四升五暑期教师版

1b、a相除，可以用b表示；即，其中b为分子，aa、⑴分子和分母同时乘以相同的数除外）分数的大小不变。⑵分子和分母同时除以相同的数除外）分数的大小不变。（1）的分数，称为最简分子比分母小的称为真分数；分子不小于分母的称为假分假分数与带分数可以进4、约分意义：把一个分数化成和它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分★约分时,如果能很快看出分子和分母的最大公因数，直接用它们的最大公因数去除比较简便。字含相当通分：意义：把分母不相同的分数（也叫做异分母分数）分别化成和原来分数相等的同分母相同的分数，叫做通分。7分数的加法：分母不同时，先通分，然后分母不变，分子相8、9、分数大小比较（）①大。的分子相④数相0用分数、两数相除填空(1)54=(4)87

136=(5)125

20059=(6)175

13

2005

8=8

125=125100(6)17=17

例题(1)1（ (2)1（ (3)1（= =

= =(4)2（ (5)7= (6)30==

8 18 ==

60

15

30（18028

9036

45（46（（42（ 54（ 69 （ 2222 3333（3

124 61

2，

2

， 324

，91 2和 7和 98和 11110和 2 1 4444 442222 8888 88

1111514

计算：21 93 111 20 （1）19517，（2） （3）77 7

18 已知A200 20，B200 20；试比较A、B的大小200 2 201 2A200820072 2 2007B200920102 2 2009所以，AB1、填空：（）915（） 21（）3，35，212、以下哪些分数是最简分数，把不是最简分数的分数化为最简分数3，7，21，28，51，25，6，51， 最简分数：7，6，5149 31，213，287，513，25 3、（1）2

（2）3

（3）5 （4）13 （7）7541

（5）524 （8）111

（

10 5

2 423之间分母为120的最简分数有哪些？ 5、比较大小：1111 先比较两个倒数的大小：1111110 11111110 ；所以，1111 111116、有四个分数：12111911中最大的与最小的差是多少？ 明显可得，111112；前三个数都比较接近1，可以先与1比较； 11911121，则121 2 3则最大的与最小的差是1911122 7、把下面九个数分别填在括号里，使每组三个数的和相等1，1，1，1，1，2，3，5， +（=（+（+（13517111 分数的乘法：分数与分数相乘:用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母,能约分的要分数（在计算中约分)分数与整数相乘:用分数的分子和整数相乘的积做分子,分母不变。（约分要在计算中先约分）出现带分数时：一般先将带分数化成假分数，再相乘（或者将带分数拆分再进行运算）两个数乘积是1的数互为倒数，0没有倒数。、一个分数除以另一个分数就是乘以这个分数的倒数。、一样，减，有括（5、带分数与假分数之间的互化qrqbr 假化带：如果ab r，

27化为带分数，将32 3

12

2

5

951 分数的乘法计算(1)22 (3)2052

(2)105 5 5 分数的除法计算： 84

221053

0 26209106931001322869（302620910693333372623510693 22869 22869591153 1717 9297 1737532711369 7 3 1 2 1（1，提示：7 789101112131 1615393321 分数的混合运算：8117422135 (2)8

351

25 1641

11111 111

311

51177119911 1111

3

5 11

13 原式13579111135791113361148 计算：1234456 4568789原式 12344567 14567789078901、计(1)47 (2)716 (3)863

7514

3716 8

1 (7)8433

30225

21321 (1)471;(2)7162；(3)8637 751470

3716311662

112137731 8433441533；(8)302253012560

2132177111814

2 分数的除法计算116 (2)1125 (3)1416

3111 38

202

10534 (7)1634

2754

72627 5 3、31377

4354

10

(3)(71 2(21 7 13 10 1 (5)55225 (6)447(53) 116 4、a6b65c，其中a、b、c是自然数且都不为a、bc三个数从小 大排列起来： ) ) 因为656，所以bc

134312710 3 1 （212

134312710 3 1 8 8 36 8 25452 定义：小数由整数部分、小数点、小数部分三者构成，缺一不可 分类：若讨论是否有限，可以分为有限小数、无限小数；若讨论是否循环，可以分为循环小数、非循环小数；当然，两种分类会有交错的地方。 循环小数：循环小数可以分为纯循环小数（小数点后全是循环节、混循环小数；无限循环小数可以化为分数，而无限不循环小数不能化为分数。4 怎样把分数化为小数商母被除数除数商母 分 小数或整注意：把分数化为小数后，带分数的整数部分与小数的整数部分一样5、 怎样判断一个分数能不能化为有限小数？首先要把这个分数化为最简分数如果分母只含有质因数2和5么这个分数一定能化成有限小数6 怎样把有限小数化成分数有限小数化分数：小数表示的就是十分之一、百分之一、千分之 所以可以化成十分之六，约分成五分之三。注意 把小数化为分数后，小数的整数部分是带分数的整数部分一样的互 纯循环小数小数部分化成分数将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是99的个数与循环节的位数相同后能约分的再约分。 混循环小数小数部分化成分数分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是99的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。、①如果分母只含有质因数25那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数25中个数较多的那个数的个数；②如果分母中只含有25以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；如果分母中既含有质因数2525以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且循环部分的位数等于分母中质因数25中个数较多的那个数的个数。合运—般而言，都是化为分数运算；若能全部化成有限小数，就用小数运算。

1（ 2

1（ 6

（

（

8

（(1)(3)(4)(5)小数(1)8(3)

(4)13

19

3 0. 0.1注意保留数位 (3)(6)312881，2，3，1，11，4，36，25 0.，0.3，0.01，0.12，0.4，0.01，0.113， 1 12 1 0.0 0.1210 1 0.12

9 1

90 123 0.1 99 4将下面分数化为小数后，哪些是有限小数，哪些是纯循环小数，哪些是混循环小数：3、2、17、 由判断法则可知：3是有限小数；2是纯循环小数； 17是混循环小数；135是有限小数；11是纯循环小数 计算（1）0.10.2；（2）0.10.1 （1

123620.10.2

（2）

1121123121001101113211070.10.12

0.；（2）0.380.（1）

186

18539

539

195 1.86 99 （2 38351879997330.750.38 18 2 东东将12乘以一个数a时，把12误看12乘积比正确结果少0.3问：a由题可得1.23a1.2a3 ，解得a90 123的“乐优数”是1.23，450的“乐优数”是4.50，600的“乐优数”是6.00100999的所有三位数的“乐优数”的和是1、将下列分数化为小数：（1）5，5，7（2）23，4 （1）6

50.835

0.227

70.07（2）27

30.285714 3

0.230769

0.10820.6，0.8，1.5，3.75， 0.7，0.12，0.4189，0.63，0.84，1.511，3.7533，5.6255 2954 0.7 ，0.12 ，0.4189 ，0.2954 30.010.120.230.340.450.56 111213141 0.010.120.230.340.450.56 （1）0.120.23（2）0.1320.1350.135 （ 12123121230351390.12 135 135

（2）0.1320.1350.135 990

25 333

小数限小哪些环小数：5、2、7125、101。

由判断法则可知：5是有限小数；2是纯循环小数；7是混循环小数；125是有 限小数；101是纯循环小数。

1388化成小数后，两个循环小数的小数点后第2011个数字之和是多少? （方法一）13

，88 0.1287

0.8712；则第2011个数字之和是9 （方法二）138810.9，则第2011个数字之和是9101 、将循环0.27与0.142857取近似小数是多 27 0.270.142857 11 1006 4，若不取近似值，第一百位小数是9取近似值，要求保留一百位小数后，近似值的最后一位小数是0。计算 2计算 +...+201 201 1

517

9

111

1 1 1=100+=100计

3 6 12 25 5原式=123123 100=234123 1计算：11 1111

1111 4 5 5 4 111A1111 =BA=5

计算 9 3311

993 5 1 139 11 11=1391513911 99 99 =1511 99 =计算：1 1 1 11 29

3

：1111 111 1 2 3 4 525计算15111 2 1 2 3 4 5原式111111 11 2 6 12 9111 1911 计算 12 2

98因 1 )k(k1)(k 2k(k (k1)(k原式1(11)1(11) 21 2 22 3 991(1 21 99 1 2 1 231 1原式=1 222 31=12111

101 2111

(12)(12n12 (n1)12

12 (n1)12 n12原式1111 1121 123

(n 12 112 计算：122222 1 1

2 181 1原式122334 181919 )219(13)(24) (18) 1 计

19942 1994219942 2、14.8553.66.15335.51.75 3.6=18，33

3、计 7

1317 原式5713613179131931971113 =5691111 =14、求所有分母不超过40的真分数的和。 设S=112123 3 4=0.5+1+1.5+2+5、1111 3 5 原式1111111 1 2 2007 1236、计算：1 1231 12312317、能否找到2009个单位分数，使得它们的和为1，且其中恰有一个此题考查分式裂项求和的逆用 对于1 1 2 3111 1 2 3到的2009个单位分数就是1、 、 、1、……

、 1，且其中恰有一个

1 2 3 4 例题 计算：51413 77例题 计算：30.50.7513 34

有五个分数25151012 260，560，1560，1060，1260 606060 所以10512 例题 计算：137153163127255 原式 1 1 1 =1-1-1- 例题 1.21690.182.0981 18 1.21690.182.09811 2 99 例题 将23、78化成小数后，两个循环小数的小数点后第2011个数字之和 ______23781 ，则第2011个数字之和是9101例题 东东

0.321a少了0.03。请问：正确结果应该是 。

318 2由题可得，0.3210.321a0.03，即 a 990 9 解得，a300；所以，正确结果应该是96.36 将循环小数0.02与0.1428相乘，取近似值，要求保留一百位小数。请问：该近似值的最后一位小数是 27142857 0.027 0.003861999 1006 4，若不取近似值，第一百位小数是8取近似值，要求保留一百位小数后，近似值的最后一位小数是9a一位起n29997a、n1 10.142857

20.2857142

30.4285713

40.5714284

50.7142855

60.8571426 可以发现，分数a的循环节都是由数字142857组成的；7而14285727，299927 2；所以a只用数字1、2、3各一次可以组成很多不含重复数字的循环小数，循环点和小数点可以任意添加。请问：这些小数的总和是 11-个小数位之和

13312.313.221.323.131.2 两个小数位之和：一个循环节

13

1.231.322.132.313.1211.231.322.132.313.1213则小数的总和是：1331 12160 例题11、11223344 99 2 3 4 5 64 64 1 11

=A,11

原式=A1B1A=A-= 980 200200 2005 200 200 200原式=2004 1 =2004 计算：4 812 16 2 原式133557799111111 11 1例题15计算：191919190190 19 （159191919190190 19 98

98 1910101 98 980 980010001 981919191998 9819 3199898294 分数应用题的相关知识：分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续和深化，另一方面，它有其自身的特点和解题规律．在解这类问题时，分析题中数量之间的关系是解题的关键．在解有关分数的应用题时，首先要弄清以下几个基本问题：例例如：求52是多少？解答52=2例如23的几分之几？解23248 分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称为单位“1”，例如ab的几分之几，就把数b看作单位“1”。在几个量中，弄清哪一个是单位“1”很重要，否则容易出错误．例题制盒厂，第一车间有女工63人。(1男工人有21人,男工人是女工人的几分之几?

（2）男工人数是女工的27倍，男工（2）男工人数是女工的27倍，男工有多少人?男工人数是女工的9（3）女工人数是男工的37倍，男工有多少人?女工人数是男工的9（4）男工人数比女工多1倍，全厂有多少人？男工人数比女工多1，男工有多少人1女工人数比男工 ，男工比女工少多少人？8

，全厂有多少人？7女工人数占全厂的4

，男工有多少人男工人数占全厂 ，全厂有多少人7【分析与解】此题目的在于给学生讲解清楚分数应用题的三种形式(1)三分之一;(2)126、49（3）21、81（4）189、例题比5 ;(填整数)8比5 ,(填分数)5比8 (填分数【分析与解】3五分之三八分之三例题

运来一批大米，第一天吃了全部的5

米，运来大米多少千克？【分析与解】

，第二天吃了余下的3，这时还剩下60小刚从甲地到乙地去，第一天走了全程的5

，第二天比第一12米，这时57千米没走完。甲、乙两地相距多少千米？【分析与解】例题

是从昨天开始看这本书的，昨天读完以后 已经读完的页数是还没读的页数 9他今天比昨天多读了14页，这时已经读完的页数是还没读的页数的 ，问题是，这本书共3多少页？【分析与解】例题甲、乙、丙三人生产一批玩具，甲生产的个数是乙、丙两人生产个数之和的 ，乙生2的个数是甲、丙两人生产个数之和的1，丙生产了50个，则这批玩具共 个3【分析与解】2

1 3

1 丙生产的个数占总数的111 所以这批玩具共有50

120（个方法二：将总的量看成12份，可以得到甲生产了4份，乙生产了3份，丙生产了5份，那么每份对应的个数就是50510个，所以总共有1012120个31，可得丙生产的是350个115100个，所以1 应的个数是10050304120

30个，甲、乙、丙相加一共有1350504有四条绳子，第一条是其余三条总长度的1，第二条的长度是其余三条总长度的1，第 三条长度是其余三条总长度的1，而第四条的长度是130千米，求四条绳子的长度和4【分析与解】例题某班进行课外活动，没跳绳的人数是跳绳人数的1，后来一个跳绳的同学不跳了，这9没跳绳人数是跳绳人数的

，这个班共有学生多少人？【分析与解】例题甲乙两堆沙子共250立方米，从甲堆取出2，从乙堆取出3，两堆沙子还剩70立方米。 原来两堆沙子各多少立方米？【分析与解】甲:90例题光明小学有学生900人，其 的4与男生的2参加了课外活动小组，剩下的340 没有参加．这所小学有男、各多少人【分析与解】女:420例题有两只桶共装油44千克，若第一桶倒出油的1，第二桶里倒进油2.8千克，则两桶5的油相等。原来每只桶各装油多少千克【分析与解】甲:26家养鸡54只，是养鸭只数的

，家养鸭多少只【分析与解】一本150页，第一天读了5

，第二天比第一天多读4页，第三天应从第几页开始读【分析与解】买来一些水果，梨的重量是苹果的3

，苹果的重量是香蕉的4，称得梨重8千克7那么香蕉重多少千克？【分析与解】一 中的水是装满时的5，用去200立升以后，剩余的水是装满时的3，这 容积是多少立升？【分析与解】老李前年炒投了10万元，净赚了20%，而去年却赔了20%。那么，到去年为止，他到底【分析与解】亏了4000村里种了新的瓜，男女老少品尝它．小伙每人吃一个，姑娘两人分一瓜；老人一瓜三人吃，四个小孩吃一瓜．男女老少四个组，一共吃了五十瓜，各组人数都相等，每组多少人品尝瓜？【分析与解】有两桶油共重275千克，取出第一桶的9

，第二桶的4后，余下的两桶重量相等。求原来7两桶各有多少千克？一瓶油第一次吃去1，第二次吃去余下的3，这时瓶内还有1千克，这瓶油原来有油多少 千【分析与解】1新民小学男生比全校学生总数的7

少25人 比全校学生总数的9

多15人，求全校总人数【分析与解】 甲班学生人数的105，两班共有学生105人，甲、乙两班各有多少【分析与解】甲:60小莉和小刚分别有一些玻璃球，如果小莉给小刚24个，则小莉的玻璃球比小刚少3；如7给小莉24个，则小刚的玻璃球比小莉少5，小莉和小刚原来共有玻璃球多少个8【分析与解】小莉:72小刚:五年级选出男生的 和12 参加数学竞赛，剩下的男生人数 的2倍．已知五年级共有学生 人，其中男生有多少人【分析与解】男:99经济问题主要相关公式：成本利润利润率利润100%售价100%成 成售价成本（1利润率）其它常用等量关系：

利润率1；含税价格=不含税价格 税率例题

某商场新开张，商家纷纷做起了促销活动一种商品成本100元,现价110元,商家的利润率为多少?原价0,?某0元,?某商品进价100元,按20%利润出售,标价多少【分析与解】:1.10%2.160元3.100元4.120例题某商店售两件衣服，每件售价60元，其中一件赚25%，而另一件亏25%，那么这家商【分析与解】:亏了8例题受季节影响，一个月内，某商品涨价10%后有下跌了10%，现在售价297元，求该商品原【分析与解】:300例题某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的九折出售将赚20元；而按七五折出售将25元，问这种商品的定价是多少？【分析与解】:300例题某种商品按定价卖出可得利润960元，若按定价的80%出售，则亏损832元。问：商品的【分析与解】:定价8960,购入价例题某商店进了一批笔记本, 30%的利润定价,当出售这批笔记本 80%后,为了尽早销完商店把这批笔记本按定价的一半出售,问售完后商店的实际获得利润的百分数【分析与解】:例题

的某种书,今年每册书的成本比去年增加 10%,但是仍保持原售价,因此利润下降40%,那么今年这种书的成本在售价中占的百分数是多少【分析与解】:例题一批商品共100件,按20%定价出售,将可得到的钱都存入银行,已知银行存款年利率为2%,存入银行一年后,共获得利息11200元,问每件商品定价多少元?【分析与解】:例题国家规定个人文章、获得稿费的纳税计算办法是：（1）稿费不高于元的不纳税；（2）稿费高800元，又不高于4000元的，应交纳超过800元那一部分稿费的14％的税；（3）稿费高于4000元的应交纳全部稿费的11％的税。今知丁老师获得一笔稿费，并且缴纳个人所得税420元，问丁老师这一笔稿费有多少元？【分析与解】:3800例题发展绿色食品是今后的方向，为了引进新技术，新品种，国家向农民张德才一笔为期三年的农业，协议规定老张分三年共三次平均还本，每次还本时缴纳应缴的利息，已知这笔的年利率为5.31%，老张三年共缴利息15930元，求这笔是多少？【分析与解】:15例题体育用品商店用3000元购进50个足球和40个篮球．零售时足球加价9%，篮球加价11%，全部卖出后获利润298元．问：每个足球和篮球的进价是多少元？【分析与解】:足球:32篮球选某商76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件．如果买一件按原定价，买两件降价10%，买三件20%，最后结算，平均每件恰好按原定价的85%出售．那么买三件的【分析与解】:如果对于移多补少比较熟悉，容易想到3(1 %340%485%一配对后，仍剩下一些买三件的人，由于3(290%)2(380%)1285%件的人数与买两件的人数的比是23有763341242525315(人)。前一种有33258 2 2 其中买一件的有824(人)。于是买三件的有3315414一家饭店十月份的营业额约是30万元。如果按营业额的5%缴纳营业税，这家饭店十月份应【分析与解】:62、某商店为了促销G牌空调机，2003年元旦那天该机可分两期付款，在时先付一笔款，余下部分及它的利息（年利率为5.6﹪）在2004年元旦付清，该空调机售价每台8224元，【分析与解】4224李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，可得利息52.4元，已知这两种储蓄年利率的和为3.24％，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？【分析与解】 某商品先提价25﹪后又降价25﹪出售，已知现在售价为75元，则为多少元【分析与解】商店以80元一件的价格购进一批衬衫，售价为100元，由于售价太高，几天过去后还有件没卖出去，于是商店九折出售衬衫，又过了几天，经理统计了一下，一共售出了180是将最后的几件衬衫按进货价售出，最后商店一2300元．求商店一共进了多少件衬【分析与解】一商店把彩电按标价的九折出售，仍可获利20%，若该彩电的进价是2400元，那么彩电的标【分析与解】某商品的售价920元，为了薄利多销，按售价的七五折销售再返还30元礼券，此时仍获利10%，此商品的进价是多少元？【分析与解】某商品的进价2000元，标价3000元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售，售【分析与解】7某种商品进货后，零售价定为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折降价，并让利40元销售，仍可获利10%（相对于进价，问这种商品的进价为多少元？【分析与解】浓度问题中的基本量及相关公式1、溶液溶质2、浓度=溶质 溶 溶 有浓度为10%的盐水100加入20克盐后，浓度变为多少？加入60克水，浓度变为多少？将此盐水倒掉10克，浓度变为多少？蒸发掉20g水，浓度变为多少？要使浓度变为20%，应加入多少克盐？【分析与解】:1、25%2、 3、10%4、 有浓度为7%的盐水600克，要使盐水的浓度加大到10%，需要加盐多少克?需要蒸发掉多少克水?【分析与解20180例题水果仓库运来含水量为90%的一种水果400千克。一周后再测，发现含水量降低为80%，现【分析与解】：例题浓度为70％的溶液500克与浓度为50％溶液300克，混合后所得到的溶【分析与解】：例题在浓度50%的硫酸溶液100千克中，再加入多少千克浓度为5%的硫酸溶液，就可以配制成浓度为25%的硫酸溶液？【分析与解】：例题一容器内有浓度为25％的糖水，若再加入20千克水，则糖水的浓度变为15％，问这个【分析与解】：例题有浓度为30%的 若干，添加了一定数量的水后稀释成浓度为24%的溶液。如果再 【分析与解】例题从装满100克浓度为80％的盐水杯中倒出40克盐水后，再倒入清水将倒满，搅拌后再倒出40克盐水，然后再倒入清水将杯倒满。这样重复三次后，杯中盐水的浓度是多少【分析与解】：例题有甲、乙两个同样的，甲杯中有半杯清水，乙杯中盛满了含%的液体先将乙杯的一半倒入甲杯，搅匀后，再将甲杯中溶液的一半倒入乙杯．问这时乙杯中溶液的浓度是多少？【分析与解】：例题有A、B、C三根管子，A管以每秒4克的流量流出含盐20%的盐水，B管以每秒6克的流量流出含盐15%的盐水，C管以每秒10克的流量流出水，但C管打开后开始2秒不流，接着5秒，然后又停2秒，再流5秒……现三管同时打开，1分钟后都关上。这时得到的混合【分析与解】浓度为25％的盐水120千克，要稀释成浓度为10％的盐水，应该怎样做？【分析与解】：加入180千克浓度为5%的盐水80克与浓度为8%的盐水20克混合在一起，倒掉其中10克，再加入克水，现在的盐水浓度是多少【分析与解】:要配制浓度为25%的盐水1000克，需浓度为10%和浓度为30%的盐水各多少克？【分析与解】:250克750一杯水中放入10克糖，再加入浓度为5%的糖水200克，配成浓度为2.5%的糖水，问原来【分析与解】：590甲容器中有浓度为5%的盐水200克，乙容器中有某种浓度的盐水若干克。从乙中取出800克盐水放入甲容器混合成9%的盐水。那么乙容器中的盐水浓度是多少？【分析与解】蜜蜂采的花蜜含有60%的水分，用这种花蜜酿成只含水分20%的蜂蜜3.5千克，需这样的【分析与解】甲容器中有8%的盐水300克，乙容器中有12.5%的盐水120克，往甲、乙两个容器中分别【分析与解】配制硫酸含量为20%的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量为18%和23%的硫酸溶液各多少【分析与解 甲、乙、丙三种盐水的浓度分别为20%、18%、16%，混合后得到100克18.8%的盐水，已经知道乙比丙多30克，那么甲盐水有多少克？【分析与解】:甲容器中有浓度为20%的糖水600克，乙容器中有浓度为10%的糖水400克，分别从甲和乙中取出相同重量的糖水，把从甲取出的倒入乙中，把从乙中取出的倒入甲中。现在甲乙两个容器中糖水浓度相同。那么甲容器现在糖水浓度是多少？【分析与解】:【知识要点】 a、b是两个数或两个同类的量，为了把b和a相比较，将a与b相除，叫做a与b的比.记作a:b，或写成a，其中b0；读作a比b，或a与b的比.a叫做比的前项，b叫做b的后项.前项a除以后项b所得的商叫做比值 a、b、c、d四个量中，如果a:bc:d，那么就说a、b、c、d成比例，也就是表示比的表达形式，比例形式：ab，分数形式b1abakbkaak(k b2abcd，那么ad甲、乙两数的比是11:9,甲数占甲、乙()，乙数占甲、乙两数()( (甲、乙两数的比是32，甲数是乙数的（）倍，乙数是甲数的()(11:4

化成最简单的整数比是 ， 【分析与解】总份数为11920（份119 甲数是乙数的321.523（3） 5 10.75 5（3） 5 4 某班有男生20人，30人，试讨论以下各种关系1）男生： ，2）男生：全 ，3）：男生 4）占全班 （几分之几），5）比男生 （几分之几【分析与解】1）男生：20:3022）男生：全班202030)23）：男生30:203占全班的 30 比男生多了302010（人，比男生的人数多10 例题已知a:b=3:4,b:c=5:7,则【分析与解例题6千克小米可换5千克4千克可换3千克面粉。问40千克小米可换多少千克面粉【分析与解】小米和的比是6:5，与面粉的比为4:3，那么小米、、面粉的连比为24:20:15由此可知，小米与面粉之比为2415，即85.则可换405258例题一渡口，按规定车过河缴渡费3马过河缴渡费2元，人过河缴渡费1元。一天过河的车和马的数目比为2:9，的数目比是3:7，共收得渡费945元。求这天渡过的车、数目各是多少？【分析与解】过河的车、马数目比为2:9，的数目比是3:7，则可算出车、马、人的连比是2:9:(32):(29):(121)2:6:2:9:(79)2:9:3945

332291232291132291

342（辆（车2189（匹（马1441（人（人例题某饲养场，鸡和猪的只数比是26:5，羊和马的只数比是25:9，猪和马的只数比是10:3。求该【分析与解】因为鸡猪2655210，猪马103，所以，鸡马523，又因为羊马259，即马925，而鸡马5231569，所以鸡羊15625解方程：（1）12:x8:【分析与解】

（2）4.82.4:

(11x8x1)7（2）4.8x2.41.5x0.758(x1)711x所以8x8777xx69解方程x:103: (2)(x5):(2x1)10:【分析与解】（1）x（2）xAB两个数的比是85，每一数都减少34后，AB2倍，求这两个数【分析与解】设减少34A的值2xBx，则(2x34)x34)85，所以8x83410x534xA25134136，B513485甲、乙两人数学成绩比为5:4，如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则成绩比为5:7。甲的成 ， 【分析与解】 :9甲的成绩是22.543)4

43(分)；乙的成绩是90472（分51.（1）写出两个比值是2.5的比,并组成比例.写出比值相等的一个分数比与一个小数比,并组成比例.用5、40、8、1组成两个比例式。【分析与解】现有苹果和梨的数量之比为4:7，而每个苹果的重量是梨的3倍，那么苹果和梨的重量之比2为【分析与解】(43):76:2甲数与乙数的比是5:8，甲数比乙数少 ）%，乙数比甲数（）（【分析与解】 4分钟：1小时的比值是 3【分析与解】1小时20分钟，所以4分钟1小时4分钟20分钟1:51 甲、乙、丙三个数，已知甲乙丙43，乙丙27，求甲:乙【分析与解】乙:丙27可得到乙乙丙2丙乙丙79，而甲乙丙4: 甲:乙丙 1 6.（2007年第十二届“华罗庚金杯”邀请赛）地球表面的陆地面积和海洋面积之比是29:71，其中陆地的四分之三在北半球。那么南、北半球海洋面积之比是 【分析与解】由题目可知地球表面陆地面积占了其表面积的 2929387 29129 129187 400 今年植树节，四、五、六三个年级学生共同种树，他们种树的棵数的比是3:4:5，已知六年级比四年级多种60 棵。四、五、六年级同学各种树多少棵？【分析与解】四年级同学种的棵数占总棵树 3；六年级同学种的棵数占总棵树的5，又知道34 年级比四年级多种 棵，所以，不难求得三个年级同学植树的总棵数 6053360 四年级同学种的棵数：360五年级同学种的棵数：360

334434534

90（棵120（棵150（棵甲、乙两个长方形，它们的周长相等.甲的长与宽之比是3:2，乙的长与宽之比是7∶5.求甲与【分析与解】设甲的周长是23275 (3 )864875.答：甲与乙的面积之比是864875 12解下列比例11x2【分析与解】1x3x9 解下列比(2x3)x15【分析与解】5(x1)4(2x3)x3 【分析与解】1213x2)2x71 AB两数之比为92，每一数增加30AB两数之比为31，求AB两数原来各为【分析与解】A9xB2x9x303x20A、B两数原来各为920180、2202x 一块长方形的地，长和宽的比是3: ，长比宽多24米，这块地的面积是多少平方米【分析与解】设长为3x，则宽为2x，根据题意3x2x24x24，这块地的面积是324224的手表比标准钟每小时快12分钟，如果的手表走了2小时，标准钟走了（ 【分析与解】甲、乙两地之间的距离是120千米，在比例尺 的地图上，这段距离应该画几米在比例尺是

的平面图上，量得本班教室的长是 厘米，本班教室的实际长是多米224千米用线段5.6厘米表示出来，请你计算这幅地【分析与解】在地图上这段距离为120 （千米）4厘米（2）实际长为4.5

4.5200900（厘米）9（米（3）比例尺 水泥、石子、黄砂各60吨，将水泥、石子、黄砂按5:3:2拌制混凝土，水泥正好用完，石【分析与解】:石子24吨，黄砂36一块长方形地，长和宽的比为3:2，长方形的周长是120米，这块地的面积是多少平方米【分析与解】一个分数，分子与分母之和是100.如果分子23，分母32，新的分数约分后是三分之二,原【分析与解】：

原有的图画纸之比是 又买来15张 用掉了8张，现有的图画之比是5∶2.问原来两人各有多少张图画【分析与解】:40张30师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工100 个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？【分析与解】::9

傅与徒弟分别完成总量的 和 ，师傅和徒弟一共加工了100(

34005 5 5 5一个书柜，甲乙合作5天能完成，乙丙合作6天能完成，甲丙合作7.5天完成。现在甲乙丙三人一起合作完成，共得工资 元。如果按个人能力分配，甲、乙、丙应各得工资多少【分析与解】:甲：1230乙：1722小刚读一本书，第一天读了全书的

，第二天比第一天多读了6页，这时已读的页数与剩下比是3:7，小刚再读多少页就能读完这本书？【分析与126甲、乙、丙三人同去商场购物，甲花钱数的1等于乙花钱数的1，乙花钱数的3等于丙花 数的4，结果丙比甲多花钱93元，问他们三人共花 7【分析与解】：439一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1∶2∶3.小龙走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6.已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米.问小龙走完全了多少时间【分析与解】：1025有甲、乙、丙三枚长短不同的钉子，甲与乙长度的比是6:5，甲钉子的三分之二钉入墙内；甲与丙钉入墙内的部分之5:4，而它们留在墙外的部分一样长。问乙与丙的长度之比是【分析与解】:例题甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元每种糖买的数量一样多,问每千克的平均价是多少?【分析与解】 三分之八十在一幅地图上,量得到的距离是4.2厘米,而到的实际距离是1050千米,求【分析与解】:在比例尺是12000图纸上量得一块长43米,算一算【分析与解】:在比例尺 的地图上，量得两地的距离是35厘米,如果把这两地画在比例尺的地图上，图上的距离应是多少？【分析与解】:甲、乙两人行走某段路程的天数之比是5:4，乙、丙两人行走该段路程的天数之比是3:2，那么甲走15天的路程丙要走（ 【分析与解】:给一间教室铺地，用面积是0.16平方米的方砖要300块，如果改用长0.4米、宽0.3米【分析与解】:在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是10:7，则甲捐 元，丙捐【分析与解】3822马头数比是5:3:2，问牧场现有羊、牛、马各是多少？【分析与解】:羊:1400:840甲乙两车由A、B两地同时出发相向而行，甲乙两车的速度比是2:3，已知甲走完 5小时，求两车几小时后在中途相遇【分析与解】:五分之张、王 共有108元，张用了自己钱数的5

，王用了自己钱数的4

，了自己钱2数的，各买了一支相同的钢笔，问张和李剩下的钱共有多少3【分析与解】:加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现在有1825个零件需要加工。如【分析与解甲:700乙:600丙甲、乙、丙三人练习射击，甲每三发平均中2发；乙每四发平均中3；丙每五发平均中4发。三人发射次数相同，共中266 发，问三人各中多少发？共发射多少发？【分析与解甲:80:90丙:96360一笔奖金分一等奖、二等奖和三等奖。每个一等奖的奖金是每个二等奖金 倍，每二等奖的奖金是每个三等奖奖金的2倍。如果评一、二、三等奖各两人，那么每个一等奖的奖金是308元；如果评一个一等奖，两个二等奖，三个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元？【分析与解】:.有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子，第一堆里的黑子和第二堆里的 一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的2，把三堆棋子集中在一起，问 5部棋子的几分之几？)1400本身如:21000=23353721000所有约数的和为(12222313)(15525317)1、甲、乙两个自然数的最大公约数是7，并且甲数除以乙数所得的商是11.乙数 8 的最大公约数是，11是质数，它的两位数约数只有11，所以乙数【解析】[、、、单位处两种刻度重合次；[4,5,6]=60，所以没有三种刻度线在一起的位置，所以共=12×第一群猴子只数=15×第二群猴子只数=20×第三群猴子只数,由此可5、数360的约数有多少个?【解析】360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=××5；360的约数可以且只能是2a3b5c,(其中a,b,c约数，求m和n的和.7、在1到100中，恰好有6个约数的数 个【解析】6只能表示为51或1121，所以恰好有6个约数的数要么能表示成某个质数的5次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100以内符合前者的只有32，符合后者的数枚举如下：222222222222 3232323245272522所以符合条件的自然数一共有1842116（种8、能被2145整除且恰有2145个约数的数 个2145214535111321453，5，11，13这4个质因数；由于这样的数恰有2145个约数，所以它至多只有4个质因数，否则至少有5个质因数，根据约数个数的计算公式，则有5个大于1的整数的乘积等于2145，而2145只能分解成3，5，11，13的乘积，．所以所求的数恰好只有3，5，11，13这4个质因数．对于这样的每一个数，分解3511134因子的幂次都恰好是231，45110111，12131的一个排列，所以共有4!249、已知一个六位数ababab有32个约数，那么小于50的两位数ab共 个abababab10101ab371337，除去ab外共有(1111)11)11)16个约数，才能满足条件，而在10与50之间有11，13，17，1923293137414347共第二种情况，当ab含有3,7,13,3中的某一个或某几个约数时，要想满足32个约数，只有(121)11)11)(11)ab一定要是3,7,13,37全平方数才能满足32个约数。3291010724950，1321695037250，所以只有7249满足条件。故综上可知满足条件的两位数共有91101、945的约数有多少个？【解析】94533572、边长为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有 边长为自然数，面积为324的形状不同的长方形共 种324223333，共有(21)(4115(151)283、加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序没命工人每小时可完成6个零件，第二道工序每名b、c个工人，有6a=10b=15c=k，那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数，即[6,10,15]=30，所以a=5、b=3、c=2，则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人.至少经过多长时间才能在A点相遇？【解析】甲、乙走一圈分别需要5分钟和8分钟，因此他们要是在A点再次相遇，两人都要走整圈数，所以所需的时间应是5840分钟.则A、B、C的齿数的最小数分别是多少？【解析】当A转4圈时，B恰好转3圈，则A、B齿数的比值为3:4，同理，B、C的齿数比值为5:4，所以A、B、C齿数的比值为15:20:16，所以此时A齿轮至少为15，B的齿轮至少是20，C齿轮至少是16.恰有8个约数的两位数 个【解析】根据约数个数公式，先将8进行分解，8=1×8=2×4=2×2×2，所以恰有8个约数的数至多有3个不同的质因数，分解质因数后的形式可能A7AB3,ABC，进行讨论后有10个符7、能被210整除且恰有210个约数的数有个21023572，3，5，7是1，2，4，6，可以任意排列，所以有4!24个8、自然数N有45个正约数。N的最小值 a8b4a4b2c2等形式，在以上各种形式下，N的最小值分别为244214322834243252，比较这些数的大小，可知244214322834243252，所以最小值是243252一、完全平方数常用性质主要性质完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。p整除完全平方数a2，则p能被a整除一些重要的推自然数的平方末两位只有：09，29，49，69，89，16，36，56，76，96完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。5但末25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是重点公式回a2b2ab)(a完全平方公式:ab2a2b2【例题精讲1写出40以下自然数的平方 648110012114416919622525628932436140044148452957667672978484190096110241089115612251296136914441521【例题精讲2从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？而7223322662由于2313119222008232322048，所以212、222、……、2312都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个．【随堂练习2已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值 先将12!分解质因数122103552711，由于12!除以n得到一个完全平方数，那么这个完全平方数是12!的约数，那么最大可以为2103452，所以n最小为12!2103452371111的幂次是奇数，所以n的最小值是3711231．【例题精讲3写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,360～630之间的完全平方数为【随堂练习3一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少设该数为papa pa，那么它的平方就是p2ap2a p2a 2an139由于39139313⑴2a1132a2113，可得a11a26；故该数的约数个数为116114个；⑵2a1139，可得a119，那么该数的约数个数为1911420【例题精讲4求自然数n，使n45,n44都是完全平方设n45l2n44k2，那么(lk)(lk)l2k289，那么lk89，解得l45,k44lkn【随堂练习4一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？设这个数减去63A2，减去100B2A2B2ABAB1006337371，可知AB37AB1，所以A19B18，这样这个数为182100424【例题精讲5少年宫游客厅内悬挂着 个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。这 个灯泡按1第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态；第三秒，凡编号为3 的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态；一般地，第n秒，凡编号为n的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态；这样继续下去，每4分钟为一个周期。第 秒时，明亮的灯泡有 ）个平方数，比200小的完全平方数有142196，因此亮着的灯有14个【例题精讲6已知ABCA是一个四位数，若两位数AB是一个质数，BC是一个完全平方数，CA是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是 【分析】ABBBC是一个完全平方数，则符合条件的数仅1636，所以可以B13，C6．由于CA是一个质数与一个不1的完全平61～69中只6368符合条件，那A38．那AB可能31，33，81，83，其中是质数的313163【例题精讲7A是一个两位数，它的6倍是一个三位数B，如果把B放在A的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么A的所有可能取值之和为．【分析】如果B放在A的左边，得到的五位数为100BA601A；如果BA的右边，得到的五位数为1000AB1006A；这两个数的差为1006A601A405A，是一个完全平方数，而405925A5与一个完全平方数的乘积．A又是一个两位数，所以可以为522、532、542，A的所有可能取值之和为522532542145．【例题精讲8考虑下32个数：1!，2!3!，……32!，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是． 32!(1!)22(3!)24 (31!)2 31!)2(24 31!)221616!所以，只要划去16!数．另外，由于16!1615!16也是完全平方数，所以划去15!也满足题1、正整数7654321234567是否是完全平方数？为什7654321234567的末尾是72、下面是一个算式1121231234123456789，问这个算式的的得解决。1121231234 123456789的末位数字是由几个数的末位数字求和，所以和数的末位数字与126400