2015年高考数学易错点点睛与高考突破

专题09圆锥曲线

[2015高考预测】

1.对椭圆相关知识的考查

2.对双曲线相关知识的考查

3.对抛物线相关知识的考查

4.对直线与圆锥曲线相关知识的考查

5.对轨迹问题的考查

6.考察圆锥曲线中的定值与最值问题

7.椭圆

8.双曲线

9.抛物线

10.直线与圆锥曲线

11.轨迹问题

12.圆锥曲线中的定值与最值问题

在近几年的圆锥曲线的考查中抛物线和双曲线考查的较少且难度很小，这与考试说明中A级要求相符

合.预计在2013年的高考题中：

(1)填空题依然是以考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及.

㈡在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的混合问题，难度菽高，还有可能涉及简单的轨迹方程的求

解.

具体有以下几点要重点关注：

(1)圆锥曲线的几何性质，如4,从C,°的几何意义以及离心率的值或范围的求解；

(2)在解答题中出现的简单的直线与椭圆位置关系问题；

(3)以椭圆为背景考查直线方程、圆的方程以及直线和圆的几何特征的综合问题；

(4)在解析几何中综合出现多字母的等式的化简，这类问题难度很高.

【难点突破】

难点1椭圆

1.以椭圆两焦点为直径端点的圆，交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一

个正六边形，那么这个椭圆的离心率等于()

—5.—C.V3-1P.V3+1

A.23

【解析】利用正六边形的性质，求出交点坐标，代入桶扇方程中，可求e.

-12_=1,则(£.更

【答案】C设椭圆方程为病病2

二--三二=：.解得孑=--=73-1.

在桶圆上，乂一2

2.设F1、F2为椭圆的两个焦点，椭圆上有一点P与这两个焦点张成90度的角，且/PF|F2>PF2F],若

V6

椭圆离心率为3,则/PFR：ZPFoF,M)

A.1：5B.1：3C.1：2D.1：1

【解析】求角的比，联想到运白正弦定理，转化为是半径的比，再利用合比性质解三角形.

【答案】A提示：设NPF：F：=e则在中，由正弦定理得:

即—产5_2同+1%」

---..---------.

colzsinasin90cosz+sina

sina+co玄=@=亍=g：sin0+4S)=£「.0<a<4S;a=l£zP9=7&zPzP母｛=1:5.

p_

3.已知一椭圆以抛物线x2=2p(y+§)的准线为下准线，焦点为下焦点，椭圆和抛物线分别与直线x=6)'

在第一象限内交于点A、B,且A为OB的中点(O为原点).

(1)求椭圆的离心率；

(2)若椭圆过点(0,5),求抛物线和椭圆的方程.

【解析】(1)运用桶扇第二定义；([椭圆过点(。，与可求出F，运用定义求出两方程.

t答案】(1)由已知抛物线的准续为丫=^，箧点为坐标原点，所以椭圆的下准线为｝二p，下焦点为原

点0,则点3的坐标是方程组

了=2内+争

了=6的解，由方程组得3y：=2py-p：,即3y：-¥;p：=Q

_P&P_

解之得y：=p，y：=3(舍去).'.3(F:,A.22).

OA

由点A在桶扇上，根据桶圆的第二定义有石=•;也为A到端圆下准线的距离)

牌M、

上j_」=隔，e==

3P，

即得2

)55

口椭圆过点®5),故于了得p=3・..抛物线的方程为x—5(y-3)

52

设Mx,y)为桶圆上任一点，由椭圆下由点为(0,0),下港线为、一一工，离心率为工

4.椭圆的中心是原点O,它的短轴长为2五,相应于焦点F(c,0)(c>0)的准线1与x轴相交于点A,|OF|=2|FA|,

过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.

(1)求椭圆的方程及离心率；

⑵若万•而=0,求直线PQ的方程；

(3)设点=/Q(〉l),过点P且平行于准线1的直线与椭圆相交于另一点M,证明丽=2加.

【解析】(①，设出桶圆的方程，由a、卜.c的关容及03=2，-可求.二)运用设而不求的方法求直线？Q

的斜率；

13)运用向量的坐标，将X、三点表示出来，即可求证.

二_匚

【答案】⑴解：由题意，可设椭扇断弓程为了一下一4.

丁~c*—2.

Ij

,=、__Q

由已知得「"c'解得a=，府，c=2.

_±+£=，加

所以椭圆的方程为离心率1丁.

(2)解:由⑴可得A(3,0).

•X..*—工•厂=.

■62

设直线?Q的方程为y=k(x-3).由方程组'->■=Xx-3)

76V6

3k:-1)x:-1Sk:x-27k:-6=0,依题意△=mk》Q,得•丁<k<丁.

「

设？(X：,y:),Q(x:?y:>则XX2=%2+1,①

，二-6

x；X2=*+1②

由直线？Q的方程得”=k(x：・3),、•二=!：x二・3).干是y：y：=kF:：・3Xx-3)=k：[x：Q3[Xi-xi)-9].③

・.・0?•007：.・.x：x：-yiy==0.④

由①②③④得海=1,从而k=土丁・丁•丁.

所以直线?Q的方程为x-垂y-3=0或x-召-3-0

⑶证明：•犷=(x「3,y：»“0=1x：・3,yj.由已知得

勾-3=A(x?-3).

X=,力：

：1L+2L=1.

62

xjy?5z-1

方程组了—?=.•注意解得x：=b

因F[2,0)、Mix；,•、•：)，故与/=＞：__,-y；＞',..xi-3)-h-y；)=(-：-y;)=-＞.(＞，y:).

A.-1

而布=区-2,y:)=(y:),所以

难点2双曲线

X2_£_

1.双曲线彳丁=1的左右焦点分别为F|、F2、p是双曲线右支上一点，I为△PFF2的内心，PI交x

轴于Q点，若F1QHPF2I，贝也分线段PQ的比为()

3八1八2

-C.一D.-

A.2B223

【解析】利用双曲线的第一定义及三角形内心的性质求得.

【答案】A

PJp/,pp.p

二二一=r2?_又尸©一F，p七一.

设区由内角平分线性质定理知，小七F退*工?

：

又F：?-：F：P=4,/.r:?=^

\444

__-----------------------

-1)

?1Q=^F:?=F-:=r；Q-Or：=?F：-Or:==6,

£

解方程，得，一二舍去：，，忆=2,故I分PQ的比为2选A2.

22

__2L=1

2.设A是双曲线a?贬值＞0,b＞0)的右顶点,P是双曲线上除顶点外的任一点，过A作两渐近线的平

行线分别交直线OP于Q和R两点.

(1)求证：|OP|2=|OQ|-|OR|；

ab

(2)试确定双曲线上是否存在这样的点P,使得AAQR的面积等于彳，如果存在，则求出点P的坐标；

如果不存在，请说明理由.

【解析】⑴联立0?与新近线方程，求出Q、M点坐标，从而可证；(二，反证法，假设存在这样的点

户，利用S1.江Q=S_0AKQ・S_0A?J求出点？的坐标，检脸是否符合条件.

三工

【答案】⑴证明：设？区，”)(，:=>，则直续0P的方程为y=M,且b二x，.a二对=a».

ZA

yU

Iy='X,

1X。A

，.，…(幽.坐.).

由•a得Q点坐标为氏一@。氏/。

f”

|V=ArX.

!/

v=-l(x-a)(.飒噬-).

由！a得R点坐标为加+次蛆+阴

成#金+月一曲Jx：+}?_)滤+工、

:;

/.0Q,0R=%-%蜘+*——-a。-x3-Vo-0?,.

即OP:=OQOR.

仁)假设存在这样的点?，依据双曲线的对称性，可先讨论?在第一家限内的情形.

设P(Myo)(X3>0>y)>0)>VQ>VH.

=

贝IJS-AF.QS_oA?.Q-S-oAF=?aiVQ-y?j

abb-b.

由S-A?<=4:得:「・yf=4:从而y：=2A广2a

.£

所以第一家限内的点?i二~a,入符合条件.

75b直2式金

根据双曲线的对称性，另外还有三个这样的东、？小亍a,D、？(-亍a,二)和？(亍a,二)

3.已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点且两条渐近线与以点A(0拒)为圆心，1

为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称。

(I)求双曲线C的方程；

(II)设直线产mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线1经过M(-2,0)及AB的中点,

求直线1在y轴上的截距b的取值范围；

(H1)若Q是双曲线C上的任一点，F1F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引NF1QF2的平分线

的垂线，垂足为N,试求点N的轨迹方程。

【解析】(1)直接设方程可求；(2)联立方程求出直线二的方程由k的范围从而求出b的范围；(3)

运用相关点法求点X的轨迹方程

【答案】(I)设双曲线C的渐近线方程为、=内，则kx-y-0

...该直线与圆x2-iy-'^)-=1相切，二双曲线C的两条新近线方程为y==x.

,y.

二_二=・

故设双曲线C的方程为『一1,又以曲线C的一个焦点为(0/).

「・2aJ2：a：=l...・双曲线C的方程为x:-y:=l.

y=困+1

(II)由•"->’=：得(1-m：)x--2mx-2=0

令f(x)«(l-m2)x:-2xm-2

直线与双曲线左支交于两点，等价于方程0x)=0在(-r,0)上有两个不等实根.

A>0

—<0

因此•】一"解得

册]]

又AB中点为(匚U.匚裾)・・.直甘.二，程为尸-M+mf{x-2).

"TT2——；―4二

令x=0：得b=--桁.-冽--=4

,/mG(1,、E),

ir

：.-2(m-力二丁e(-2-^,1)

U(2.-x).

(Ill)若Q在双曲线的右支上,则延长QF二到T,使QT=QF：,

若Q在双曲线的左支上，则延长QF倒T,使QT产QFi.

根据双曲线的定义IF：=2,所以点T在以(点，;为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程

是(x-'「)T：=*x=ij)①

由于点、是线段FIT的中点，设、.#、T(x-,.T).

[hxr=2x+^2

则，即「7

走

代人①并整理得点N的轨迹方程为X--r=l.(x=K).

难点3抛物线

1.点0为抛物线y2=4x上任一点，点P(a,0)恒满足|PQ|Na,则a的取值范围是()

A.[-00,0)B.(-a),2]C.[0,2]D.(0,2)

【解析】利用数形结合法或排除法

【答案】A显然把。时，运成立，排除B、C、D.

2.过抛物线x2=4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，PAPB=0

(1)求点P的轨迹方程；

(2)已知点F(0,1),是否存在实数入使得丽•丽+M而)2=0?

若存在，求出A的值，若不存在，请说明理由.

【解析】1.1）运用转移法；[与运用向量的坐标表示的充要条件求出

【答案】

XfXjXX1X;

442

解法L）：⑴设ALX：,）»3（X2,）>|X：=X：）由x：=4y,得丁=;.,.％&=?,k；3=

•/?A?3=0..-.?A!?3.

Xf_X\Xp：x2xxf

直线？A的方程是：y-HFix-x.）即L〒-丁①同理，同线？3的方程是：1亍-=②

；._冲，肛

，_11肛__:

由①②得：4='（X1，X：WR1,

...点?的轨迹方程是y=-：ixGR）.

_正_].史x「x：

（2）由⑴得：三，=（x->'）>与二;x*4-l'>P（2,-1）

行=红*_.互>十），用）：_（一十一：>+M

-,-2）,XiXi--4点,涔=&x二一1%-44T=4-2

所以FA・FB=0,故存在；=1使得或♦铳-Z（钝）二=工

解法（二）：直线？A、？3与抛物线相切，且与疗=L

,二直线？A、？3的斜率埼存在且不为。，且？A_l_?3,设？A的直线方程是y=kx-mEmEN,k=0）

|v=H+冽―,、

、得厂-4tt--4?w=0./.Al5k*+16w=0

由旨=4》

即m=-k:

即直线2A的方程是：v=kx-k：

同理可得直浅?B的方程是:

y=kx-k2

：x=t-l(£R-)

'1

,=--x-

由:二得：‘J=T

故点？的轨迹方程是：.=-i（xek）.

/(次J®-：-之-D

⑵由⑴得：…，

FA=(次M-4或=(-1.^.-1),7?=()t-l--.

7J.73=-4+(Jlr-lX-4-l)=-2-"--；)

(FPY=《一炒：+工=2+(三=.二J故存在­=:使得&•FB+AfTPy=0

3.自点A(O,-1)向抛物线C:y=x2作切线AB,切点为B,且点B在第一象限，再过线段AB的中点M作

直线1与抛物线C交于不同的两点E、F,直线AF、AE分别交抛物线C于P、Q两点。

(I)求切线AB的方程及切点B的坐标；

(II)证明PQ=2ABUeR)

【解析】(1)利用导数求3的坐标；(2)坐标法证明.

【答案】3)由题意可设切线AB的方程为：y-kx-1.、“/

代入y-x:得x1-kx-1=0：二▲=?7=：

•..点5在第一家限，•.切线A3的方程为，:-2x-i.…

・・。・，、・・・、・・・

.y=x-;..y=_x:.y=2：..x=l;..y=x-=l

・・・切点3的坐标为(1,1)

(II)由(I)线段A3的中点7d，0),设直线：的方程为y=mtx?)，

2

点Eg,xF)、F(x2,xf)x?国次〉QCJUJU)

f1

,y=»?(x-4)

**1

由*="得x:-mx--m=O

二•直线：与抛物线C交于不同的两点三、三，二.△=m二・2m>；1.解得m>二或m<0

.'.x；-xi=m;x；xi=-m:

AS=-（山一问:日-xj）=-心XLXd-X3）.

•・・A、？、F共线，/.KAP-KA?

X$+1X*+1、，

----=———X，w+4=X?X*+X;

・・・心町..............

（x：-x：）（x：x：-l>0

V

X1=X：:X1X：=1

同理由A、E、Q共线得XPL=1

.F+XL1，1—冽­

"4M肛g冽

/.PO=（八—x；）（1.2）=.i.iSf.<eR）

难点4直线与圆锥曲线

21-£lAl=i

1.直线产x+3与曲线94的公共点的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【解析】讨论x>C«或工《，再占用数儿话合的方玄.

X..2vX.X"・•

aBH*—■].aX■—■■■■■

【答案】将y-x-3代入94穗4x：.9x、—-7.当史。时，有x-0或§.当x<0时,有心

故应选取C.也可以由数形结合法求得.

’,—3

—+/=1MN=-.

2.过椭圆4-的右焦点F作直线I交椭圆于M、N两点，设2

（I）求直线1的斜率k；

（II）设M、N在椭圆右准线上的射影分别为Mi、Ni，求的值。

【解析】（D运用弦长公式求直线：的斜率k.

利用向量敷量枳公式.

【答案】（I）F（/Q）,：:y=k[x-/）

|x:-r4y:=4

:

由！）=Mx-VL得[[t：lX--o^kx-121-4=0

s底:

设M（X；:y]）sNx〉y9则x.-x；=①

X1X=1+*②

g=\口=J：-K*1_丫：=J]+〒X]尸一二…

-③

3―――一正

把①②代入③，并整理，得三一】+比’，解得、=一丁

(II)设m：与的夹角为u,o<e<J

产,亦2

则由(I)知226

二855=《二武•诟3Z?不^侬5=武—(小弓="

3.已知圆乂/+/-6*+2=06<9)上有四个点A、B、C、D(A、B、C、D顺时针排列)，满足

耗+屈=而且凝•/=石•族,而直线CD的一个方向向量的坐标为(3,1)。

求直线AC及BD的斜率；

如果在x轴上方的A,B两点在一条以原点为顶点，以x轴为对称轴的抛物线匕求抛物线方程及直线

CD的方程。

t.«-

a-2LZ^_

【解析】⑴运用公Etan1十%*七求声旌AC及3D的斜率；

(2)设而不求的方法求抛物线方程.

【答案】(1)•」〜1=.9,•.四边形为平行四边形.

又：四边形A3CD内接彳扇，，四这形A3CD为矩形

由应大=.0".得初YC=Q二和•」.四边形A3CD为正方形.

1

由ND的方向向量坐标是(51)得k：-=3

匕广立=S=•

由NDCA=N3DC=4y得tan4':=!+^*1+^D・一口

解得以：=-1区二=2.

(2)设抛物线方程为y-=2px代入。的方程x:-y--6-<-a=：j得-：--(2p-6)x-a=0(*)

设A(可，炳人

(X：.1p必”其中丸<x»则x>工娓方程「的两个彳等的35根.二xi+x=3-»卬>=2Q=J-卢1J-P===三

3'x「x：,

艮口36=向+正二1S?=X1+X：+^^

即加-3-lOp-OO；AM_LBX,国心M(3,J)

7^M*V^2_.

(x-3x-3)

■1-k^rk3：.r=i^“即¥7^+和广湖+盯)+9=0

(1

,r=-

.•「F总+a-19+6p+9=0②由①:②得口='

••・抛物线方程为F=X,由方程(*)得xEkT

.,.A(l,l)

:・：A3为y・l=31x・l：即x-3y-2»0

'.'CDA3,...设:二为x-3y-t=0:由工(3而到A3、CD的距离相等可求得t=-S,/.CD的方程为x-3y-S<i

fv21

—y==\(a>b>0)的左—

4.已知椭圆C：。b、右焦点分别为Fl、F2，离心率e=2,P］为椭圆上一点，满足

4

尸声•勺尸勺巧•勺尸

22=0,29'斜率为k的直线1过左焦点F］且椭圆的两个交点为P、Q,与y轴交点为

G,点Q分有向线段GFi所成的比为X.

(I)求椭圆C的方程。

(II)设线段PQ中点R在左准线上的射影为H,当1SK2时，求|RH|的取值范围。

【解析】(1)利用桶圆的第一定义与余弦定理求桶圆。的方程；3)由定比分点求式的范围,

从而求四的取值范围.

【答案】⑴设五石/卡：=今/三源区.斗3已为直角三角形且2:三三尸宛:，则r；cosZF；?；F:=r:.

上拓•而=?=工个85月兄已=3=5=；

由9■»

(船_乔="〃海匕=£又"£=(

由24c2一

工、厂7

解得ai=4：b-=3/.MC的方程为丁一丁=.

DIT、.•

Rn=J+----------

(2)可求得3+4?在v=k(x-n中.令x=0;得"k,即得G(0:k),

=匕=三(3六-S十4)

由这下比分点坐标公式-

—<<24-；—<JL¥<3—

显然笛.尸3/-8小4在工2］上述赠，J.--316

难点5轨迹问题

1.设F(2,0),动点P到y轴的距离为d,则满足点P的轨迹方程是y2=8x和y=0(xW0)的一个条件是

()

A.|PF|-d=-2B.|PF|-d=2

C.|PF|-d=-3D.|PF|-d=3

【解析】由抛物线的定义性质可判断.

【答案】当点？在原点时，选择支*£、。均错；也可正面验证3的正确性~

2.已知两点M(-2,0),N(2,0)动点P在y轴上的射影是H,如果尸"・尸"尸”・尸加分别是公比为2的等比

数列的第三、四项，

求动点P的轨迹C；

已知过点N的直线1交曲线C于x轴下方两个不同点A,B,设R为AB的中点，若过R与定点Q(0,

-2)的直线交x轴于点D(xo,0),求X。的取值范围

【解析】(1)由向量坐标运算求动点•'的轨迹%'：生C；('：设直线：的斜率k,运用直线与双曲线的位

置关系求出k的范围，从而求x：的取值范围.

【答案】⑴设？(xsy)贝jH(0v),M=(T，0)r：(Tf->)4=C-x,-})

PH*?H=?X=.v-4+y:,

:;:

2x=x-4-y-:/.?的轨迹方程为：y-x=4ix=

(2)将y=k(x-2)代入y:-x;=4得ik:-l)y:4k\--Sk:=0

^-1=0,

:a>0,="<卜<1

yi+无<0._

依题意6"i=o

lEIk三+k+l.

则A3的中点又为(m：),可得RQ的方程为y-2=F”

-iR

--:;---r、~~VA《-

令y=Q得沏'贝I单调性可得2<X：V2'万-2.

2

3.设xl,x2GR,常数a>0,定义运算”X1®X2=(xi+X2p,定义运算"®"x〕®x2=(xi-x2)

(1)若XNO,求动点P(x,J"。)-*®。)的轨迹C的方程；)

(2)已知直线l:y='x+l与(1)中的轨迹C交于A(X0)①的心)两点，若®*2)+(»®丫2)=8而，试

求a的值；

(3)设P(x,y)是平面上任一点，定义：dl(p尸在轨迹C上是否存在两

点Ai、A2,使其满足d1(Ai尸拒d2(A)(i=l,2),若存在,请求出d|(Ai)+dI(A2)的值;若不存在,请说明理山。

【解析】(1)由条件易求轨迹C的方程；仁)利用弦长公式求a的值；(3)由根与系数的关系解得a

的氾围'从而求出dMA：)-d“A：)的值,

【答案】(1)y=.x+aF-(x-.二应所以yTax(yNO)

2

(2)将y=2x-1代入y二=4ax：得x二-4]l_4a)x-4=0：由

a=16(1-〃)?-16>0.

，电+4—7(1>0彳昂々)全因为

|可肛=4>0/

水肛g4)+G1卜心)=$而".所以”=卜

«八一4厂—4平：=2^5•J：-"尸一]:二I以4=2.

⑶设C上有两点A.(x：y)、AC满足djA.户点d【AJU则

•=亚七一-所以.11%=近7尸.所以父、x：是方程(a-l)x：-2(aYa)x-a*的两根，因为Q0,

X二加X产X:所以

A=4s1+2炉一4（^7炉

解得aG,所以当a>l时存在满足条件的两点，当，上三1时，不存在满足条件的两点，当心1

时（x；-a）（x：-a）=x；x：-atx；-x；）-a：=々一•

r~r~—-丁+4^?

所以,d；:A.）-d：iA：）=[dj.A.）-d：iAi）]=x-x：=

4.设G、M分别为不等边AABC的重心与外心，A(-1,0)、B(1,0),且GM/"AB。

求点C的轨迹E的过程;

若直线L过点(0,1),并与曲线E交于P、Q两点，且满足°P・°Q=°,求直线L的方程。

【解析】(1)由三角形重心与外心的性质求点C的轨迹三的方程；(2)设而不求的方法求直线二的方

K答案】(1)设Cix,yJ则Gt,3,3:其中x,y=Q,设外心(01m)：由于侬=21,则GMAB.

业一厉+专-尸=卜铲

整理得轨迹E的方程是：3x:-y:=3i'7-j).

设L的方程为y=kx-l,代入3x-y：=3.化茴得

(k:-3)x~2kx-2-0

则△=4kT(k：-3)>0,

—5-=—5~~

设P{x.：kx：-l）：Qtx.kx：-l）「x：-x==X+3『+3①

由0?*00-Q（得;1cx.-D[kx：_i）-x：x：=〔L且Mk：T）x：x：-k（x：-x9T=1L

结合①得39=1.则k=-二.故直线二的方程为:

-在

I3x-1.

难点6圆锥曲线中的定值与最值问题

x=2cos，

1.若Fi、F2中二次曲线C：I『=sin9(。为参数)的焦点，P为曲线C上一点，当△PF1F2的面积为

收时，西•布的值为()

【解析】将参数方程化沪警通方里，再运用，质可求.

上-二点n，=理

【答案】3曲线方程为:、=1,设”一田S=沅=一,3代入求得

邛注理

、=丁,不妨取？),有二•怨=T

2.已知。4=(2,0),℃=48=(0,1),动点乂到定直线广1的距离等于£],并且满足

2

OM»AM=k(CM»BM)-df其中。是坐标原点，k是参数。

求动点M的轨迹方程;

2__

当k=”求।而+2而।的最大值与最小值;

(3)如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足乎"‘当，求k的取值范围.

【解析】(1)坐标轨迹法可求；(二)运用坐标运茸转化为二次函数的最值问题；(3)由桶圆的性质及

ahc的关系求k的取值范围.

【答案】⑴设M(x:y),则由。/=(2,0),OC=.1B=(0,D且0是坐标原点，得A(2,0)、B

(211)、C(0>1)>从而°n=(x"),=ir-2,；.'=(x:y-l):区廿"((x-2),y-l),d=y-L,根据

0).1•.tV=«C3/»

得(1-k)x：--k-r，x-F=0为所求轨迹方程，当k=!时，y=0时，动点工的轨迹是直缓当k=0时，动

点的轨迹是一^"b圆；当k>l时，动点的轨迹是一条双曲线；当或kv。时，动点M的轨迹是一

个椭圆.

AOM+2ASI:=(3x-4):+9v:

(2)当k=?时，动点M的轨迹方程是(x-D从而,23?又

_~、一瓦？+iZi7取得最小值年当、=时取得最大值二

由(x・l)-2厂=1得■区在2：所以当x=，时，-

亦<W<01.一尸

(3)由于行丁，所以所求的轨迹是精图-其方程可化为»当0<k<l

::::::::

Hj,:a=l:b=l-k:c=k;e=k:e==k；3«?当k<0时:a=i-kb=l;c=-k:e=^^―工］综合

知k的取值范围是

TRW社

—*—•—*3

OP•P。=1,1OP1=m,S=-m,

3.已知aCIPQ的面积为S,且4以。为中心，P为焦点的椭圆经过点Q。

当me(1,2)时，求l°QI的最大值，并求出此时的椭圆C方程；

在(1)的条件下，过点P的直线1与椭圆C相交于M、N两点，与椭圆C对应于焦点P的准线相交于

D点，而=4丽丽=4丽

请找出加、刖之间的关系，并证明你的结论。

【解析】（1）运用坐标运算转化为函数f（x）=x-X的最值问题；（2）椭圆的第二定义易求得.

【答案】（1）以0为原点，。痢在直线为x轴建立直角坐标系

133

-wv*=—冽n>=z-

则P（m：。）：设Q（x：：y：）油已知S=-4一-

.0P=（也0工P0=（x：—那二g）

由尸0=Mx：-M=］得"='

二±二od=，冽十二.十二

・・・Q（m—冽-2）二一4冽3

工4

令f（n）=m-m:则f*（m）=l-犷

当mW（1,2）时，f，mAO：・・・f（皿在（1,2）上是噌函数,

值工叵

...当m=2：f,°。的最大值为42

此时？（2,0）,桶圆另一焦点为7（-2,。），则椭圆长轴长£a=?Q-7Q=2屈

X*+尸］

a=廊:b：=1Q-46,故桶圆方程为第一女二•

（2）方法二：当直线：与x轴重合时，M（回,0）、N（⑪，。）、D（5,0）

._7-2>A0

1（2-^0r0）=Z1（-Vi0-2,0）=：勺3-

1（5-Mo）=.々（-炳-匕）.=7-诉

这时,产=--

猜想：

设过？（2,0）的直线方程，、7a：x-n

fy=^x-2）

：X：v:得6+5二）x：-20^x+X':：-30=0

-------=1

由.106

设：与椭圆的两交点为M（x：v）、>.x:,y;）

2O.t:20^-30

---------r•XR'=-----------

则x「x：="5k3+52

由题意？、。分“谢比为国的

._X]—?勺―5_-x：)-

+

，2-x:5-x:(2-x:X5-x:)

7(三二)-]三二

s__1=^____=0

(2-x;X5-x:)

故A]-A2=0

方法二：由题意？、D分"的比为

过7、'分别作准线的垂线，垂足分别为：5、N；

._\逐_1“；_XD_.1仪R9-I7

由定比分点的意义及椭圆的定义得：'-K--百--二寸

4.已知如图，A、B为两个定点，且|AB|=2,动点M到A点的距离是4,线段MB

的垂直平分线1交MA于点P,直线k±AB且点B到直线k的距离为3。

求证：点P到点B的距离与到直线K的距离的比为定值。

若点P到A、B两点的距离之积为m,当m取最大值时，求P点的坐标,

若|PAHPB|=1,求4P・P8.

【解析】(1)由椭圆的定义可证；U)运用定义用不等式求最值；(3)由余弦定理及定义求"•尸氏的

值.

【答案】建立直角坐标系，则A(-l,0),3(1,0),直线k:x=4.

V：是NB中垂线，二?A-?3=?A-?M=4,4>A3==.•.点？的轨迹是以A,B为焦点，长轴长为4

2-Z8_2.

的椭园其右准线为k:x=T即x=4,且其离L率为，=寸=；=了故？到3的距离与到盟k距离之比为

审值"

,/?A-PB=4,/.m=?A?B<'-.当且仅当？A=?3时取等号.此时m的最大值为4,?

为桶圆短轴的两个端点，坐标为？(0,/)或？(0.

:PA-P5=1

由PA+PB=-解得?A=5:,?3毛又.但=2,在△口心中，

5，3、1

;—.—.―.—.9

———j—•PSc、w-zZPB、=-二.

54

cosZA?B=-2?

【易错点点睛】

易错点1对椭圆相关知识的考查

1.设椭圆的两个焦点分别为B、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三

角形，则椭圆的离心率是（）

A.—B.立二C.2-V2D.41-\

22

【错误解答】A