因式分解定理

因式分解与多项式系数所在数域有关如：（在有理数域上）问题的引入（在实数域上）（在复数域上）一、因式分解定理第1页/共32页第一页，共33页。设，且，若不能表示成数域P上两个次数比低的多项式的

定义5.6乘积，则称为数域P上的不可约多项式.注①

一个多项式是否不可约依赖于系数域.

②

一次多项式总是不可约多项式.

1、不可约多项式第2页/共32页第二页，共33页。③

多项式不可约.的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍.或

引理

多项式不可约，对有证：设则

或即或第3页/共32页第三页，共33页。不可约.，若

则或

证：若结论成立.若不整除，则

定理5.7设不可约，

则必有某个使得

推广：设第4页/共32页第四页，共33页。若，则可唯一地分解成数域P上的一些不可约多项式的乘积.

所谓唯一性是说，若有两个分解式

定理5.8则，且适当排列因式的次序后，有

其中是一些非零常数．

2、因式分解及唯一性定理第5页/共32页第五页，共33页。总可表成

对其中为的首项系数，为互不相同的，

首项系数为1的不可约多项式，的标准分解式.称之为

标准因式分解式：第6页/共32页第六页，共33页。注：①

若已知两个多项式的标准分解式,则可直接写出就是那些同时在的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带方幂指数等于它在中所带的方幂指数中较小的一个．第7页/共32页第七页，共33页。例

若的标准分解式分别为则有第8页/共32页第八页，共33页。

②虽然因式分解定理在理论有其基本重要性，但并未给出一个具体的分解多项式的方法．实际上，对于一般的情形，普通可行的分解多项式的方法是不存在的．而且在有理数域上，多项式的可约性的判定都是非常复杂的．第9页/共32页第九页，共33页。第10页/共32页第十页，共33页。二、重因式设

为数域P的不可约多项式，

则称为的重因式，其中k是非负整数.若>1,则称为的重因式.（若=0，不是的因式)

若，但

定义5.7若＝1,则称为的单因式.1、定义第11页/共32页第十一页，共33页。

若

的标准分解式为：

则

为的重因式.

时，为单因式

;时,

为重因式

.2、重因式的判别和求法方法一：第12页/共32页第十二页，共33页。方法二：

（定理5.9）若不可约多项式是的重因式则它是的微商的重因式.为

的

重因式，但未必是的重因式.

注：定理5.9的逆命题不成立，即第13页/共32页第十三页，共33页。例举例说明下面命题是不对的．

解：令则但

是的2重根，

不是的根，从而不是的3重根．

第14页/共32页第十四页，共33页。推论1若不可约多项式

是

的

重因式则

是

的因式，但不是

的因式.推论2不可约多项式

是

的重因式

是

与

的公因式.

第15页/共32页第十五页，共33页。推论3注:不可约多项式

为

的

重因式

为的

重因式.

与

有完全相同的不可约因式，且的因式皆为单因式.第16页/共32页第十六页，共33页。

，若

其中

为不可约多项式，

则

为

的

重因式.

推论4推论5多项式没有重因式第17页/共32页第十七页，共33页。根据推论3、4可用辗转相除法，求出注：来判别

是否有重因式．若有重因式，还可由的结果写出来.

例5.6

判别多项式有无重因式.若有求出重因式，及其重数.第18页/共32页第十八页，共33页。第19页/共32页第十九页，共33页。三、多项式函数与余数定理1.多项式函数将的表示式里的用代替，得到P中的数称为当时的值，记作这样，对P中的每一个数，由多项式确定P中唯一的一个数与之对应，于是称为P上的一个多项式函数．设数

第20页/共32页第二十页，共33页。若多项式函数在处的值为0，即

则称为的一个根或零点．

2.多项式函数的根(或零点)

易知，若则，第21页/共32页第二十一页，共33页。（余数定理）：若用一次多项式去除多项式

则所得余式是一个常数，该常数等于函数值

二、多项式函数的有关性质1.余数定理（定理5.10）

是的根

推论:第22页/共32页第二十二页，共33页。

例1

求在处的函数值.法一：把代入求

用去除所得余数就是

法二：答案：第23页/共32页第二十三页，共33页。若是的重因式，则称为

的重根.当时，称为的单根．

当时，称为的重根．

2.多项式函数的k重根定义第24页/共32页第二十四页，共33页。注：

①是的重根是的重因式．

②有重根必有重因式．反之不然，即有重因式未必有重根．例如，为的重因式，但在R上没有根．第25页/共32页第二十五页，共33页。3.根的个数定理(定理5.11)任一中的次多项式在中的根

不可能多于个，重根按重数计算．

4.定理5.12且

若有使

则

第26页/共32页第二十六页，共33页。证：令则有

由Th5.11，若的话，则矛盾．所以，即有

个根，即定理5.12第27页/共32页第二十七页，共33页。解：例2求t

值，使有重根．法一：辗转相除法第28页/共32页第二十八页，共33页。若即则此时，有重根，为的三重根．若即则此时，有重根，为的二重根．第29页/共32页第二十九页，共33页。法二：利用重根的定义和性质第30页/共32页第三十页，共33页。例3

若求

解：从而，1为的根．于是有，

1为

的重根，第31页/共32页第三十一页，共33页。谢谢您的观看！第32页/共32页第三十二