镇江市网络同步助学平台专家系列讲座课件

镇江市网络同步助学平台专家系列讲座九年级数学

同学们,当老师提问或请同学们练习时，你可以按播放器上的暂停键思考或练习，然后再点击播放键.圆的进一步认识

单位：镇江市第十中学主讲：姚凌云课题

审稿：镇江市京口区教研室邬一文学习目标学习目标

1、理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角、圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征2、了解圆的对称性，会用垂径定理进行简单的计算和证明3、了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系4、了解三角形的内心和外心5、了解切线的概念，会利用切线的性质和判定解决问题，会过圆上一点画圆的切线。6、会计算弧长和扇形的面积以及圆锥的侧面积和全面积一、圆的定义知识回顾1（2）从集合观点定义在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点P运动所形成的图形叫做圆。定点O叫做圆心。线段OP叫做圆的半径。（1）描述性定义圆可以看作是平面内到定点距离等于定长的点的集合，定点为圆心，定长为半径。圆是中心对称图形，二、圆的对称性中心对称性旋转不变性弧、弦、圆心角这三组量之间的对应关系轴对称性垂径定理旋转折叠1、圆有旋转不变性（即圆绕圆心旋转任何角度后，仍能与原来的圆重合），2、圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。每条直径都是圆的对称轴？×图形的对称轴是直线，而直径是线段。每条直径所在的直线都是圆的对称轴圆心是对称中心。知识回顾2垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。（二）垂径定理MN注意：

（1）这里的垂径可以是直径、半径、过圆心的直线或线段。

（2）条件中的“弦”可以为直径，结论中的“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，又意味着平分弦所对的优弧。下列说法正确吗？×如图，若弦为直径MN，两条直径本身就互相平分，但不一定垂直。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。这个命题这样改是正确的：三、圆周角的性质①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。②直径（或半圆）所对的圆周角是直角，

90°的圆周角所对的弦是直径。知识回顾31、2、×圆周角等于圆心角的一半。相等的圆周角所对的弧相等。×辨一辨特别提示：不能忽略“同圆或等圆中的同弧或等弧”这个基本前提，不能简单表述成“圆周角等于圆心角的一半”。特别提示：将性质1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，则结论不一定成立。

在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补。3、同弦或等弦所对的圆周角相等。同一条弦所对的圆周角有两种，如图∠ACB和∠ADB都是弦AB所对的圆周角，但并不相等，且∠ACB＋∠ADB=180°×辨一辨2、直线和圆的位置关系直线与圆的位置关系圆心与直线的距离d与圆的半径r的关系直线名称直线与圆的交点个数相离相切相交●ldrd﹥r——0d=r切线1d﹤r割线23、切线的判定与性质1.定义法：和圆有唯一的一个公共点2.距离法：d=r3.判定定理：过半径的外端且垂直于半径（2）切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径切线长的性质：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这点与圆心的连线平分两切线的夹角（1）切线的判定一般有三种方法：外离外切相交内切内含01210d>R+rd=R+rR-r<d<R+rd=R-rd<R-r公共点圆心距和半径的关系两圆位置一圆在另一圆的外部一圆在另一圆的外部两圆相交一圆在另一圆的内部一圆在另一圆的内部名称4、圆与圆的位置关系内含相交外离R＋r外切R－r内切02、与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。如图，⊙O是△ABC的内切圆，△ABC是⊙O的外切三角形，点O是△ABC的内心。三角形的内心是的交点

三角形三条角平分线弧长和扇形的面积弧长的计算公式为：

=·2r=扇形的面积公式为：

S=因此扇形面积的计算公式为S=或S=r弧知识回顾6圆锥的侧面积和全面积S圆锥侧=S扇形=·2πr·l=πrl圆锥的侧面扇形展开母线半径底面周长弧长

S圆锥全=S圆锥侧＋S圆锥底面

=πrl＋πr2

llh圆锥的侧面扇形展开母线半径底面周长弧长知识回顾7变式:如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若CD=6，BE=1，则AB=

。注意：连接OC后无法利用勾股定理直接求出半径那该怎么办呢？设半径OC=x，则OE=x-1，利用勾股定理列出方程即可求解分析：求直径，先求半径。连接OC，解：连接OC，∵OB⊥CD于点E∴CE=DE=CD=3，设半径OC=x，则OE=x-1，在Rt△OEC中根据勾股定理得OE2+CE2=OC2，（x-1）2+32=x2

解得x=5，∴AB=2OC=10一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（）

A．0.4米 B．0.5米 C．0.8米 D．1米O实际应用ABCDD分析：有水部分水面宽就是弦AB的长，过点O作AB的垂线，垂足为点D，CD长就是最深处水深，将此实际问题转化为数学问题，就是已知弦长AB和弓高CD，求半径。试一试吧！及时反馈1及时反馈1、高速公路的隧道和桥梁最多．图7是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径=（

）A．5B．7C．D．OCBADD4.在半径为2的⊙O中，弦AB的长为,则弦AB所对的圆心角∠AOB的度数是___.90°典型例题三:运用垂径定理、圆周角定理等证明典型例题例2、如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，A是BP的中点，连结PB交AD于点E．求证：AE＝EB自己试一试(思路分析1：欲求AE＝EB，只需说明∠ABE=∠BAE，其中∠ABE是AP所对的圆周角，而由条件可知，AB=AP，因此只需找出AB所对的圆周角是否与∠ABE相等即可，((((而构造AB所对的圆周角，需连接AC，此时恰好构造了直径BC所对的圆周角∠ACB(H思路分析2：欲求AE＝EB，只需说明∠ABE=∠BAE，其中∠ABE对着AP，只需找出∠BAE所对的弧与AP是否相等即可。((延长AD交圆于H，利用圆的对称性可得AB=BH，从而得到BH=AP,则问题得解。((((H解法2：延长AD交圆于H∵AB是直径，CD⊥AB∴AB=HB∵点A是BP的中点，∴AB=AP∴BH=AP∴∠ABE=∠BAE((((((

方法归纳（1）有关圆的题目，圆周角与它所对的弧常相互转化，即欲证圆周角相等，可转化为证“圆周角所对的弧相等”的问题来解决；弧相等的条件可转化为它们所对的圆周角相等的结论。这是一种重要的解题思路。（2）在已知条件下，若有与半径或直径垂直的线段，常延长此线段与圆相交，这样可利用“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧”的性质得线段相等、弧相等。及时反馈2及时反馈1、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA=25°，则∠ABD=

。2、如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，E是AD上一点，且AE＝EB

，延长BE交圆于点P．求证：AB=AP（（25°典型例题类型三：切线的性质和判定典型例题四:切线的性质和判定例3、已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC.求证：(1)BC平分∠PBD；

(2)BC2=AB·BD分析（1）连接OC，有切线性质得OC⊥PD，则有OC∥BD，证明∠OBC=∠OCB=∠CBD即可。（2）将等积式化成比例式，证明△ACB∽△CDB即可。BCABBDBC=连接AC，解（1）连接OC，∵PD切⊙O于点C∴OC⊥PD∵BD⊥PD∴OC∥BD∴∠OCB=∠CBD∵OC=OB∴∠OBC=∠OCB∴∠OBC=∠CBD即BC平分∠PBD（2）连接AC∵AB是⊙O的直径∴∠CBD=90°∵CD⊥PD∴∠D=90°∵∠ABC=∠CBD∴△ACB∽△CDB∴BCABBDBC=∴BC2=AB·BD反思提升1、遇到有关圆的切线问题，往往连接过切点的半径，这是常见的添加辅助线方法。2、由于“同圆中半径相等”，因此在圆中作圆的半径，构造等腰三角形，把圆的问题转化为三角形问题。3、证明等积式，往往化成比例式，寻找或构造相似三角形变式：如图，已知AB是⊙O的直径，AC平分∠DAB交⊙O于点C，AD⊥DC．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AD＝2，AC＝4，求AB的长．分析（1）连接OC，只需证OC⊥CD即可，通过证明∠OAC=∠OCA=∠CAD则有OC∥AD即可。解（1）连接OC，∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∵AC平分∠DAB∴∠DAC=∠BAC∴∠DAC=∠OCA∴OC∥AD∵AD⊥CD∴OC⊥DC∴CD是⊙O的切线（2）连接BC∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°∵AD⊥CD∴∠ADC=90°∵∠DAC=∠CAB∴△ACD∽△ABC∴ADACACAB=∴AC2=AB·AD∵AD＝2，AC＝4∴AB=8及时反馈及时反馈32、如图，∠PAQ是直角，⊙O与AP相切于点T，与AQ交于B、C两点.BT是否平分∠OBA？说明你的理由；(2)若已知AT＝4，弦BC＝6，试求⊙O的半径R.1、如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC.求证：△BAD∽△CED；求证：DE是⊙O的切线.（1）∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°∵点D是BC的中点∴AD是BC的垂直平分线∴AB=AC∴∠B=∠C∵DE⊥AC∴∠DEC=90°∴∠ADB=∠DEC∴△ADB∽△DEC1、解：（2）连接OD，∵OD=OB∴∠ODB=∠OBD∵DE⊥AC∴∠C+∠CDE=90°∵∠B=∠C∴∠ODB+∠CDE=90°∴OD⊥DE∴DE是⊙O的切线2、解：∴OE=AT=4在Rt△OEB中，OB2=OE2+BE2=25∴OB=5（1）BT平分∠OBA。连接OT。∵⊙O与AP相切于点T∴∠OTA=90°∵∠PAQ=90°∴OT∥AQ∴∠OTB=∠ABT∵OT=OB∴∠OTB=∠OBT∴∠OBT=∠ABT

即BT平分∠OBAE（2）过点O作OE⊥BC于点E，∴BE=CE=BC=3∵OE⊥BC∠OTA=90°∠PAQ=90°∴四边形OTAE为矩形例4、如图，△ABC中，AB=AC，O是BC的中点，以O为圆心的圆与AB相切于点D，求证：AC是⊙O的切线E分析：从结论出发：由于未明确AC与圆的公共点，所以要证AC是⊙O的切线，只要证点O到AC的距离等于半径，即过点O作OE⊥AC，证OE=OD。

从条件出发：有切线，连半径，连接OD，则有OD⊥AB。这由角平分线的性质可得。看到等腰三角形，要联想等腰三角形“三线合一”，则易得AO是∠BAC的角平分线证明：连接OD，过点O作OE⊥AC，垂足为E∵AB=AC，点O是BC的中点∴AO是∠BAC的角平分线∵AB切⊙O于点D∴OD⊥AB又∵OE⊥AC，垂足为E∴OE=OD（角平分线上的点到脚的两边距离相等）∴AC是⊙O的切线（到圆心距离等于半径的直线是圆的切线）反思提升1、如果直线和圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线段，然后证明这条垂线段等于圆的半径，简单的可称为“作垂直，证半径”。2、分析问题时，可以从条件出发，看由条件能得出哪些更多的结论，再从结论出发，想想要说明此结论需有哪些条件，这样易于把条件和结论联系起来，找到解决问题的途径。及时反馈如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，则以AB为直径的圆与边CD相切吗？为什么？┘┐ABCDEF分析：要判断以AB为直径的圆与边CD相切，只需探索AB中点到线段CD的距离与AB的一半相等。而看到角平分线，要联想其性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，过点E作EF⊥CD，易得AE=EF=BE，即可得⊙E与CD相切。

方法归纳1、有关切线的题目，添加辅助线的常用方法有：知切线，连过切点的半径；2、证明是切线的有：

a.连半径，证垂直；

b.作垂直，证半径。典型例题五：圆锥和它的侧面展开图

典型例题例5、（1）若圆锥的底面半径是2，母线长为6，则圆锥的侧面展开图的