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广东省阳江市阳春永宁中学2022-2023学年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.若曲线与曲线存在公共切线,则的取值范围为
A.
B.
C.
D.参考答案:【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程.B11C
解:曲线在点的切线斜率为,
曲线在点的切线斜率为,存在使得:.
即,求得或2.当时,(舍去);当时,.
∵a>0,∴如果两个曲线存在公共切线,那么,即,故答案为:。【思路点拨】分别求出两个函数的导函数,由两函数在x处的导数相等及函数值相等求得x的值,进一步求得a的取值范围.2.已知,,,则(
)A.
B.
C.
D.参考答案:C3.设向量,是互相垂直的两个单位向量,且|﹣3|=m|+|,则实数m的值为()A. B.± C. D.±参考答案:C【考点】93:向量的模.【分析】首先求出向量,的数量积以及模长,然后对已知等式平方展开,转化为关于m的方程解之.【解答】解:因为向量,是互相垂直的两个单位向量,所以=0,,|﹣3|=m|+|,所以|﹣3|2=m2|+|2,展开得10=2m2,又由题意,m≥0,所以m=;故选C【点评】本题考查了平面向量的运算;利用了向量的平方与其模长平方相等.4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中b=1,=,若A=2B,则△ABC的周长为(
)A.3 B.4 C. D.参考答案:D【分析】由正弦定理化简已知可得b2+c2-a2=bc,利用余弦定理可求cosA=,结合范围A∈(0,π),可求A,根据已知可求B,利用三角形内角和定理可求C,根据正弦定理可求a,c的值,即可得三角形的周长.【详解】∵=,∴由正弦定理可得=,整理可得b2+c2-a2=bc,∴cosA===,∵A∈(0,π),∴A=,∵A=2B,∴B=,C=π-A-B=,∵b=1,∴,解得a=,c=2,∴△ABC的周长为.故选:D.【点睛】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形内角和定理在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属基础题.5.函数的定义域为(
)A.
B.
C.
D.参考答案:D略6.记集合M={x||x|>2},N={x|x2﹣3x≤0},则N∩M=()A.{x|2<x≤3} B.{x|x>0或x<﹣2} C.{x|0≤x<2} D.{x|﹣2<x≤3}参考答案:A【考点】交集及其运算.【分析】分别求出集合M,N,由此利用交集定义能求出N∩M的值.【解答】解:∵集合M={x||x|>2}={x|x>2或x<﹣2},N={x|x2﹣3x≤0}={x|0≤x≤3},∴N∩M={x|2<x≤3}.故选:A.7.“或是假命题”是“非为真命题”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案:A8.已知,则a,b,c的大小关系是A. B. C. D.参考答案:D9.已知,则等于A.0
B.-4
C.-2
D.2参考答案:B10.如右图,在长方体中,=11,=7,=12,一质点从顶点A射向点,遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理),将次到第次反射点之间的线段记为,,将线段竖直放置在同一水平线上,则大致的图形是(
)参考答案:CA(0,0,0),E(4,3,12),(8,6,0),(,7,4),(11,,9),,,,……二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中,所对边分别为,若,则
.参考答案: 12.若,则
参考答案:213.下列命题:①5>4或4>5;②9≥3;③命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题;④命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题.其中假命题的个数为________.参考答案:114.一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的
(填入所有可能的几何体前的编号)①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱.参考答案:①②③⑤【考点】简单空间图形的三视图.【专题】综合题;压轴题.【分析】一个几何体的正视图为一个三角形,由三视图的正视图的作法判断选项.【解答】解:一个几何体的正视图为一个三角形,显然①②⑤正确;③是三棱柱放倒时也正确;④⑥不论怎样放置正视图都不会是三角形;故答案为:①②③⑤【点评】本题考查简单几何体的三视图,考查空间想象能力,是基础题.15.已知点P在曲线y=上,a为曲线在点P处的切线的倾斜角,则a的取值范围是_______.参考答案:略16.已知抛物线的焦点为F,准线与y轴的交点为M,N为抛物线上的一点,且=
.参考答案:略17.若复数(,i为虚数单位)是纯虚数,则实数a=
.参考答案:6为纯虚数,故
三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)=lnx﹣x+a有且只有一个零点,其中a>0.(1)求a的值;(2)若对任意的x∈(1,+∞),有(x+1)f(x)+x2﹣2x+k>0恒成立,求实数k的最小值;(3)设h(x)=f(x)+x﹣1,对任意x1,x2∈(0,+∞)(x1≠x2),证明:不等式恒成立.参考答案:
解答: 解:(1)f′(x)=﹣1,则函数f(x)=lnx﹣x+a在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,则若使函数f(x)=lnx﹣x+a有且只有一个零点,则0﹣1+a=0,解得,a=1;(2)(x+1)f(x)+x2﹣2x+k>0可化为(x+1)(lnx﹣x+1)+x2﹣2x+k>0,即k>2x﹣xlnx﹣lnx﹣1对任意的x∈(1,+∞)恒成立,令g(x)=2x﹣xlnx﹣lnx﹣1,则g′(x)=2﹣lnx﹣1﹣=,令m(x)=x﹣xlnx﹣1,则m′(x)=1﹣lnx﹣1=﹣lnx,∵x∈(1,+∞),∴m′(x)=1﹣lnx﹣1=﹣lnx<0,则m(x)=x﹣xlnx﹣1<1﹣1ln1﹣1=0,则g′(x)<0,则g(x)在(1,+∞)上是减函数,则k>2x﹣xlnx﹣lnx﹣1对任意的x∈(1,+∞)恒成立可化为k≥g(1)=2﹣0﹣0﹣1=1,则k的最小值为1;(3)证明:由题意,h(x)=f(x)+x﹣1=lnx,则对任意x1,x2∈(0,+∞)(x1≠x2),恒成立可化为,对任意x1,x2∈(0,+∞)(x1≠x2),>0恒成立;不妨没x1<x2,则lnx1﹣lnx2<0,则上式可化为(x1+x2)(lnx1﹣lnx2)﹣2(x1﹣x2)<0,令n(x)=(x1+x)(lnx1﹣lnx)﹣2(x1﹣x),则n′(x)=(lnx1﹣lnx)﹣(x1+x)+2=lnx1﹣lnx﹣+1,n″(x)=﹣+=,∵则当x∈(x1,+∞)时,n″(x)<0,则n′(x)在(x1,+∞)上是减函数,则n′(x)<n′(x1)=0,则n(x)在(x1,+∞)上是减函数,则n(x)<n(x1)=0,则(x1+x2)(lnx1﹣lnx2)﹣2(x1﹣x2)<0,故对任意x1,x2∈(0,+∞)(x1≠x2),不等式恒成立.
略19.设对于任意实数x,不等式恒成立, (1)求m的取值范围; (2)当m取最大值时,解关于x的不等式:
参考答案:(1);(2).20.
命题:实数满足(其中);命题:实数满足.(Ⅰ)若,且p∧q为真,求实数的取值范围;(Ⅱ)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.参考答案:(Ⅰ)由x2﹣4ax+3a2<0得(x﹣3a)(x﹣a)<0,又a>0,所以a<x<3a,当a=1时,1<x<3,即p为真时实数x的取值范围是1<x<3.由得解得2<x≤3,即q为真时实数x的取值范围是2<x≤3.若p∧q为真,则p真且q真,所以实数x的取值范围是(2,3).(Ⅱ)由(Ⅰ)知p:a<x<3a,则?p:x≤a或x≥3a,q:2<x≤3,则?q:x≤2或x>3,?p是?q的充分不必要条件,则?p??q,且?q??p,∴解得1<a≤2,故实数a的取值范围是(1,2].21.如图,在三棱锥中,平面,,,D为BC的中点.为上的点,且(1)求证:;(2)若三棱锥的体积为,且为钝角,求直线与平面所成角的正弦值.参考答案:解:(1)平面,是直角三角形,又,,
是的中点,…………3分又D为BC的中点,,…………4分又,,…………5分(2)设,则
解得,又为钝角所以(舍),.…………7分平面ABC,AB=AC,D为BC的中点,…………9分由(1)可知,直线与平面所成角的即是与面所成的角即所求角为…………11分在中,,…………14分略22.在如图所示的几何体ABCDEF中,平面ABCD⊥平面ABEF,四边形ABCD和四边形ABEF都是正方形,且边长为2,Q是AD的中点.(1)求证:直线AE∥平面FQC;(2)求
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