E的接触点课件

第三节开集,闭集,完备集第二章点集1.开集、闭集

P0为E的接触点：P0为E的聚点：P0为E的内点：说明：要证E是开集，只要证要证E是闭集，只要证

若Eº=E

,则称E为开集（E中每个点都为内点)若,则称E为闭集（与E紧挨的点不跑到E外）例：开区间(a,b)为开集说明：要证E是开集，只要证abx

证明：任取x∈(a,b),取δ=min{|x-a|,|x-b|},则,从而x是（a,b）的内点，故(a,b)是开集。注：闭集为对极限运算封闭的点集即：A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点利用：p0为E的接触点的充要条件为存在E中点列{pn},使得或p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列{pn},使得若（或）,则称E为闭集。（与E接近的点不跑到E外）

Eº为开集注：Eº为含于E内的最大开集E从而y为E的内点，从而所以x为Eº的内点，即证明：只要证任取，由内点的定义知任取，取

E`为闭集E证明：只要证任取，由聚点的定义知2开集与闭集的对偶性P0为E的接触点：P0为E的聚点：P0为E的内点：P0为E的外点：b.若E为开集，则Ec为闭集;若E为闭集，则Ec为开集。a.

开集的余集是闭集

从而x不是Ec的接触点，也即Ec的接触点一定在Ec内，从而，即Ec为闭集。

证明：设E为开集，即从而闭集的余集是开集证明：设E为闭集，即任取，假如x不是Ec的内点，则x的任一邻域内至少有一个属于E的点，从而x为E的接触点，由Ｅ为闭集可知x在E内，这与矛盾，所以Ec中的点都为Ec的内点，即Ec为开集。闭集的性质a.空集，Rn为闭集；b.任意多个闭集之交仍为闭集；c.有限个闭集之并仍为闭集。注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：En=[0,1-1/n]若E为开集，则Ec为闭集;若E为闭集，则Ec为开集5.隔离性定理及点集间的距离隔离性定理设是中两个互不相交的闭集，证明：存在两个互不相交的开集，使得

注：隔离性定理中“闭集”的条件不能少，如[2，3）和（3，5]点集间的距离

b.若,则d(A,B)=0;反之则不一定成立，如A={n-1/n},B={n+1/n}（都是闭集）c.d(x,B)=0当且仅当

注：a.若x∈B,则d(x,B)=0;反之则不一定成立，如x=0,B=(0,1)定理（距离可达性定理1）：设A为非空闭集，x∈Rn，则必有y∈A,使得d(x,y)=d(x,A)闭集：与E紧挨的点不跑到E外，也即E外的点与E不可能紧挨又Ａ为闭集，故y∈A,对两边关于i取极限即得d(x,y)=d(x,A)证明：由可得定理（距离可达性定理2）：设A,B为非空闭集，且A有界，则必有x∈A,y∈B,使得d(x,y)=d(A,B)由于A有界，故证明：由ABA有界不可少，如A={n-1/n},B={n+1/n}又B为闭集，故y∈B,另外对两边关于j取极限得d(x,y)=d(A,B)又A为闭集，从而x∈A，并可得{yni}有界因为当ni充分大时，

d(x,yni)≤d(x,xni)+d(xni,yni)≤1+(d(A,B)+1/ni）思考两个闭集不相交，下面的结论一定成立吗？上面条件换成有界闭集呢？6.R中有关紧性的两个结论

⑴Bolzano-Weierstrass定理：若E是Rn中的一个有界的无限集，则E至少有一个聚点.

注：对无限维空间不一定成立。⑵Heine-Borel有限覆盖定理

设F为Rn中的有界闭集，若开集簇覆盖F，即，则中存在有限个开集U1，U2，…,Un，它同样覆盖F

注：比较下面几种不同的证法周民强，实变函数p-36尤承业，基础拓扑学p-52熊金城，点集拓扑讲义p-202教材p-42注：Heine-Borel有限覆盖定理的逆命题也成立但在一般的度量空间中，紧集必为有界闭集，而有界闭集不一定为紧集定理：设M是度量空间中的紧集，则M是X中的有界闭集举例说明有界闭集未必是紧集（教材P306例2）可数覆盖定理设F为Rn中一集合，若开集簇覆盖F（即），

则中存在可数个开集U1，U2，…,Un，…，它同样覆盖F

提示：利用空间中以有理点为中心，正有理数为半径的圆全体为可数集，开集中的点都为内点，以及有理点全体在Rn中稠密和有理数全体是R的稠密集7.直线上的开集构造

定义（构成区间）设G为直线上的开集，如果开区间而且端点不属于G，则称为G的构成区间。例如：()(())abcc’d’d

(a,b),(c,d)为构成区间（c’,d’）不是定理：直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的构成区间的并，又当非空开集表示成互不相交的开区间的和集时，这些区间必是构成区间()()()()(⑴直线上的闭集或是全直线，或是从直线上挖去有限个或可数个互不相交的开区间所得之集.开集构造性定理⑵直线上的闭集的孤立点必是其余区间的某两个相邻开区间的公共端点;（4）Rn中的开集一般不能表示成至多可数个互不相交的开区间之并，但总可表示成至多可数个互不相交的半开半闭区间之并，且不唯一.()()()()(（3）（完备集的构造定理）直线上的完备集F或是全直线，或是从直线上去掉有限或可数个互不相交的没有公共端点的开区间而得到的集合8.Cantor集第n次去掉的开区间留下的闭区间12n⑴定义：令称P=[0,1]-G=[0,1]∩Gc为Cantor集⑵Cantor集的性质a.分割点一定在Cantor集中Cantor集P=[0,1]-G=[0,1]∩Gc为闭集注：第n次共去掉2n-1个长为1/3n的开区间b.P的“长度”为0，去掉的区间长度和c.P没有内点()x-εxx+ε第n+1次等分去掉的区间第n次等分留下的区间但由Cantor集的作法知，我们要对继续三等分去掉中间一个开区间，从而内至少有一点不属于P，所以x不可能是P的内点。证明：对任意x∈P,x必含在“去掉手续进行到第n次”时留下的2n个长为1/3n的互不相交的某个闭区间中d.P中的点全为聚点,从而没有孤立点从而x为P的聚点，当然不为孤立点。证明：对任意x∈P，只要证：由Cantor集的作法知而的两个端点定在P中，第n次等分留下的区间()x-δxx+δ数的进位制简介十进制小数相应于对[0,1]十等分二进制小数相应于对[0,1]二等分三进制小数相应于对[0,1]三等分说明：对应[0,1]十等分的端点有两种表示，如0.2000000…0.1999999…（十进制小数）第一次十等分确定第一位小数第二次十等分确定第二位小数e.P的势为（利用二进制，三进制证明）证明思路：把[0,1]区间