一概率论的基本概念

可能出现的结果:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”。

实例1

“抛掷一粒骰子,观察出现的点数”。（2）随机现象:

实例2

“医院中出生的宝宝的性别”。女,男。可能出现的结果：实例3

“观察明天的天气”。可能出现的结果：晴，多云，雨。第1页/共86页第一页，共87页。例如:一门火炮在一定条件下进行射击,个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差,但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性,如一定的命中率,一定的分布规律等等.又如:在一个容器内有许多气体分子,每个气体分子的运动存在着不定性,无法预言它在指定时刻的动量和方向.但大量分子的平均活动却呈现出某种稳定性,如在一定的温度下,气体对器壁的压力是稳定的,呈现“无序中的规律”.

随机现象在大量重复观察或试验下，它的结果呈现出统计规律性：第2页/共86页第二页，共87页。第一节随机试验对随机现象的试验或观察的称为随机试验，简称试验，并记之以英文字母E.

要求随机试验具有下列特点:(1)试验可以在相同的条件下重复进行;

(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能的结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.第3页/共86页第三页，共87页。几个具体试验

:

的情况.和反面观察正面将一枚硬币抛掷三次,THE2出现

:

观察正面将一枚硬币抛掷三次,HE3出现的次数.第4页/共86页第四页，共87页。在一批灯泡中任意抽取一支,测试它的寿命.第5页/共86页第五页，共87页。样本点e.

S一、样本空间第二节样本空间随机事件第6页/共86页第六页，共87页。

例如,试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面H、反面T出现的情况:

S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}第1次第2次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):则样本空间第7页/共86页第七页，共87页。E1:抛一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情况.

则样本空间为S1

={H,T}E2:将一枚硬币抛掷三次,观察正面H、反面T出现的情况.则样本空间为S2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}E3:将一枚硬币抛掷三次,观察正面H出现的次数.则样本空间为S3={0,1,2,3}第8页/共86页第八页，共87页。E7:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度.则样本空间为S7={(x,y)|T0≤x≤y≤T1}这里x表示最低温度,y表示最高温度;并设这一地区的温度不会小于T0,不会大于T1.E4:抛一粒骰子,观察出现的点数.则样本空间为S4={1,2,3,4,5,6}E5:记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.

则样本空间为S5={0,1,2,3,…}E6:在一批灯泡中任意抽取一只,测试它的寿命.

则样本空间为S6={t|t≥0}第9页/共86页第九页，共87页。试验的样本空间的子集称为的随机事件.二、随机事件第10页/共86页第十页，共87页。如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.事件B={奇数点}事件A={1点}事件C{点数大于4}=第11页/共86页第十一页，共87页。基本事件:如在掷骰子试验中，观察掷出的点数.

事件Ai

={i点},i=1,2,3,4,5,6由一个样本点组成的单点集.基本事件第12页/共86页第十二页，共87页。必件然事例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于7”是必然事件;即在每一次试验中都必定发生的事件，常用S表示;不件可事能即在每一次试验中都不可能发生的事件，常用Ø

表示.而“掷出点数8”则是不可能事件.第13页/共86页第十三页，共87页。三、事件间的关系与事件的运算第14页/共86页第十四页，共87页。第15页/共86页第十五页，共87页。第16页/共86页第十六页，共87页。则称为第17页/共86页第十七页，共87页。SABSAB第18页/共86页第十八页，共87页。SABSBASASAB第19页/共86页第十九页，共87页。事件的运算满足的规律第20页/共86页第二十页，共87页。第21页/共86页第二十一页，共87页。第22页/共86页第二十二页，共87页。第三节频率与概率

研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.第23页/共86页第二十三页，共87页。一、频率的定义第24页/共86页第二十四页，共87页。第25页/共86页第二十五页，共87页。试验者抛币次数n“正面向上”次数

频率DeMorgan208410610.518Bufen404020480.5069Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005抛掷钱币试验记录第26页/共86页第二十六页，共87页。第27页/共86页第二十七页，共87页。二、概率的公理化定义第28页/共86页第二十八页，共87页。第29页/共86页第二十九页，共87页。第30页/共86页第三十页，共87页。第31页/共86页第三十一页，共87页。第32页/共86页第三十二页，共87页。第33页/共86页第三十三页，共87页。第34页/共86页第三十四页，共87页。第35页/共86页第三十五页，共87页。第36页/共86页第三十六页，共87页。第37页/共86页第三十七页，共87页。第四节等可能概型(古典概型)第38页/共86页第三十八页，共87页。一、古典概型假定某个试验有有限个可能的结果

假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如ei，比任一其它结果，例如ej,更有优势，则我们认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，或者说是等可能的.e1,e2,…，eN

,第39页/共86页第三十九页，共87页。23479108615

例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为1－10.把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.第40页/共86页第四十页，共87页。称这种试验为等可能概型或古典概型.

若随机试验满足下述两个条件：

(1)它的样本空间只有有限多个样本点；

(2)每个样本点出现的可能性相同.

定义1第41页/共86页第四十一页，共87页。

二、古典概型中事件概率的计算第42页/共86页第四十二页，共87页。第43页/共86页第四十三页，共87页。第44页/共86页第四十四页，共87页。第45页/共86页第四十五页，共87页。第46页/共86页第四十六页，共87页。第47页/共86页第四十七页，共87页。第48页/共86页第四十八页，共87页。第49页/共86页第四十九页，共87页。解:把a+b只球摸出来依次排在一直线的a+b个位置上,则可能的排列法相当于把a+b个元素进行全排列,即基本事件总数为n=(a+b)!.而有利于事件Ak的场合相当于在第k个位置上放一个黑球(共有a种选择),而在其余的a+b-1个位置上,由其余的a+b-1个球任意排列,共有m=a(a+b-1)!种排法.所以例4:袋中有a只黑球,b只白球.它们除了颜色不同外,其它方面全同.现以不放回的方式随机地把球一只只摸出来,求第k次摸出的球是黑球(事件Ak)的概率.由此例可引申出这样一个结论：抽签与顺序无关.第50页/共86页第五十页，共87页。第51页/共86页第五十一页，共87页。有许多问题和本例具有相同的数学模型.如历史上有名的“生日问题”:假设每个人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,那么随机选取n(n≤365)个人,问至少有两个人的生日相同的概率为多大？经计算可得下述结果:n 10 20 23 30 40 50 100 P(A) 0.12 0.41 0.51 0.71 0.89 0.97 0.9999997第52页/共86页第五十二页，共87页。第53页/共86页第五十三页，共87页。第五节条件概率第54页/共86页第五十四页，共87页。

在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.一、条件概率1.条件概率的概念如在事件A发生的条件下求事件B发生的概率，将此概率记作P(B|A).

一般地P(B|A)≠P(B)

第55页/共86页第五十五页，共87页。

设在n次试验中，事件A发生m次，事件AB发生k次，于是在事件A发生的条件下，事件B发生的条件频率为

因此第56页/共86页第五十六页，共87页。

若事件A已发生,则为使B也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道A已发生,故A变成了新的样本空间,于是有(1).设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称

(1)2.条件概率的定义为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.又可作如下理解：第57页/共86页第五十七页，共87页。3.条件概率的性质(自行验证)第58页/共86页第五十八页，共87页。

例1

掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解法1解法2解设A={掷出点数之和不小于10}B={第一颗掷出6点}应用定义在B发生后的缩减样本空间中计算第59页/共86页第五十九页，共87页。由条件概率的定义：二、乘法公式得P(AB)=P(A)P(B|A)，该式称为乘法公式。第60页/共86页第六十页，共87页。第61页/共86页第六十一页，共87页。乘法公式应用举例

一个罐子中包含b个白球和r个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.

（波里亚罐子模型）b个白球,r个红球第62页/共86页第六十二页，共87页。于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球.”

解设Wi={第i次取出是白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取出是红球}，j=1,2,3,4第63页/共86页第六十三页，共87页。用乘法公式容易求出=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)第64页/共86页第六十四页，共87页。第65页/共86页第六十五页，共87页。一个事件发生.三、全概率公式第66页/共86页第六十六页，共87页。第67页/共86页第六十七页，共87页。

某一事件A的发生有各种可能的原因Bi(i=1,2,…,n)，则由原因Bi引起A发生的概率是

每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)全概率公式.我们可以下面这个角度去理解第68页/共86页第六十八页，共87页。例：有三箱同型号的灯泡，已知甲箱次品率为1％，乙箱次品率为2％，丙箱次品率为3％。现任选一箱并从中任取一灯泡。（1）求取到次品的概率。（2）已知取到次品，则此次品来自甲箱的概率为多大？第69页/共86页第六十九页，共87页。

贝叶斯公式用于已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小.四、贝叶斯公式第70页/共86页第七十页，共87页。

P(Ai)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化

在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai

|B)分别称为原因的先验概率和后验概率.第71页/共86页第七十一页，共87页。例：有三箱同型号的灯泡，已知甲箱次品率为1％，乙箱次品率为2％，丙箱次品率为3％。现任选一箱并从中任取一灯泡。（1）求取到次品的概率。（2）已知取到次品，则此次品来自甲箱的概率为多大？第72页/共86页第七十二页，共87页。第六节独立性第73页/共86页第七十三页，共87页。如果P(A|B)=P(A)也就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,则称事件A、B独立.一、两事件的独立性

由乘法公式知，当事件A、B独立时，有

P(AB)=P(A)P(B)第74页/共86页第七十四页，共87页。若两事件A、B满足

P(AB)=P(A)P(B)

则称A、B相互独立，简称A、B独立.两事件独立的定义第75页/共86页第七十五页，共87页。

在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.

甲、乙两人向同一目标射击,记A={甲命中},B={乙命中}，则A与B相互独立.例如第76页/共86页第七十六页，共87页。一批产品共n件，从中抽取2件，设

Ai={第i件是合格品}i=1,2若抽取是有放回的,则A1与A2独立.因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.又如：因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.第77页/共86页第七十七页，共87页。请问：如图的两个事件是独立的吗？

即若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,则A与B不独立.反之，若A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0,则A

、B不互斥.而P(A)≠0,P(B)≠0故A、B不独立我们来计算：P(AB)=0P(AB)≠P(A)P(B)即第78页/共86页第七十八页，共87页。定理2

若两事件A、B独立,则

也相互独立.第79页/共86页第七十九页，共87页。

对于三个事件A、B、C，若

P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立.二、多个事件的独立性第80页/共86页第八十页，共87页。请注意多个事件两两独立