广东省珠海市海岛中学2023年高二数学文月考试题含解析

广东省珠海市海岛中学2023年高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的体积为（）A．π B．4π C． D．参考答案：D【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体是三棱锥，结合棱锥的几何特征，求出外接球的半径，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：由三视图可知该几何体是三棱锥，且三棱锥的高为1，底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等则三棱锥的外接球半径R为1，则三棱锥的外接球体积V==，故选：D2.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离是（）A． B． C．1 D．参考答案：B【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点F（1，0）．由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为y=±x，化成一般式得：，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离．【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x∴2p=4，可得=1，抛物线的焦点F（1，0）又∵双曲线的方程为∴a2=1且b2=3，可得a=1且b=，双曲线的渐近线方程为y=±，即y=±x，化成一般式得：．因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==故选：B【点评】本题给出抛物线方程与双曲线方程，求抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离，着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．3.若函数f(x)＝(a＞0)在[1,+∞)上的最大值为，则a的值为()A.＋1 B. C. D.－1参考答案：D【分析】先由题，对函数进行求导，讨论a的取值研究在[1，＋∞]的最值，反解求得a的值.【详解】，当x＞或时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当＜x＜时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，若时，当x＝时取最大值，此时f(x)＝＜1，不合题意．若时，此时f(x)max＝f(1)＝－1，故选：D.【点睛】本题考查了导函数的应用，理解单调性和极值以及掌握好分类讨论是解题关键，属于中档题.4.已知随机变量服从正态分布，且，则（

）A

B

C

D

参考答案：C略5.函数的定义域为A、

B、

C、

D、参考答案：C6.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数即为“同族函数”．请你找出下面哪个函数解析式也能够被用来构造“同族函数”的是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略7.设集合A={}，集合B={}，则(

)A．B．C．D．参考答案：BA==，B=，故选B；8.投掷两粒均匀的骰子，则出现两个5点的概率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】根据题意，分析可得两个骰子的点数情况，由概率计算公式计算可得答案．【解答】解：投掷两个均匀的骰子，两个骰子的点数有6×6=36种情况，而出现两个5点是其中一种情况，则出现两个5点的概率为；故选A．9.在复平面内，复数对应的点位于（

）（A）第一象限

（B）第二象限

（C）第三象限

（D）第四象限参考答案：A10.直线与抛物线有且只有一个公共点，则的值为（

）A.0

B.1或3

C.0或3

D.1或0参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知=2，=3，=4，…若=6，（a，t均为正实数），则类比以上等式，可推测a，t的值，a+t=

．参考答案：41【考点】类比推理．【分析】观察所给的等式，等号右边是，，…第n个应该是，左边的式子，写出结果．【解答】解：观察下列等式=2，=3，=4，…照此规律，第5个等式中：a=6，t=a2﹣1=35a+t=41．故答案为：41．12.根据数列{an}的首项a1=1，和递推关系an=2an﹣1+1，探求其通项公式为____．参考答案：；13.．设正实数满足，则当取得最大值时，的值为

▲

．参考答案：3略14.已知，且满足，则的最大值为___________.参考答案：3略15.已知函数是定义在R上的最小正周期为3的奇函数，当时，，则

。参考答案：-116.设函数，，数列满足，则数列的前n项和等于

参考答案：17.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_________.参考答案：a<0.略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知曲线C上的动点P（）满足到定点A(-1,0)的距离与到定点B（1,0）距离之比为．(1)求曲线C的方程．(2)过点M(1,2)的直线与曲线C交于两点M、N，若|MN|=4，求直线的方程．参考答案：解：（1）由题意得|PA|=|PB|

故

化简得：（或）即为所求。（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，将代入方程得，所以|MN|=4，满足题意。

当直线的斜率存在时，设直线的方程为+2由圆心到直线的距离 解得，此时直线的方程为综上所述，满足题意的直线的方程为：或。略19.已知正方形的边长为2，．将正方形沿对角线折起，使，得到三棱锥，如图所示．

（1）当时，求证：；（2）当二面角的大小为时，求二面角的正切值．

参考答案：（1）证明：根据题意，在中，，，所以，所以．因为是正方形的对角线，所以．因为，所以．（2）解法1：由（1）知，，如图，以为原点，，所在的直线分别为轴,轴建立如图的空间直角坐标系，

所以二面角的正切值为．略20.参考答案：21.已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》．活动共有四关，若四关都闯过，则闯关成功，否则落水失败．设男生闯过一至四关的概率依次是，，，，女生闯过一至四关的概率依次是，，，．（Ⅰ）求男生甲闯关失败的概率；（Ⅱ）设X表示四人冲关小组闯关成功的人数，求随机变量X的分布列和期望．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用对立事件计算“男生甲闯关失败”的概率；（Ⅱ）计算“一位女生闯关成功”的概率，得出变量X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．【解答】解：（Ⅰ）记“男生甲闯关失败”为事件A，则“男生甲闯关成功”为事件，∴P（A）=1﹣P（）=1﹣×××=1﹣=；（Ⅱ）记“一位女生闯关成功”为事件B，则P（B）=×××=，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4；且P（X=0）=×=，P（X=1）=???+???=，P（X=3）=???+???=，P（X=4）=×=，P（X=2）=1﹣=；∴X的分布列为：X01234P∴数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×+4×=．22.（12分）如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，设小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？最大值为多少？参考答案：

考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题．分析：设小正方形的边长为xcm，则盒子容积为：y=（8﹣2x）?（5﹣2x）?x为三次函数，用求导法，可得x=1时，函数y取得最大值，此时盒子容积最大．解答：解：设小正方形的边长为xcm，则x∈（0，）；盒子容积为：y=（8﹣2x）?（5﹣2x）?x=4x3﹣26x2+40x，对y求导，得y′=12x2﹣52x+40，令y