广东省清远市连州中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析

广东省清远市连州中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则向量在向量上的投影为A．

B．

C．

D．参考答案：C2.已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为A． B． C． D．参考答案：B由椭圆的焦点为，可知，又，，可设，则，，根据椭圆的定义可知，得，所以，，可知，根据相似可得代入椭圆的标准方程，得，，椭圆的方程为.

3.（5分）若P（2，1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线的方程为（）A．x+y﹣1=0B．2x﹣y﹣5=0C．2x+y=0D．x+y﹣3=0参考答案：D【考点】：直线的一般式方程．【专题】：计算题．【分析】：利用圆心和弦的中点的连线和弦所在的直线垂直，两直线垂直，斜率之积等于﹣1，求出直线AB的斜率，用点斜式求得直线AB的方程．解：圆（x﹣1）2+y2=25的圆心为（1，0），直线AB的斜率等于=﹣1，由点斜式得到直线AB的方程为y﹣1=﹣1（x﹣2），即x+y﹣3=0，故选D．【点评】：本题考查用点斜式求直线方程的方法，圆心和弦的中点的连线和弦所在的直线垂直，两直线垂直，斜率之积等于﹣1．4.（07年全国卷Ⅰ理）是第四象限角，，则A．

B．

C． D．参考答案：答案：D解析：是第四象限角，，则－5.为虚数单位，若位于

（

）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

参考答案：C略6.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1的导函\o"欢迎登陆全品高考网!"数为f′(x)，f′(0)＞0，f(x)与x轴恰有一个交点，则的最小值为()A.2

B.

C.3

D.参考答案：A7.已知数列依据此规律，可以判断这个数列的第2012项满足（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A8.复数（i为虚数单位），则（

）A.5 B. C.25 D.参考答案：A试题分析：根据复数的运算可知，可知的模为，故本题正确选项为A.考点：复数的运算与复数的模.9.双曲线的焦点为F1、F2，连结定点P（1，2）和F1、F2，△使PF1F2总是钝角三角形，则实数b的取值范围为A．

B．

C．（1，2）

D．参考答案：答案:A10.若（其中为虚数单位，），则=（）A．—3

B．3

C．—1

D．l参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.(文)已知向量和向量的夹角为，，则和的数量积=

参考答案：312.以下命题：①若,则；②向量在方向上的投影为；③若中,,则；④若非零向量,满足,则.所有真命题的序号是______________.参考答案：①②④略13.已知（2x2+x﹣y）n的展开式中各项系数的和为32，则展开式中x5y2的系数为

．（用数字作答）参考答案：120【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】根据（2x2+x﹣y）n的展开式中各项系数的和为32，即2n=32，求出n=5，将（2x2+x﹣y）5=[（x2+x）﹣y]5，利用通项公式，求出x5y2的项，可得其系数．【解答】解：由题意，（2x2+x﹣y）n的展开式中各项系数的和为32，即2n=32，∴n=5，那么（2x2+x﹣y）5=[（x2+x）﹣y]5，通项公式Tr+1=，展开式中含有x5y2，可知r=2．那么（2x2+x）3中展开必然有x5，由通项公式，可得含有x5的项：则t=1，∴展开式中x5y2的系数为=120．故答案为120．14.在△ABC中，，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧），当变化时，线段CD长的最大值为__________．参考答案：3试题分析：设，，则在三角形BCD中，由余弦定理可知，在三角形ABC中，由余弦定理可知，可得，所以，令，则，当时等号成立．考点：解三角形15.若变量x，y满足，目标函数z=2ax+by（a＞0，b＞0）取得最大值的是6，则的最小值为．参考答案：7+4【考点】7C：简单线性规划；7F：基本不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，确定z取最大值点的最优解，利用基本不等式的性质，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2ax+by（a＞0，b＞0）得y=﹣x+，则直线的斜率k=﹣＜0，截距最大时，z也最大．平移直y=﹣+，由图象可知当直线y=﹣+经过点A时，直线y=﹣+截距最大，此时z最大，由，解得x=9，y=12即A（9，12），此时z=18a+12b=6，即3a+2b=1，∴=（）（3a+2b）=3+4++≥7+2=7+4，当且仅当b=a时，取等号，故的最小值为7+4，故答案为：7+4．16.如图，函数（其中，，）与坐标轴的三个交点、、满足，，为的中点，，则的值为____________参考答案：17.已知={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|x≤4，y>0，x－y2≥0}，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率是

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，，AC=2.（1）证明：；（2）若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为3，求二面角的余弦值.参考答案：（1）证明：取的中点，连接、、、，由棱形的性质及.得，为正三角形.∴，，且.∴平面，∴（2）三棱锥的体积是三棱柱体积的三分之一，得四棱锥的体积是柱体体积的三分之二，即等于.平行四边形的面积为.设四棱锥的高为，则，∴又平面建立如图直角坐标系：.则，，.，设平面的一个法向量为则，取一个法向量为显然是平面的一个法向量.则.二面角的余弦值为.

19.（本小题满分10）（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）.（Ⅰ）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线，设M（x,y）为上任意一点，求x2-根号下3*xy+2y2的最小值，并求相应的点M的坐标.参考答案：解：（Ⅰ）圆C的方程为……

1分直线l方程为…………

3分（Ⅱ）由和得…

5分设M为，则……8分所以当M为或时原式取得最小值1．……………

10分20.在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x0，y0）、直线l：ax+by+c=0，我们称为点P（x0，y0）到直线l：ax+by+c=0的方向距离．（1）设椭圆上的任意一点P（x，y）到直线l1：x﹣2y=0，l2：x+2y=0的方向距离分别为δ1、δ2，求δ1δ2的取值范围．（2）设点E（﹣t，0）、F（t，0）到直线l：xcosα+2ysinα﹣2=0的方向距离分别为η1、η2，试问是否存在实数t，对任意的α都有η1η2=1成立？若存在，求出t的值；不存在，说明理由．（3）已知直线l：mx﹣y+n=0和椭圆E：（a＞b＞0），设椭圆E的两个焦点F1，F2到直线l的方向距离分别为λ1、λ2满足，且直线l与x轴的交点为A、与y轴的交点为B，试比较|AB|的长与a+b的大小．参考答案：【考点】综合法与分析法(选修）；类比推理；进行简单的合情推理．【专题】综合题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（1）由题意、，于是，又﹣2≤x≤2得0≤x2≤4，即可求δ1δ2的取值范围．（2）由题意，，于是，可得4﹣t2cos2α=cos2α+4sin2α?（3﹣t2）cos2α=0对任意的α都成立，即可得出结论；（3）确定n2＞b2+m2a2，，B（0，n），即可比较|AB|的长与a+b的大小．【解答】解：（1）由点P（x，y）在椭圆上，所以由题意、，于是

2分又﹣2≤x≤2得0≤x2≤4，即

4分（2）假设存在实数t，满足题设，由题意，，于是

6分4﹣t2cos2α=cos2α+4sin2α?（3﹣t2）cos2α=0对任意的α都成立只要3﹣t2=0即可，所以故存在实数t，，对任意的α都有η1η2=1成立．

9分（3）设F1，F2的坐标分别为（﹣c，0）、（c，0），于是c2=a2﹣b2、于是?n2＞b2+m2a2又，B（0，n）即

12分所以综上|AB|＞a+b．

14分【点评】本题考查推理，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，难度大．21.（本小题满分7分）已知矩阵,若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为,属于特征值1的一个特征向量.（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵;（Ⅱ）计算A3的值.参考答案：(Ⅰ)法一:依题意,..…………2分所以…………4分(Ⅱ):=2－…………5分A3=2×63－13=…………7分22.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器自上方的入口处，小球自由下落，小气在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是，（Ⅰ）分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球个数，求ξ的分布列和数学期望．参考答案：考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）设出“小球落入A袋中”为事件M”，小球落入B袋中”为事件N，则事件M的对立事件N，而小球落入A袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，运用对立事件求解即可．（II）确定随机变量ξ的所有可能的取值为0，1，2，3，4判断出二项分布，得出B（4，），运用概率公式求解即可．解答： 解：（Ⅰ）记“小球落入A袋中”为事件M”，小球落入B袋中”为事件N，则事件M的对立事件N，而小球落入A袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，