湖北省襄州区四校2023届高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线的右焦点为，过点且与轴垂直的直线交两渐近线于两点，与双曲线的其中一个交点为，若，且，则该双曲线的离心率为()A． B． C． D．2．已知函数，集合，，则（）A． B．C． D．3．函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为（）A． B． C． D．4．若的展开式中的系数为150，则（）A．20 B．15 C．10 D．255．已知全集，函数的定义域为，集合，则下列结论正确的是A． B．C． D．6．集合的子集的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．87．已知函数，以下结论正确的个数为（）①当时，函数的图象的对称中心为；②当时，函数在上为单调递减函数；③若函数在上不单调，则；④当时，在上的最大值为1．A．1 B．2 C．3 D．48．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A．72 B．64 C．48 D．329．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率．设胡夫金字塔的高为，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为A． B．C． D．10．已知等差数列的前项和为，，，则（）A．25 B．32 C．35 D．4011．执行下面的程序框图，则输出的值为（）A． B． C． D．12．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列{an}的前n项和为Sn，向量（4，﹣n），（Sn，n+3）.若⊥，则数列{}前2020项和为_____14．在中，角所对的边分别为，为的面积，若，，则的形状为__________，的大小为__________．15．已知关于的方程在区间上恰有两个解，则实数的取值范围是________16．在正方体中，分别为棱的中点，则直线与直线所成角的正切值为_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式，不少商家同时加入多家团购网.现恰有三个团购网站在市开展了团购业务，市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如下图所示.（1）从所调查的50家商家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率；（2）从所调查的50家商家中任取两家，用表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望；（3）将频率视为概率，现从市随机抽取3家已加入团购网站的商家，记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为，试求事件“”的概率.18．（12分）已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.19．（12分）已知.（1）求的单调区间；（2）当时，求证：对于，恒成立；（3）若存在，使得当时，恒有成立，试求的取值范围.20．（12分）（江苏省徐州市高三第一次质量检测数学试题）在平面直角坐标系中，已知平行于轴的动直线交抛物线：于点，点为的焦点.圆心不在轴上的圆与直线，，轴都相切，设的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若直线与曲线相切于点，过且垂直于的直线为，直线，分别与轴相交于点，.当线段的长度最小时，求的值.21．（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点.（1）证明：平面；（2）设是直线上的动点，当点到平面距离最大时，求面与面所成二面角的正弦值.22．（10分）唐诗是中国文学的瑰宝.为了研究计算机上唐诗分类工作中检索关键字的选取，某研究人员将唐诗分成7大类别，并从《全唐诗》48900多篇唐诗中随机抽取了500篇，统计了每个类别及各类别包含“花”、“山”、“帘”字的篇数，得到下表：爱情婚姻咏史怀古边塞战争山水田园交游送别羁旅思乡其他总计篇数100645599917318500含“山”字的篇数5148216948304271含“帘”字的篇数2120073538含“花”字的篇数606141732283160（1）根据上表判断，若从《全唐诗》含“山”字的唐诗中随机抽取一篇，则它属于哪个类别的可能性最大，属于哪个类别的可能性最小，并分别估计该唐诗属于这两个类别的概率；（2）已知检索关键字的选取规则为：①若有超过95%的把握判断“某字”与“某类别”有关系，则“某字”为“某类别”的关键字；②若“某字”被选为“某类别”关键字，则由其对应列联表得到的的观测值越大，排名就越靠前；设“山”“帘”“花”和“爱情婚姻”对应的观测值分别为，，.已知，，请完成下面列联表，并从上述三个字中选出“爱情婚姻”类别的关键字并排名.属于“爱情婚姻”类不属于“爱情婚姻”类总计含“花”字的篇数不含“花”的篇数总计附：，其中.0.050.0250.0103.8415.0246.635

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点，再利用，求出点，因为点在双曲线上，及，代入整理及得，又已知，即可求出离心率．【详解】由题意可知，代入得：，代入双曲线方程整理得：，又因为，即可得到，故选：D．【点睛】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算，离心率问题关键寻求关于，，的方程或不等式，由此计算双曲线的离心率或范围，属于中档题．2、C【解析】

分别求解不等式得到集合,再利用集合的交集定义求解即可.【详解】,，∴．故选C．【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,难度容易.3、B【解析】

根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可.【详解】令，有，所以或.又，所以或或或，所以函数的图象与函数的图象交点的横坐标的和，故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.4、C【解析】

通过二项式展开式的通项分析得到，即得解.【详解】由已知得，故当时，，于是有，则.故选：C【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项和系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5、A【解析】

求函数定义域得集合M，N后，再判断．【详解】由题意，，∴．故选A．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．6、D【解析】

先确定集合中元素的个数，再得子集个数．【详解】由题意，有三个元素，其子集有8个．故选：D．【点睛】本题考查子集的个数问题，含有个元素的集合其子集有个，其中真子集有个．7、C【解析】

逐一分析选项，①根据函数的对称中心判断；②利用导数判断函数的单调性；③先求函数的导数，若满足条件，则极值点必在区间；④利用导数求函数在给定区间的最值.【详解】①为奇函数，其图象的对称中心为原点，根据平移知识，函数的图象的对称中心为，正确．②由题意知．因为当时，，又，所以在上恒成立，所以函数在上为单调递减函数，正确．③由题意知，当时，，此时在上为增函数，不合题意，故．令，解得．因为在上不单调，所以在上有解，需，解得，正确．④令，得．根据函数的单调性，在上的最大值只可能为或．因为，，所以最大值为64，结论错误．故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值，意在考查基本的判断方法，属于基础题型.8、B【解析】

由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。【详解】由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，所以几何体的体积为，故选B。【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。9、D【解析】

设胡夫金字塔的底面边长为，由题可得，所以，该金字塔的侧棱长为，所以需要灯带的总长度约为，故选D．10、C【解析】

设出等差数列的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得．【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，∴，即有．故选：C．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前项和公式的应用，属于容易题．11、D【解析】

根据框图，模拟程序运行，即可求出答案.【详解】运行程序，，

，，，，，结束循环，故输出，故选：D.【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.12、A【解析】

由已知，设．可得．于是可得，进而得出结论．【详解】解：依题意，设．则．，．设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．则，．故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由已知可得•4Sn﹣n（n+3）＝0，可得Sn，n＝1时，a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1.可得：2（）.利用裂项求和方法即可得出.【详解】∵⊥，∴•4Sn﹣n（n+3）＝0，∴Sn，n＝1时，a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1.，满足上式，.∴2（）.∴数列{}前2020项和为2（1）＝2（1）.故答案为：.【点睛】本题考查了向量垂直与数量积的关系、数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.14、等腰三角形【解析】∵∴根据正弦定理可得，即∴∴∴的形状为等腰三角形∵∴∴由余弦定理可得∴，即∵∴故答案为等腰三角形，15、【解析】

先换元，令，将原方程转化为，利用参变分离法转化为研究两函数的图像交点，观察图像，即可求出．【详解】因为关于的方程在区间上恰有两个解，令，所以方程在上只有一解，即有，直线与在的图像有一个交点，由图可知，实数的取值范围是，但是当时，还有一个根，所以此时共有3个根.综上实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查学生运用转化与化归思想的能力，方程有解问题转化成两函数的图像有交点问题，是常见的转化方式．16、【解析】

由中位线定理和正方体性质得，从而作出异面直线所成的角，在三角形中计算可得．【详解】如图，连接，，，∵分别为棱的中点，∴，又正方体中，即是平行四边形，∴，∴，（或其补角）就是直线与直线所成角，是等边三角形，∴＝60°，其正切值为．故答案为：．【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键是根据定义作出异面直线所成的角．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）;（2）从而的分布列为012;（3）.【解析】

（1）运用概率的计算公式求概率分布，再运用数学期望公式进行求解；（2）借助题设条件运用贝努力公式进行分析求解：（1）记所选取额两家商家加入团购网站的数量相等为事件，则，所以他们加入团购网站的数量不相等的概率为.（2）由题，知的可能取值分别为0，1，2，，，从而的分布列为012.（3）所调查的50家商家中加入了两个团购网站的商家有25家，将频率视为概率，则从市中任取一家加入团购网站的商家，他同时加入了两个团购网站的概率为，所以，所以事件“”的概率为.18、(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（1）利用平方法消去参数，即可得到的普通方程，两边同乘以利用即可得的直角坐标方程；（2）设直线的参数方程为（为参数），代入，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义以及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）设直线的参数方程为（为参数）又直线与曲线：存在两个交点，因此.联立直线与曲线：可得则联立直线与曲线：可得，则即19、（1）单调减区间为，单调增区间为；（2）详见解析；（3）.【解析】

试题分析：（1）对函数求导后，利用导数和单调性的关系，可求得函数的单调区间.（2）构造函数，利用导数求得函数在上递减，且，则，故原不等式成立.（3）同（2）构造函数，对分成三类，讨论函数的单调性、极值和最值，由此求得的取值范围.试题解析：（1），当时，.解得．当时，解得．所以单调减区间为，单调增区间为．（2）设，当时，由题意，当时，恒成立．，∴当时，恒成立，单调递减．又，∴当时，恒成立，即．∴对于，恒成立．（3）因为．由（2）知，当时，恒成立，即对于，，不存在满足条件的；当时，对于，，此时．∴，即恒成立，不存在满足条件的；当时，令，可知与符号相同，当时，，，单调递减．∴当时，，即恒成立．综上，的取值范围为．点睛：本题主要考查导数和单调区间，导数与不等式的证明，导数与恒成立问题的求解方法.第一问求函数的单调区间，这是导数问题的基本题型，也是基本功，先求定义域，然后求导，要注意通分和因式分解.二、三两问一个是恒成立问题，一个是存在性问题，要注意取值是最大值还是最小值.20、(1)．(2)见解析.【解析】试题分析：（1）设根据题意得到，化简得到轨迹方程；（2）设，，，，构造函数研究函数的单调性，得到函数的最值.解析：（1）因为抛物线的方程为，所以的坐标为，设，因为圆与轴、直线都相切，平行于轴，所以圆的半径为，点，则直线的方程为，即，所以，又，所以，即，所以的方程为．（2）设，，，由（1）知，点处的切线的斜率存在，由对称性不妨设，由，所以，，所以，，所以．令，，则，由得，由得，所以在区间单调递减，在单调递增，所以当时，取得极小值也是最小值，即取得最小值，此时．点睛：求轨迹方程，一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细.21、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）取中点，连接，根据菱形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；（2）根据面面垂直的判定定理和性质定理，可以确定点到直线的距离即为点到平面的距离，结合垂线段的性质可以确定点到平面的距离最大，最大值为1.以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系.利用空间向量夹角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】（1）证明：取中点，连接，因为四边形为菱形且.所以，因为，所以，又，所以平面，因为平面，所以.同理可证，因为，所以平面.（2）