广东省茂名市高州第三高级中学2023年高三数学理联考试卷含解析

广东省茂名市高州第三高级中学2023年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个几何体的三视图及长度数据如图，则该几何体的表面积与体积分别为（

）A、

B、

C、

D、

参考答案：C略2.下列有关命题的说法正确的是（

）A．命题“若，则”的否命题为：“若，则B．“若，则互为相反数”的逆命题为真命题C．命题“∈R，使得”的否定是：“∈R，均有”D．命题“若，则”的逆否命题为真命题参考答案：D3.已知，则下列结论不正确的是(

)A．a2<b2

B．ab<b2

C．

D．|a|+|b|>|a+b|参考答案：D略4.已知双曲线

(a>0，b>0)，若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

(

)A．(1，2)

B．(1，)

C．[2，＋∞)

D．[，＋∞)参考答案：答案：B5.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（

）A．多1斤

B．少1斤

C.多斤

D．少斤参考答案：C6.函数的最小正周期为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B因为，所以最小正周期，故选B．7.已知向量，则的最小值为A.1

B.

C.

D.参考答案：D8.（5分）已知i是虚数单位，是z=1+i的共轭复数，则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：C【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．解：∵z=1+i，=1﹣i，z2=（1+i）2=2i，∴==在复平面内对应的点在第三象限，故选：C．【点评】：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，属于基础题．9.函数的定义域为，则函数的定义域为

(

)A．

B．C．D．参考答案：D10.设全集一艘轮船从O点的正东方向10km处出发，沿直线向O点的正北方向10km处的港口航行，某台风中心在点O，距中心不超过km的位置都会受其影响，且是区间内的一个随机数，则轮船在航行途中会遭受台风影响的概率是A．

B．

C．

D．参考答案：D以原点为圆心，r为半径作圆，易知当时，轮船会遭受台风影响，所以。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知____________参考答案：12.如图所示程序框图中，输出_______________.参考答案：-5513.已知函数,在其图象上点(，)处的切线方程为,则图象上点(-，)处的切线方程为

。参考答案：14.已知直线l：y=x﹣1与曲线相切于点A，则A点坐标为．参考答案：（1，0）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点A（m，n），代入切线的方程和曲线方程，求得函数的导数，求得切线的斜率，化为lnm+m2=1，由f（m）=lnm+m2的导数大于0，且f（1）=0，解方程可得m=1，n=0，进而得到切点的坐标．【解答】解：设切点A（m，n），可得m﹣1=n，=n，y=的导数为y′=，可得=1，即为lnm+m2=1，由f（m）=lnm+m2的导数为+2m＞0，则f（m）递增，且f（1）=1，即有方程lnm+m2=1的解为m=1．可得n=0．即为A（1，0）．故答案为：（1，0）．15.在的展开式中的系数为

．参考答案：160展开式的通项为：，令，所以系数为：故答案为：160

16.若实数a、b、c成等差数列，点P(–1,0)在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N(0,3)，则线段MN长度的最小值是

参考答案：4﹣略17.冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有种．参考答案：150【考点】计数原理的应用．【分析】依题意，可分两类：①（3，1，1）；②（2，2，1）；利用排列组合的知识解决即可．【解答】解：根据题意，分配5名水暖工去3个不同的小区，要求5名水暖工都分配出去，且每个小区都要有人去检查，5人可以分为（2，2，1），（3，1，1），分组方法共有+C53=25种，分别分配到3个不同的小区，有A33种情况，由分步计数原理，可得共25A33=150种不同分配方案，故答案为：150．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为为参数，θ为倾斜角），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，曲线的方程为ρ﹣ρcos2θ﹣4cosθ=0．（1）写出曲线C的直角坐标方程；（2）点Q（a，0），若直线l与曲线C交于A、B两点，求使为定值的值．参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对于关系得出直角坐标方程；（2）把直线l的参数方程代入曲线C的方程，利用根与系数的关系和参数的几何意义化简即可得出结论．【解答】解：（1）∵ρ﹣ρcos2θ﹣4cosθ=0，∴ρ2﹣ρ2cos2θ﹣4ρcosθ=0，∴x2+y2﹣x2﹣4x=0，即y2=4x．（2）把为为参数，θ为倾斜角）代入y2=4x得：sin2θ?t2﹣4cosθ?t﹣4a=0，∴t1+t2=，t1t2=﹣，∴====，∴当a=2时，为定值．19.设函数 （1）当时，求的极值； （2）当时，求的单调区间； （3）当时，对任意的正整数，在区间上总有个数使得成立，试求正整数的最大值。参考答案：解：（1）函数的定义域为

当时，，∴由得随变化如下表：—0+↘极小值↙故，，没有极大值．（2）由题意，令得，若，由得；由得若，①当时，，或，；，②当时，③当时，或,;，综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为单调递增区间为（3）当时，∵，∴

∴，

由题意，恒成立。令，且在上单调递增，，因此，而是正整数，故，所以，时，存在，时，对所有满足题意，∴略20.有一个同学家开了一个奶茶店，他为了研究气温对热奶茶销售杯数的影响，从一季度中随机选取5天，统计出气温与热奶茶销售杯数，如表：气温x(℃)04121927热奶茶销售杯数y15013213010494

（1）求热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程（精确到0.1），若某天的气温为15℃，预测这天热奶茶的销售杯数；（2）从表中的5天中任取一天，若已知所选取该天的热奶茶销售杯数大于120，求所选取该天热奶茶销售杯数大于130的概率.参考数据：，.参考公式：，.参考答案：（1），预测热奶茶的销售杯数117.（1）【分析】（1）由表格中数据计算、，求出回归系数，写出回归方程，利用方程计算x＝15时的值；（2）根据条件概率的计算公式，求出所求的概率值．【详解】解：（1）由表格中数据可得，,.∴.∴∴热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程为.∴当气温为15oC时，由回归方程可以预测热奶茶的销售杯数为(杯)（2）设表示事件“所选取该天的热奶茶销售杯数大于120”，表示事件“所选取该天的热奶茶销售杯数大于130”，则“已知所选取该天的热奶茶销售杯数大于120时，销售杯数大于130”应为事件.∵，∴∴已知所选取该天的热奶茶销售杯数大于120时，销售杯数大于130的概率为.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了条件概率的计算问题，是基础题．

21.（12分）如图，过点的两直线与抛物线相切于A、B两点，AD、BC垂直于直线，垂足分别为D、C．（1）若，求矩形ABCD面积； （2）若，求矩形ABCD面积的最大值．参考答案：22.已知函数，.（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）若不等式对恒成立，求a的取值范围.

参考答案：解：（Ⅰ），，∵的定义域为.①即时，在上递减，在上递