数值分析报告公式、定理等

实用第一章绪论1.x＝10k0.a1a2an，如果｜x－x|≤0.510kn（这里n是使此式成立的最大正整数），则称x为x的具有n位有效数字的近似值。2．定理：设x的近似值x有（1-1）的表示式：（１）如果x有n位有效数字，则|xx|1101n|x|2a1|xx|1101n，则x至少有n位有效数字。（２）如果|x|2(a11)第二章非线性方程根求解1.（零点存在定理）如果f(x)在[a,b]上连续，使f(a)f(b)<0，则必存在(a,b)，使f()=0。2.二分法的误差：|xkx||xkxk1|ba2k13.局部收敛性：设是f(x)=0的根，若存在的一个邻域，当迭代初值属于时，迭代法得到的序列{xk}收敛到，则称该迭代法关于根具有局部收敛性。4.收敛速度：设xi为第i次迭代值，是f(x)=0的根，令ixi，且假设迭代收敛，即limxi。若存在实数P1，使lim|i1|0，则称此方法关于根具有Ppcii|i|阶收敛速度。C称为渐近误差常数，渐近误差常数C与f(x)有关。C0保证了P的唯一性。对于特殊的函数，C可能为零，此时，由这个函数针对此方法迭代产生的序列收敛得更快。一般情况下，P越大，收敛就越快。当P=1时，我们称为线性收敛。P>1，称为超线性收敛。P=2，称为平方收敛。5.牛顿迭代法：xk1xkf(xk)f(xk)定理3：如果方程f(x)=0的根是单根，且在的某领域内f(x)具有二阶的连续导数,则Newton迭代法必是局部收敛的且limi12ii

f ( )（即具有二阶收敛速度）2f ( )定理4：如果 是方程f(x)=0 的r重根（r>1），且f(x) 在 的某邻域内具有 r阶连续导数，则Newton法具有局部收敛性，且具有线性收敛速度。定理5：如果 是方程f(x)=0 的r重根（r>1），且f(x) 在 的某邻域内具有 r+2阶连续导数，则修正 Newton迭代公式： xi1 xi r f(xi)f(xi)，具有局部收敛性，且具有二阶收敛速度。文档实用定理6：设f(x)在f(x)=0的有根区间[a,b]上二阶导数存在，且满足：（1）f(a)f(b)<0；（2）f(x),f(x)在[a,b]中不变号。则对[a,b]任一使f(x)f(x)>0的点x0，都能使Newton迭代法：xkf(xk)得到的序列xk收敛到方程f(x)=0唯一的根。1xk(xk)f6.弦割法：xi1xif(xi)(xixi1)f(xi)f(xi1)定理７：设f(x),f(x),f(x)在包含f(x)=0的根的某区间上连续，且是其单根，则如果初始值x0和x1选得充分接近，由（2—12）产生的迭代序列收敛于，收敛的阶是1|p115，且lim|if()p2||p2f()ii第三章插值法1.定义：设f(x)为定义在[a,b]上的函数，x0,x1,,xn为［a,b］上n+1个互不相同的点，Ｙ为给定的某一个函数类，若Ｙ上有函数y(x)，满足：y(xi)f(xi),i0,1,2,,n(3—１)，则称y(x)为f(x)关于节点x0,x1,,xn在Ｙ上的插值函数，点x0,x1,,xn称为插值节点,f(x)称为被插值函数。包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，条件（3—１）称为插值条件。2.定理：设Mn(x)表示次数不超过n次的多项式的全体，则满足插值条件（3—１）的，属于函数类Ｙ＝Mn(x)的插值多项y(x)存在且唯一。n3.Lagrange 插值多项式： y(x)1kjlj(xk)kj0(xx0)(xx1)(xlj(x)x1)(xj(xjx0)(xjn1(x)(xx0)(xx1)(x定理２：设f(x)在［a,b］上存在

f(xj)lj(x)j 0xj1)(x xj1) (x xn)xj1)(xj xj1) (xj xn)nxn) (x xi)，i 0n阶连续导数，在（ a,b）上存在 n+1阶导数，Ln(x)是满足条件（3－１）属于Mn(x)插值多项式，则对任何x (a,b)，插值余项为：文档实用Rn(x)f(n1)()n1(x)，其中n(a,b)，且依赖于x，n1(x)(xxj)(n1)!j0推论：满足条件(3—3)的Lagrange插值基函数：lj(x),(j0,1,,n)，有如下性质：nxkjlj(x)xk，(k=0,1,n（1）⋯,n)，特别lj(x)1j0j0nx)klj(x)（2）(xj0（k=1,⋯,n）j04.差商（均差）与Newton插值法f[x0,x1,,xk]f[x1,x2,,xk]f[x0,x1,,xk]为f(x)关于节点x0,x1,,xk的kxkx0阶差商。k1性质1：f[x0,x1,,xk]f(xj)(xjxij0)ij性质2：如果i0,i1,,ik是0，1，2，⋯，k的一个排列，则f[xi0,xi1,,xik]=f[x0,x1,,xk]性质3：Newton插值多项式的余项为R(x)=f(x)-Nn(x)=f[x0,x1,,xn,x]n1(x)性质4：如果f(x)有n阶导数，则f(n)()f[x0,x1,,xn]n!5.差分及插值公式：见教材P31.6.Hermite插值多项式：用Hermite插值多项式去替代f(x)产生的误差为：R(x)=f(x)-H(x)。如f(x)在(a,b)中有n+r+2阶导数时，误差可写成如下形式R(x)n1(x)r1(x)f(nr2)()，其中（a,b）(nr2)!三次样条插值定义：如果函数 S(x)在[a，b]区间满足：S(x)在[a，b]上具有二阶连续导数。(2)对［a，b］上的划分ax0x1xnb,S(x)在每一个区间[xi,xi1]上，S(x)是一个不高于３次的多项式，(i=0,1,⋯,n-1)。则我们称S(x)是关于划分ax0x1xnb的一个三次样条函数。三次样条插值唯一性的条件：（1）第一边界条件：S(a)f(a),S(b)f(b)（2）第二边界条件：S(a)f(a),S(b)f(b)。特别S(a)0,S(b)0称为自然边界文档实用条件。（3）第三边界条件（周期条件）：当f(x)是以b-a为周期函数时，再增加边界条件：S(k)(a0)S(k)(b0)k0,1,2第四章函数逼近与曲线拟合1.权函数定义：设[a,b]是有限区间或无限区间，在[a,b]上的非负函数x满足条件：(1)bxk(x)dx存在且有限（k=0,1,），ab(x)dx0，则g(x)0(2)对[a,b]上的非负函数g(x)，如果g(x)，a则称x为权函数2.最佳平方逼近：minf(x)s(x)2，s(x)a00(x)a11(x)ann(x)2s(x)定理4设fxCa,b,0x,1x,,nx是Ca,b中的线性无关的函数系，span 0(x),1(x), ,n(x)，则①minf(x)s(x)2存在且唯一。2s(x)②最优解为s(x)a00(x)a11(x)ann(x)其中a0,a1,,an是下面方程组（称之为正规方程组）的解：(0,0)(0,1)(0,n)a0(0,f)(1,0)(1,1)(1,n)a1(1,f)(n,0)(n,1)(n,n)an(n,f)这里(i,j),(i,f)是函数的内积。22222f(x)s(x)2=f(x)2s(x)2ms(xi)23.最小二乘曲线拟合：minwif(xi)s(x)0i定理5设f(x0),f(x1),,f(xm)已知，这里不妨设x0x1xm，0(x),1(x),,n(x)是在x0,xm上给定的的函数系，则①minfs22的解存在。s(x)

2-2）2-3）② 最优解为s(x) a0 0(x) a11(x) an n(x) （3-3）文档实用其中a0,a1, ,an是下面方程组（称之为正规方程组）的解：(0,0)(0,1)(0,n)a0(0,f)(1,0)(1,1)(1,n)a1(1,f)（3-4）(n,0)(n,1)(n,n)an(n,f)如果（3-4）中的系数矩阵为非奇异，则（3-2）的解唯一。这里(i,j),(i,f)是Rm1上向mm量的加权内积，即：(i,j)wki(xk)j(xk)，(i,f)wki(xk)f(xk)。k0k04.正交函数与正交项定义6.假设0(x),1(x),,n(x)都是内积空间Ca,b上的线性无关的函数。如果它们两两正交，即(i,j)0.(ij)，则称连续型函数系0(x),1(x),,n(x)是正交系。定理6(Gram-Schmidt正交化定理)设函数系0(x),1(x),,n(x)是内积空间Ca,b上线性无关的函数系，则：，是Ca,b上的线性无关的正交函数系。推论1.定理6中的k(x)可由0(x),1(x),,k(x)唯一表示(k0,1,2,,n),k(x)也可由0(x),1(x),,k(x)唯一表示。(0,0)00a0(0,f)0(1,1)0a1(1,f)，最佳逼近函数00(n,n)an(n,f)s(x)a00(x)a11(x)an(k,f)，k0,1,,n，n(x)，akk)(k,222n(ak)2(k,f(x)s(x)2k)平方误差：s2f(x)2。k0定理9.对在内积空间Ca,b上的任一正交多项式系0(x),1(x),,n(x)，则k(x)在开区间(a,b)内恰有k个不同的实零点(k1)。文档实用Legendre多项式：定义7在C1,1，取权函数(x)1，称多项式p0(x)1pn(x)1dn2n，为Legendre多项式。nn!dxn(x1),n12性质4.（Legendre多项式的正交性）0,nmpm(x),pn(x)2,nm2n1性质5（奇偶性）npn()(1)pn()xxChebyshev多项式：定义8.在C1,1中，称多项式Tn(x)cos(narccosx),n0,1,为Chebyshev多项式。性质7.（递推关系）Tn1(x)2xTn(x)Tn1(x),n1,2,T0(x)1；T1(x)x；T2(x)2x21；T3(x)4x33x；T4(x)8x48x21T5(x)16x520x35x；T6(x)32x648x418x215.最佳一致逼近：minf(x)s(x)s(x)定理14（唯一性定理），设f(x)a,b，则在span1,x,,xn中f(x)的最佳一致逼近多项式是唯一的。推论：在区间1,1上所有最高次项系数为1的n次多项式中，wn(x)偏差最小，其偏差为1，这里Tn(x)是n次Chebyshev多项式。2n1定理15.设f(x) C2a,b，县对 x (a,b)，f(x) 0，令

12n1Tn(x)与零的span1,x,，则minf(x)s(x)中最优解s(x)可如下得到：s(x)a0a1xs(x)f(b)f(a)其中：a1abf(a)f(x2)ax2f(b)f(a)a022bax2(a,b)，且满足f(x)a1的解。第五章 线性方程组的直接解法矩阵的三角分解文档实用a11aik定理：设方阵A(aij)nn，记kdet，（k=1,⋯,n），称k为顺序主子式，ak1akk如果方阵A的n个顺序主子式都不等于零，则A一定可以解成LU的形式且分解唯一。1

u11u12u1n设：A (aij)nn

l21ln1

1u22u2nmin(i,j)，则得：aijlikukj这里lii=1，k1ln2lnn11unni1i1当ij时，因aij当i>j时，因aij

likukjliiuij,得：uijaijlikukj（j=i,⋯,n）（4—1）k1k1j1j1likukjlijujj得：lij(aijlikukj)ujj（i=j+1,⋯，n）（4—2）k1k1i1（4-2）中i与j的位置互换得：lji(ajiljkuki)uii（j=i+1,⋯,n）。k1对称正定矩阵的Cholesky分解性质1：如果A是正定阵，则A必可Doolittle分解：A=LU。性质3：如果A是正定阵，则~~T~A可分解成A=LL，其中L是下三角阵。~ai1uai1~2（i=1,⋯,n）Cholesky分解：liilikkiiiliiikk1k1~(aiji1ljkukiuiiuii=(ajii1~~~(j>i)ljiljklik))liik1k1n定义：设矩阵Ann(aij)nn，如果满足条件：|aii||aik|(i=1,⋯,n)，则称此矩阵为k1ki严格对角占优阵。定理：如果矩阵A是严格对角占优阵，则detA0。推论1：如果A是严格对角占优阵，则A的所有顺序主子式都不为零。推论2：如果A是严格对角占优阵，则A可Doolittle分解。方程组的性态、条件数向量的范数：定义1：对任意n维向量xRn，都定义了一个非负实数，记为||x||，且满足下列三个条件：①对任意向量xRn有||x||0,||x||=0当且仅当x=0②对任意数R，||x||||||x||文档实用③||x y||||x|| ||y||则称|| ||为n维向量空间 Rn上的一个范数。n维向量空间 Rn上常用的向量范数有：（1）||x||2|x1|2|xn|2；（2）||x||1|x1||x2||xn|；max{|xi|}；（4）xpppxnp（３）||x||x11in性质4（向量范数的等价性）设||||a,||||b为n维向量空间Rn上的任意二个不同的范数，则必存在常数c10,c20，使对Rn中的任意向量x有c1xbxac2xb。矩阵的范数：定义3：对任意n阶方阵A，若对应一个非负实数||A||满足：（1）||A||0，等号当且仅当A=0时成立（2）对任意数，||A||||||A||（3）对任意两个n阶方程A，B有||AB||||A||||B||（4）||AB||||A||||B||则称||||是所有n阶方阵所构成的空间上的一个范数（我们这里主要是实的方阵）。设A=(aij)nn，常用的矩阵范数有：n(1)||A||1max|aij|1jni1n(2)||A||max|aij|1in1j（3）||A||21,T的最大特征值（也称2范数）1为AAnn|2（4）||A||F|aij（也称Frobenius范数）i1j1向量范数与矩阵范数之间有如下的关系：||Ax||||A||||x||。方程组的性态、条件数：||x||||A1||||A||||b||；cond(A)=||A1||||A||。||x||||b||第六章线性方程组的迭代法x(k)=Bx(k-1)+g，B为迭代矩阵1简单迭代.定理1：简单迭代格式（6—3）收敛的充要条件是B(k)0(k)。定义2：设nn阶矩阵B的n个特征值为1,,n，称(B)max|i|为矩阵B的谱半径。iin定理2：nn阶矩阵A，有Ak0(k)的充要条件是(A)<1定理3：设||||为Rnn上定义的一个范数,如果A1,则(A)1。文档实用定理4：如果简单迭代法（6—3）的迭代矩阵B满足下列条件之一nn（1）||B||1max{|bij|}1；（2）||B||max{|bij|}11jni11inj1nn2（3）||B||F|bij|1，则简单迭代法、Seidel迭代法都收敛，这里B=（b）ijj1i1nn2.Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代x(k)1(ax(k1)ax(k1)ax(k1)b)131a1112231nn1x2(k)1(a21xJacobi迭代，a22xn(k)1(an1xannB=I－D1A，g=D1b，D=diag(a

(k1)(k1)(k1)b2)1a23x3a2nxn(k1)an2x(k1)an3x(k1)(k1)bn)123ann1xn111,⋯，ann)定理１：Jacobi迭代（6—11）收敛的充要条件是（Ｉ－D1Ａ）<１。定理2：若方程组Ax=b的系矩阵Ａ满足下面条件中的任何一条，则其Jacobi迭代法及Gauss-Seidel迭代法都收敛。（１）Ａ为行对角占优阵，即：|aii||aij|（i=1,2,⋯,n）ji（２）Ａ为列对角占优阵，即：|ajj||aij|(j=1,2⋯,n)ij|aij|，ajj0(j=1,2，⋯,n)Ａ的元素满足：ij|aii1|x(k)1(ax(k1)ax(k1)ax(k1)b)1a111221331nn1x(k)1(ax(k)ax(k1)ax(k1)b)Gauss-Seidel2a222112332nn2迭代，xn(k)1(an1x1(k)an2x2(k)an3x3(k)ann1xn(k1)bn)annB=(D－L)1U，常数项为(D－L)1b，收敛的充要条件是（(D－L)1U)<1，文档实用00a12a1n0a210L=－,Uan1an2ann10a(n1)n0定理4：若方程组系数矩阵Ａ为正定阵，则其Guass-Seidel迭代收敛。定理5：设ＡRnn具有正对角线元素的对称矩阵，则解线性方程组Ax=b的Jacobi迭代法的收敛的充要条件是Ａ和２Ｄ－Ａ都是正定阵。易知Ａ与２Ｄ－Ａ的差别仅是非对角线元素的符号不同(D=diag(a11,⋯，ann))。3.SOR1i1nxi(k)xi(k1)(biaijx(jk)aijx(jk1))(j=1,⋯,n)aiij1jiB(DL)1[(1)DU]，SOR方法收敛的充要条件是（B）<1定理1：SOR方法收敛的必要条件是：0<<2定理2：如果A是正定对称阵，且0<<2，则解方程组Ax=b的SOR方法收敛。定理3：若A为严格对角占优阵，则当0<1时，SOR方法收敛。第七章数值积分和数值微分数值积分及代数精度nQ(f)=Aif(xi)，xi(i=0,1,⋯,n)i⋯,n)与f(x)无关的。（7—1）是互异的，A(i=0,1,i0bn误差：E(f)=Aif(xi)f(x)dx－nai0定义：如果求积公式（7—1）对所有次数不超过k次的多项式f(x)能精确成立（即E（f）=0)，而至少存在一个k+1次多项式g(x)是不成立，即E(g)0，则称该公式具有k次代数精度。定理7—1：求积公式（7—1）有k次代数精度的充要条件是对f(x)=1,x，⋯，xk：都精确成立，而对f(x)=xk+1不成立。定理7—2：求积公式（7—1）的代数精确度不超过2n+1。2.等距节点的Newton-Cotes公式Aib(xx0)(xx1)(xxi1)(xxi1)(xxn)（i=0,1,⋯,n）a(xix0)(xix1)(xixi1)(xixi1)(xidxxn)误差：En(f)bnbf(n1)(x)x0)(xx1)(xxn)dxaf(x)dx－Aif(xi)=(xi0a(n1)!性质1：有n+1个节点的插值型求积公式（7—3）的代数精度至少有n次。文档实用n性质2：有n+1个节点的插值型求积公式（7—3）的求积系数满足：Aibai0bba梯形公式（n=1）：f(x)dx[f(a)f(b)]aSimpson公式（n=2）：bf(x)dxaCotes公式（n=4）：bf(x)dxa

2ba[f(a)4f(ab)f(b)]62ba32f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(x4)][7f(x0)90n性质3：对固定的 n，Newton-Cotes系数满足(n 1)： ci(n) 1i 03.公式的误差分析梯形公式的误差分析：E1(f)f(