所有与正交的向量组成。五.对称矩阵的性质1.实对称矩阵的性质（１)实对称矩阵的特性值皆为实数。（2）设Ａ是n级实对称矩阵，则中属于A的不同特性值的特性向量必正交。（3）对于任意一个n级实对称矩阵A，都存在一个n级正交矩阵T，使成对角矩阵。2.对称矩阵(１）设Ａ是欧氏空间Ｖ中的一个线性变换，假如对于任意的，有则称Ａ为对称变换。(2)对称变换的性质ｉ)对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵。ii）设A是对称变换，是A－子空间，则也是A-子空间。iii）设A是ｎ维欧氏空间V中的对称变换，则Ｖ中存在一组由A得特性向量构成的标准正交基。六.向量到子空间的距离,最小二乘法1.长度称为向量和的距离，记为，且(1）=(2），当且仅当时等号成立;（3)(三角不等式)2．实系数线性方程组也许无解,即任何一组实数都也许使不等于零，寻找实数组使上式最小,这样的称为方程组的最小二乘解。3．线性方程组AX=b的最小二乘解即为满足方程组的解第十章双线性函数知识点考点精要一．线性函数1.基本概念ﻩ(1）设V是数域P上的一个线性空间,f是V到Ｐ的一个映射,假如f满足:i）ii)其中是V中任意元素，k是P中任意数，则称ｆ为V上的一个线性函数。（2）设Ｖ是数域P上的一个n维线性空间。V上全体线性函数组成的集合记作Ｌ(V,Ｐ)。用自然数方法定义Ｌ(V，P）中的加法和数量乘法,L（Ｖ,P)称为数域Ｐ上的线性空间,称为V的对偶空间。（3)设数域P上n维线性空间V的一组基为,作V上n个线性函数,使得则为Ｌ(V,P)的一组基，称为的对偶基。２.重要结论(1）设V是Ｐ上一个n维线性空间，是V的一组基，是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f使，。（２)设及是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为及。假如由到的过度矩阵为A，那么由到的过度矩阵为。（３）设V是Ｐ上一个线性空间,是其对偶空间,取定V中一个向量x，定义的一个函数如下：容易验证