1.3线段的垂直平分线（二）

第一章三角形的证明复习旧知1、线段垂直平分线的性质定理：

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。2、线段垂直平分线的判定定理：

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

求证：三角形三边的垂直平分线交于一点,这一点到三个顶点的距离相等。已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点O.求证：O点在AC的垂直平分线上．且OA=OB=OC证明：连接AO，BO，CO．

∵点O在线段AB的垂直平分线上，∴OA=OB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．同理OB=OC．∴OA=OC．∴O点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)．∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点OOA=AB=OC,即O到三顶点的距离相等。CBAO如果三角形为直角或钝角，中垂线J交点位置还在三角形内部吗？锐角三角形内部直角三角形斜边中点钝角三角形外部

定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。三角形三边的垂直平分线的性质定理

情景引入

如图，有A、B、C三个工厂，现要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，你能确定供水站的位置吗？ABC议一议

(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等．

1ADCBAah()DCBAah1ADCBAah1A议一议(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?

这样的等腰三角形也有无数多个．根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．如图所示，这些三角形不都全等．议一议

(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出一个符合条件等腰三角形吗?能作几个?

这样的等腰三角形应该只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．

你能尝试着用尺规作出这个三角形吗?放开手脚做一做已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h作法：1．作BC=a；

2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；

3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；

4．连接AB、AC∴△ABC就是所求作的三角形NMDCBahA

（1）例题：已知直线a

和a上一点P，用尺规作a

的垂线，使它经过点P.

（2）拓展：如果点P是直线a外一点，那么怎样用尺规作a的垂线，使它经过点P呢？说说你的作法.4.（烟台·中考）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）A．80°

B．70°C．60°D．50°BADECC5.下列说法错误的是()(A)三角形三条边的垂直平分线必交于一点。(B)如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边。(C)平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等。(D)三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称。【解析】选D.等边三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称，等腰三角形关于底边上的垂直平分线成轴对称，一般三角形不是轴对称图形，D选项没有说明三角形的形状，所以D选项说法错误.6.如图所示，在△ABC中，∠B＝22.5°,AB的垂直平分线交BC于点D，DF⊥AC于点F,并与BC边上的高AE交于G.求证：EG＝EC.

【证明】连接AD.∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴DA＝DB,∴∠DAB＝∠B＝22.5°,∴∠ADE＝∠DAB＋∠B＝45°.∵AE⊥BC,∴∠DAE＝∠ADE＝45°,∴AE＝DE.又∵DF⊥AC,∴∠DFC＝∠AEC＝90°,∴∠C＋∠CAE＝∠C＋∠CDF＝90°,∴∠CAE＝∠CDF,∴△DEG≌△AEC,∴EG＝EC.7.已知：线段a.求作：△ABC，使∠ACB=90°，AC=BC=a.【解析】作法：（1）作直线l；（