广东省肇庆市高要第一中学2021-2022学年高二数学理模拟试题含解析

广东省肇庆市高要第一中学2021-2022学年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则向量的夹角为（

）

A

B

C

D

参考答案：C2.如图，EFGH是以O为圆心，1为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地掷到圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形HOE（阴影部分）内”，则P（B|A）=

A．

B．

C．

D．参考答案：A略3.设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={2，5}，则B∪（?UA）=（）A．{5} B．{1，2，5} C．{1，2，3，4，5} D．?参考答案：B【考点】1F：补集及其运算；1D：并集及其运算．【分析】先求出?UA，再由集合的并运算求出B∪（?UA）．【解答】解：∵CUA={1，5}∴B∪（?UA）={2，5}∪{1，5}={1，2，5}．故选B．4.已知复数且，则的最小值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略5.的展开式中，含的项的系数（

）

A.74

B.121

C.-74

D.-121参考答案：D略6.设函数f（x）=（1﹣2x）10，则导函数f′（x）的展开式x2项的系数为（）A．1440 B．﹣1440 C．﹣2880 D．2880参考答案：C【考点】DA：二项式定理；63：导数的运算．【分析】先求出导函数f′（x）=﹣20（1﹣2x）9，它的展开式的通项公式为Tr+1=﹣20??（﹣2x）r．令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得函数f′（x）的展开式x2项的系数．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣2x）10，则导函数f′（x）=﹣20（1﹣2x）9，它的展开式的通项公式为Tr+1=﹣20??（﹣2x）r．令r=2可得函数f′（x）的展开式x2项的系数为﹣20××4=﹣2880，故选C．7.已知椭圆的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为()．A．10

B．20

C．2

D．4参考答案：D8.若函数f（x）满足f（x）=x（f′（x）﹣lnx），且f（）=，则ef（ex）＜f′（）+1的解集是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，+∞） C．（0，） D．（，+∞）参考答案：A【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】将函数整理得（）′=，两边积分，求得函数的解析式，求导，求得函数的单调性及f′（），则不等式转化成f（ex）＜=f（）=f（e﹣1），利用函数的单调性即可求得不等式的解集．【解答】解：由f（x）=x（f′（x）﹣lnx），整理得xf′（x）﹣f（x）=xlnx，即（）′=，两边积分==∫lnxd（lnx）=ln2x+C，整理得：f（x）=ln2x+Cx，f（）=，代入求得c=，∴f（x）=ln2x+x，f′（x）=ln2x+lnx+，令lnx=t，t∈R，∴f′（t）=t2+t+=（t+1）2≥0，∴f（x）单调递增，由f（x）=x（f′（x）﹣lnx），f（）=，f′（）=0，由ef（ex）＜f′（）+1，整理得：f（ex）＜=f（）=f（e﹣1），由函数单调性递增，即ex＜e﹣1，由y=ex，单调递增，则x＜﹣1，∴不等式的解集（﹣∞，﹣1），故选A．【点评】本题考查求函数的解析式，不等式的解法，考查求函数的不定积分的应用，考查转换思想，属于难题．9.点()在圆x+y－2y－4=0的内部，则的取值范围是（

）

A．－1<<1

B．0<<1

C．–1<<

D．－<<1参考答案：D10.过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线交椭圆x2+4y2=4于A,B两点,则|AB|的最大值是(

)A.2

B.4

C.3

D.2参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=kx+1，其中实数k随机选自区间[﹣2，1]．对?x∈[0，1]，f（x）≥0的概率是．参考答案：【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，根据题目中所给的条件可求k的范围，区间的长度之比等于要求的概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，∵﹣2≤k≤1，其区间长度是3又∵对?x∈[0，1]，f（x）≥0且f（x）是关于x的一次型函数，在[0，1]上单调∴∴﹣1≤k≤1，其区间长度为2∴P=故答案为：．12.若点P(cosα，sinα)在直线y＝－2x上，则的值为_______参考答案：13.若直线与曲线有公共点，则b的取值范围为

。参考答案：略14.平面∥平面，，，则直线，的位置关系是________。参考答案：略15.空间四边形ABCD的两条对棱AC，BD互相垂直，AC，BD的长分别为8和2，则平行四边形两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，面积的最大值是．参考答案：4【考点】直线与平面平行的性质．【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】假设EFGN是截面四边形，EFGN为平行四边形，设EN=x（0＜x≤2），FE=y（0＜y≤8），xy=S（S为所求面积），利用EN∥BD，可得=1=+，整理可得8=4x+y，利用基本不等式即可解得面积的最大值．【解答】解：如图，假设EFGN是截面四边形，EFGN为平行四边形；设EN=x（0＜x≤2），FE=y（0＜y≤8），xy=S（S为所求面积）；由EN∥BD，可得：=，==，两式相加，得：=1=+，化简，得8=4x+y，可得：8=4x+y≥2，（当且仅当2x=y时等号成立），解得：xy≤4，解得：S=xy≤4．故答案为：4．【点评】本题考查了直线与平面平行的性质，四边形取值范围的求法，是中档题，解题要认真审题，注意空间思维能力的培养．16.下列结论中，正确结论的序号为

①已知M，N均为正数，则“M＞N”是“log2M＞log2N”的充要条件；②如果命题“p或q”是真命题，“非p”是真命题，则q一定是真命题；③若p为：?x＞0，x2+2x﹣2≤0，则￢p为：?x≤0，x2+2x﹣2＞0；④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．参考答案：①②④【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据充要条件的定义和对数函数的性质，可判断①；根据复合命题的真假，可判断②；根据特称命题的否定方法，可判断③；运用原命题的逆否命题，可判断④．【解答】解：对于①，由M，N＞0，函数y=log2x在（0，+∞）递增，可得“M＞N”?“log2M＞log2N”，故①正确；对于②，如果命题“p或q”是真命题，“非p”是真命题，可得P为假命题，q一定是真命题．故②正确；对于③，p为：?x＞0，x2+2x﹣2≤0，则￢p为：?x＞0，x2+2x﹣2＞0．故③不正确；对于④，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．故④正确．故答案为：①②④．17.记等比数列的前项和为，公比,则=

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠APB=90°，点M是线段AB上的一点，且PM⊥CD，AB=BC=2PB=2AD=4BM．（1）证明：面PAB⊥面ABCD；（2）求直线CM与平面PCD所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）只要证明PM⊥面ABCD利用面面垂直的判定定理证明即可；（2）过点M作MH⊥CD，连结HP，得到CD⊥平面PMH进一步得到平面PMH⊥平面PCD；过点M作MN⊥PH，得到∠MCN为直线CM与平面PCD所成角，通过解三角形得到所求．【解答】（1）证明：由AB=2PB=4BM，得PM⊥AB，又因为PM⊥CD，且AB∩CD，所以PM⊥面ABCD，…且PM?面PAB．所以，面PAB⊥面ABCD．…（2）解：过点M作MH⊥CD，连结HP，因为PM⊥CD，且PM∩MH=M，所以CD⊥平面PMH，又由CD?平面PCD，所以平面PMH⊥平面PCD，平面PMH∩平面PCD=PH，过点M作MN⊥PH，即有MN⊥平面PCD，所以∠MCN为直线CM与平面PCD所成角．…在四棱锥P﹣ABCD中，设AB=2t，则，，，∴，，从而，即直线CM与平面PCD所成角的正弦值为．…19.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．（1）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（2）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的对立事件为，该顾客即不习甲商品也不购买乙商品，我们可以利用对立事件概率减法公式求解．（2）确定ξ的取值，求出相应的概率，我们列出ξ的分布列，计算后代入期望公式即可得到数学期望．【解答】解：（1）进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的对立事件为，该顾客即不习甲商品也不购买乙商品，则p=1﹣（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.8；（2）ξ的取值有0、1、2、3，则p（ξ=0）=（1﹣0.8）3=0.008，，，p（ξ=3）=0.83=0.512，故分布列为ξ0123p0.0080.0960.3840.512E（ξ）=3×0.8=2.4．20.（12分）已知在处取得极值，且在点处的切线斜率为.⑴求的单调增区间；⑵若关于的方程在区间上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.参考答案：解：⑴

;由题意，得,由得;的单调增区间是⑵由⑴知;;令;则,由得;当变化时，的变化情况如下表：

0+

极小值

当时，关于的方程在区间上恰有两个不相等的实数根的充要条件是,

21.平面直角坐标系xoy中，直线x﹣y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．参考答案：【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质．【分析】（1）求出O点到直线x﹣y+1=0的距离，进而可求圆O的半径，即可得到圆O的方程；（2）设直线l的方程，利用直线l与圆O相切，及基本不等式，可求DE长最小时，直线l的方程；（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），，，求出直线MP、NP分别与x轴的交点，进而可求mn的值．【解答】解：（1）因为O点到直线x﹣y+1=0的距离为，所以圆O的半径为，故圆O的方程为x2+y2=2．