固体物理-习题课

习题课一第一章~第三章1.试问如下晶体的基元是什么？布拉菲格子是什么？解：基元布拉菲格子2.试证明六方密堆积结构中(c/a)=(8/3)1/2=1.633。caOAP证：如图示，设原子半径为r，则2r=a；设P为三棱柱中心原子在底面的投影，则P应该为底面三角形的外心，则可求：在ΔOAP中，OA=2r=a所以：(c/a)=(8/3)1/2=1.6333.指出立方晶格(111)面与(100)面，(111)面与(110)面交线的晶向。解：(111)面与(100)面的交线AB将AB平移，A与O点重合B点位矢：(111)面与(100)面交线的晶向：晶向指数：同理可得(111)面与(110)面交线的晶向为：4.如果基矢构成简单正交系，证明晶面族的面间距为：证明：简单正交系：倒格子基矢：倒格子矢量：晶面族的面间距：求证：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。.证明：倒格子定义：体心立方格子原胞基矢：倒格子基矢：同理：可见由为基矢构成的格子为面心立方格子。同理可证面心立方晶格的倒格子是体心立方。6.如图所示，设二维正三角形晶格相邻原子间距为a，试求正格子基矢和倒格子基矢.解：取该二维正三角形晶格中任意相邻的两边为基矢，并使a1

的方向和i的方向相同，于是有：那么有：7.一晶体原胞基矢大小，，，基矢间夹角，，。试求：（1） 倒格子基矢的大小；（2） 正、倒格子原胞的体积；（3） 正格子(210)晶面族的面间距。解：(1)由题意可知，该晶体的原胞基矢为：(2)正格子原胞的体积为：倒格子原胞的体积为：(3)根据倒格子矢量与正格子晶面族的关系可知，正格子(210)晶面族的面间距为：8.试求金刚石结构的几何结构因子,并讨论其消光规律。解：金刚石结构的原胞中含有8个原子，其坐标为(000),(),(0),(0),(0),(),(),().由此可知，其几何结构因子为由于h,k,l

和n都为整数，所以上式中的正弦项为0。于是有:由此可知，当nh,nk和nl奇偶混杂时，即nh,nk和nl不同为奇数或偶数时或者当nh,nk和nl全为偶数，且(其中m为整数)时，有,即出现衍射相消。9.已知半导体GaAs具有闪锌矿结构，Ga和As两原子的最近距离d＝2.45×10-10m。试求：(1)晶格常数；(2)固体物理学原胞基矢和倒格子基矢；(3)密勒指数为(110)晶面族的面间距;(4)密勒指数为(110)和(111)晶面法向方向间的夹角。解：(1)由题意可知，GaAs的晶格为复式面心立方晶格，其原胞包含一个Ga原子和一个As原子，其中Ga原子处于面心立方位置上，而As原子则处于立方单元体对角线上距离Ga原子1/4体对角线长的位置上。由此可知：(2)由于GaAs的空间点阵为面心立方结构，故其固体物理学原胞基矢为：其倒格子基矢为：(3)密勒指数为(110)晶面族的面间距为：(4)根据倒格子矢的性质可知，密勒指数为(110)和(111)晶面法向方向间的夹角即为倒格子矢和之间的夹角，设为，则有：10.设离子晶体中，离子间的互作用势为：求晶体平衡时，离子间总的相互作用势能U(R0).解：设离子总数目为2N，以rij=ajR表示第j个离子到参考离子i的距离，忽略表面效应，则总相互作用势可表示为：式中，为马德隆常数，Z为离子的最近邻数。设平衡时R=R0，由平衡条件：晶体平衡时离子间总的相互作用势能：11.设某晶体每对原子的势能具有以下形式：平衡时，结合能为，试计算A和B以及晶体的有效弹性模量。解：由题意有以下方程成立：把r0,U的具体数值代入上述方程组，即得：根据课件，晶体的总体积可表示为有效弹性模量为：12.若NaCl晶体的马德隆常数=1.75，晶格常数a=5.64，幂指数n=9。晶体拉伸达到稳定极限时，求离子间距增加多少？解：设该NaCl晶体含有N个离子，则其相互作用势能为上式中的r指NaCl晶体中相邻两离子间的距离,又设NaCl晶体处于平衡状态时，相邻两离子间的距离为r0，则有:由平衡条件可知:当晶体拉伸而达到稳定极限时，可以认为体积弹性模量为0，即：将B代入，得：因而离子间距增加了：13.用埃夫琴方法计算包含四个埃夫琴晶胞的二维正方格子(正负两种)格子的马德隆常数。解：埃夫琴晶胞内所有离子的电荷代数和为0.把这些中性晶胞对参考离子的库伦能量的贡献份额加起来就是马德隆常数。二维正方离子晶格的一个埃夫琴晶胞马德隆常数的定义为：正负号分别对应于参考例子相异和相同的离子。二维正方格子(正负两种)格子实际上是个面心正方格子。OO设参考离子O为正离子，位于边棱中点的离子为负离子，他们对晶胞的贡献为4×(1/2),对参考离子库仑能的贡献为：顶角上的离子为正离子，他们对晶胞的贡献为4×(1/4),对参考离子库仑能的贡献为：因此通过一个埃夫琴晶胞算出的马德隆常数为：下面取四个埃夫琴晶胞为考察对象。O这时参考离子O的最近邻和次近邻都在所考虑范围内，他们对库仑能的贡献为：边棱上的离子对库仑能的贡献为：顶角上的离子对库仑能的贡献为：则马德隆常数为：14.计算面心立方简单格子的A6和A12.(1)到最近邻；(2)到次近邻。O222111333解：图中标号为1和2的原子是原子O的近邻和次近邻。面心立方简单格子任一原子有12个最近邻和6个次近邻。(1)只计算最近邻：(2)计算到次近邻：15.若格波的色散关系为和，试导出它们的状态密度表达式。解：格波状态密度函数的一般表达式为：式中表示沿法线方向频率的改变率。当时，将之代入上式可得当时，可得：16.试求质量为m，原子间距为a/2，力常数交错为1,2的一维原子链振动的色散关系。当101=2时,求在q=0和q=处的,并粗略画出色散关系。解：在最近邻近似和简谐近似下，第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程：a2m2β12β12x2n-2

x2n-1

x2nx2n+1

x2n+2

x2n+3

当101=2

时，上述方程组可变为：试探解：线性方程组：令：从A、B有非零解的系数行列式等于零的条件可得q=0：q=：

色散关系曲线如下：原子间的力常数不相等的双原子链的晶格振动色散关系曲线17.在一维双原子链中，原子质量分别为M和m，其弹性系数,若，(1)求证：(2)画出ω与q的关系图（设

）。解：(1)在一维双原子链中，其第2n个原子与第2n+1个原子的运动方程为:试探解：将试探解带入运动方程，可得：从A、B有非零解，方程组的系数行列式等于零的条件出发，可得：可解出得：取“－”号时，有：因为：取“+”号时，有：因为：(2)当时：色散关系：18.在一维双原子链中，原子质量分别为M和m，其弹性系数,若，，。(1)求光学波频率的最大值、最小值及声学波频率的最大值；(2)相应的声子能量是多少eV?(3)这3种声子在300K时各有多少个？(4)如果用电磁波激发光频振动，要激发最大光学频率的声子所用的电磁波长在什么波段？解：(1)光学波频率的最大值和最小值的计算公式分别为：带入各参量，得：声学波频率的最大值的计算公式为：所以有：(2)相应的声子能量为：(3)由于声子属于玻色子，服从玻色-爱因斯坦统计，则有：(4)如用电磁波来激发光频振动，则要激发最大光学频率的声子所用的电磁波长应满足如下关系式：19.假设晶体中传播的横波和纵波速率相等，每个谐振子的零点振动能为，使用德拜模型来求晶体的零点振动能。解：根据量子力学，零点振动能是谐振子所固有的，与温度无关，故0K时振动能E0就是各振动模零点能之和。考虑德拜模型和题意，则：代入E0：一般德拜温度在~102K量级，可见晶体的零点振动能还是相当大的，其量值可与温升数百度所需热量相比拟。20.求一维简单晶格的模式密度g().解：由色散关系的曲线可以看出，d区间对应两个大小相等的波矢区间dq，2/a区间对应L/a个振动模式，单位波矢区间对应有L/2个振动模式。则d范围内包含个振动模式。单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度，根据这一定义可得模式密度为：由色散关系得：所以：21.假设晶体体积为V,根据格林爱森常数和德拜温度的定义式,证明:(1);(2)证明：(1)格林爱森常数的定义式为：