高中数学必修1-211指数函数图象及性质

11XX和X老师的节课2020/12/192自我介绍老师姓名/昵称：毕业院校：教学特点：教学经历：教学心得：辅导成绩：*展示老师风采的照片2020/12/19指数函数的图像及性质132020/12/1942020/12/19一、指数函数的概念1.解析式：________________.2.自变量：__.思考：指数函数的解析式具有的三个结构特征是什么？提示：(1)底数a为大于0且不等于1的常数.(2)指数位置是自变量x，且x的系数是1.(3)ax的系数是1.y=ax(a>0,且a≠1)x知识点梳理52020/12/19二、指数函数的图象与性质1.指数函数的图象请在下列给出的平面直角坐标系中分别画出a＞1和0＜a＜1时的指数函数的图象62020/12/192.指数函数的性质定义域__值域________定点______,即x=__时,y=__单调性当0<a<1时,在R上是_______当a>1时,在R上是_______R(0,+∞)(0,1)01减函数增函数72020/12/19判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)指数函数的图象一定在x轴的上方.()(2)当a＞1时，对于任意x∈R总有ax＞1.()(3)函数f(x)=2-x在R上是增函数.()82020/12/19提示：(1)正确.直接观察指数函数的图象知指数函数的图象一定在x轴的上方.(2)错误.当a＞1时，对于任意x＞0有ax＞1，但是对任意x≤0有0＜ax≤1.(3)错误.函数f(x)=2-x可化为y=()x，其底数是所以函数f(x)=2-x在R上是减函数.答案：(1)√(2)×(3)×92020/12/19【知识点拨】1.指数函数中规定a>0,且a≠1的原因(1)如果a=0,当x>0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义.(2)如果a<0,例如y=(-4)x,这时对于在实数范围内该函数无意义.(3)如果a=1,则y=1x是一个常量，没有研究的价值.为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1.102020/12/192.指数函数图象的变化趋势112020/12/193.指数函数值的变化规律(1)根据底数的不同指数函数的函数值有以下两类变化规律：①当a＞1时，若x＞0，则y＞1；若x＜0，则0＜y＜1.②当0＜a＜1时，若x＞0，则0＜y＜1；若x＜0，则y＞1.(2)指数函数中函数值的“有界性”：当a＞0,且a≠1时，对于任意x∈R总有ax＞0.122020/12/194.指数函数图象和性质的巧记(1)指数函数图象的记忆方法：一定二近三单调，两类单调正相反.(2)指数函数性质的巧记方法：非奇非偶是单调，性质不同因为a，分清是0＜a＜1，还是a＞1，依靠图象记性质.132020/12/19类型一指数函数的概念

【典型例题】1.下列函数中是指数函数的有______(填序号).(1)y=4x；(2)y=x4；(3)y=－4x；(4)y=(－4)x；(5)y=4x+1；(6)y=xx；(7)y=(8)y=(2a－1)x(a>且a≠1).2.若函数y=(a2-5a+5)ax是指数函数，则实数a=______.142020/12/19【解题探究】1.判断一个函数是不是指数函数的依据是什么？2.题2中根据指数函数的定义可知，实数a应满足哪些条件？探究提示：1.判断一个函数是不是指数函数的依据是指数函数的解析式具有的三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x.(2)指数位置是自变量x，且x的系数是1.(3)ax的系数是1.2.实数a应满足a2-5a+5=1,a＞0且a≠1.152020/12/19【解析】1.(1)(8)为指数函数.(2)不是指数函数,因为自变量不在指数上.(3)不是指数函数,因为4x的系数是-1.(4)不是指数函数,因为底数－4<0.(5)不是指数函数,因为y=4x+1=4·4x.(6)不是指数函数,因为底数x不是常数，不符合指数函数的定义.(7)不是指数函数,因为指数不是自变量x，而是x2.答案：(1)(8)162020/12/192.由指数函数定义得解得a=4.答案：4172020/12/19【拓展提升】1.判断一个函数是指数函数的方法(1)看形式：只需判定其解析式是否符合y=ax(a＞0,且a≠1)这一结构特征.(2)明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数.182020/12/192.已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤192020/12/19【变式训练】指数函数f(x)的图象过点(－3,)，则f(2)＝______．【解析】设f(x)=ax(a＞0,且a≠1).∵f(x)的图象过点(－3,)，∴a－3=a3=8，故a=2，∴f(x)=2x，∴f(2)=22=4.答案：4202020/12/19类型二指数函数的图象问题

【典型例题】1.当a>1时，函数y=ax和y=(a-1)x2的图象只可能是()212020/12/192.图中的曲线是指数函数y=ax的图象，已知a的值取四个值，则相应的曲线c1,c2,c3,c4的a的值依次为()A.B.C.D.3.(2013·双鸭山高一检测)当a＞0且a≠1时，函数f(x)=ax－2－3必过定点______.222020/12/19【解题探究】1.题1中指数函数的图象自左向右是上升的还是下降的？二次函数图象的开口方向是向上还是向下？2.底数不同的指数函数的图象在第一象限内是如何分布的？3.指数函数的图象恒过哪个点？为什么？232020/12/19探究提示：1.本题中a＞1,所以指数函数的图象自左向右是上升的；二次函数y=(a-1)x2图象的开口方向向上.2.(1)当a＞1时，指数函数的图象从左到右是上升的，当0＜a＜1时，指数函数的图象从左到右是下降的.(2)在第一象限内，沿直线x=1从下到上看，指数函数的底数由小变大.3.指数函数的图象恒过定点(0,1).因为任何非负数的零次幂等于1，即a0=1.242020/12/19【解析】1.选A.由a＞1知函数y=ax的图象过点(0,1)，分布在第一和第二象限，且从左到右是上升的.由a＞1知函数y=(a－1)x2的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点为原点.综合分析可知选项A正确.2.选A.因为直线x=1与函数y=ax的图象相交于点(1,a).又因为所以曲线c1,c2,c3,c4的a的值依次为252020/12/193.当a＞0且a≠1时，总有f(2)=a2－2－3=a0－3=1－3=－2，所以函数f(x)=ax－2－3必过定点(2，-2).答案：(2，-2)262020/12/19【互动探究】若题1中的“a＞1”改为“a＞0,且a≠1”，“y=(a－1)x2”改为“y=x+a”，则图象可能是()272020/12/19【解析】选B.当a＞1时，函数y=ax的图象过点(0,1)，分布在第一、二象限，且从左到右是上升的.直线y=x+a过第一、二、三象限，与y轴的交点为(0,a),在点(0,1)的上方.A，B，C，D四项均不符合此要求.当0＜a＜1时，函数y=ax的图象过点(0,1)，分布在第一、二象限，且从左到右是下降的.直线y=x+a过第一、二、三象限,与y轴的交点为(0,a)，在点(0,1)和点(0,0)之间.只有B项符合此要求.282020/12/19【拓展提升】1.处理指数函数图象问题的两个要点(1)牢记指数函数y=ax的图象恒过定点(0,1)，分布在第一和第二象限.(2)明确影响指数函数图象特征的关键是底数.292020/12/192.底数变化对指数函数图象形状的影响指数函数y=ax的图象如图所示，由指数函数y=ax的图象与直线x=1相交于点(1，a)可知：(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；(2)在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.如图中的底数的大小关系为0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1.302020/12/19类型三指数函数的定义域和值域问题

【典型例题】1.(2013·厦门高一检测)已知f(x)=3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为()A.［9,81］B.［3,9］C.［1,9］D.［1，＋∞)2.求函数的定义域和值域.312020/12/19【解题探究】1.已知函数图象经过某点，则此点与函数解析式的关系是什么？若函数f(x)在区间［a,b］上是增函数，则当x∈［a,b］时，函数f(x)的值域是什么？2.函数与函数定义域相同吗？探究提示：1.因为函数图象与解析式一一对应，所以经过函数图象的点满足函数解析式，若函数f(x)在区间［a,b］上是增函数，则当x∈［a,b］时，函数f(x)的值域是［f(a),f(b)］.2.函数与函数定义域相同.322020/12/19【解析】1.选C.因为函数f(x)=3x－b的图象经过点(2,1)，所以32－b=1，所以2－b=0，b=2,所以f(x)=3x－2.由2≤x≤4得0≤x-2≤2，因为函数y=3x在区间［0,2］上是增函数.所以30≤3x－2≤32,即1≤3x－2≤9，所以函数f(x)的值域是［1,9］.332020/12/192.由x－1≠0得x≠1,所以函数的定义域是{x|x≠1}.令则t∈{t|t≠0}.根据指数函数y=2t的图象可知y=2t∈{y|y＞0且y≠1}，所以函数的值域是{y|y＞0且y≠1}.342020/12/19【拓展提升】1.函数单调性在求函数值域中的应用(1)若函数f(x)在区间［a,b］上是增函数，则f(a)≤f(x)≤f(b)，值域为［f(a),f(b)］.(2)若函数f(x)在区间［a,b］上是减函数，则f(a)≥f(x)≥f(b)，值域为［f(b),f(a)］.352020/12/192.函数y=af(x)定义域、值域的求法(1)定义域函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同.(2)值域①换元，令t=f(x)；②求t=f(x)的定义域x∈D；③求t=f(x)的值域t∈M；④利用y=at的单调性求y=at，t∈M的值域.362020/12/19【变式训练】求函数f(x)=()x+1(x∈［－1,1］)的值域.【解题指南】利用指数函数y=()x的单调性,先求()x的范围，再求()x+1的范围.【解析】因为x∈［－1,1］，且y=()x在区间［－1,1］上是减函数，所以()－1≥()x≥即2≥()x≥所以所以所求函数的值域为［3］.372020/12/19【易错误区】指数函数中忽视分类讨论致误【典例】(2013·淮安高一检测)函数f(x)=ax(a＞0,且a≠1)在［0,1］上的最大值与最小值的差为则a=______.析误区382020/12/19【解析】(1)当a＞1时，函数f(x)=ax在［0,1］上是增函数.所以当x=1时，函数f(x)取最大值；当x=0时，函数f(x)取最小值.由题意得f(1)－f(0)=即a－a0=解得a=(2)当0＜a＜1时，函数f(x)=ax在［0,1］上是减函数①.所以当x=1时，函数f(x)取最小值；当x=0时，函数f(x)取最大值.由题意得f(0)－f(1)=即a0－a=解得a=综上知a=或答案：或392020/12/19【类题试解】已知a>0，且a≠1，若函数f(x)=2ax-4在区间［-1，2］上的最大值为10，则a=______.【解析】(1)若a>1，则函数y=ax在区间［-1，2］上是递增的，当x=2时，f(x)取得最大值f(2)=2a2-4=10，即a2=7,又a>1，∴a=(2)若0<a<1，则函数y=ax在区间［-1，2］上是递减的，当x=-1时，f(x)取得最大值f(-1)=2a-1-4=10,∴a=综上所述，a的值为或答案：或402020/12/19【误区警示】412020/12/19【防范措施】1.加强分类讨论的意识在解含字母的指数函数的有关问题时，要重视分类讨论思想的应用.如本例中的函数f(x)=ax在a＞1和0＜a＜1两种情况下，最大值和最小值的取值情况是不同的.2.重视指数函数单调性的应用对一些常用的指数函数的性质要记准、记牢，学会适时使用.如本例中根据a的大小，确定指数函数的单调性，就可以得到最大值、最小值，进而列方程求解.422020/12/191.指数函数y=ax与y=bx的图象如图所示，则()A.a＜0,b＜