2018届数学二轮复习寒假作业（二十一）算法、复数、推理与证明（注意速度和准度）理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE16学必求其心得，业必贵于专精寒假作业（二十一)算法、复数、推理与证明（注意速度和准度）一、“12＋4”提速练1．设z＝1＋i（i是虚数单位)，则eq\f(2，z)－eq\x\to（z)＝（）A．i B．2－iC．1－i D．0解析：选D因为eq\f（2,z）－eq\x\to（z)＝eq\f（2,1＋i)－1＋i＝eq\f（21－i，1＋i1－i）－1＋i＝1－i－1＋i＝0，故选D。2．已知复数z＝eq\f(a＋i,2i)(a∈R），且z的实部与虚部相等，则z的共轭复数eq\x\to(z）＝（)A。eq\f（1，2）＋eq\f（1，2）i B。eq\f（1，2）－eq\f(1，2)iC．1＋i D．1－i解析:选Bz＝eq\f(a＋i,2i)＝eq\f(a＋ii，－2）＝eq\f(ai－1,－2）＝eq\f(1,2)－eq\f(a，2)i，因为z的实部与虚部相等，所以z＝eq\f（1,2)＋eq\f(1,2)i,则z的共轭复数eq\x\to(z)＝eq\f(1,2）－eq\f（1，2）i。3．在复平面内与复数z＝eq\f（2i,1＋i）所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为()A．1＋i B．1－iC．－1－i D．－1＋i解析:选B因为z＝eq\f(2i，1＋i）＝eq\f(2i1－i,1＋i1－i）＝i(1－i)＝1＋i，所以A点坐标为（1，－1)，其对应的复数为1－i,故选B。4．(2017·北京高考）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（)A．2 B。eq\f（3,2）C。eq\f(5，3) D.eq\f(8,5)解析：选C运行该程序，k＝0，s＝1，k〈3；k＝0＋1＝1，s＝eq\f(1＋1，1)＝2，k〈3；k＝1＋1＝2，s＝eq\f(2＋1，2）＝eq\f（3，2),k〈3；k＝1＋2＝3，s＝eq\f(\f（3,2)＋1,\f(3，2）)＝eq\f(5，3)，此时不满足循环条件，输出s，故输出的s值为eq\f(5，3)。5．若z＝（a－eq\r（2）)＋ai为纯虚数，其中a∈R,则eq\f(a＋i7，1＋ai)＝（）A．i B．1C．－i D．－1解析：选C∵z为纯虚数,a∈R,∴a＝eq\r(2），∴eq\f(a＋i7,1＋ai）＝eq\f（\r（2）－i，1＋\r(2）i）＝eq\f(\r(2）－i1－\r(2)i，1＋\r（2）i1－\r(2）i)＝eq\f(－3i，3)＝－i.6．阅读如图所示的程序框图，为使输出的S为31,则①处应填的表达式为（)A．i≤3 B．i≤4C．i≤5 D．i≤6解析：选B第一次循环,得S＝3，i＝2;第二次循环，得S＝7,i＝3；第三次循环，得S＝15，i＝4；第四次循环，得S＝31，此时满足题意，输出的S＝31，所以①处可填i≤4，故选B.7．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（)A．5 B．6C．7 D．8解析:选B执行程序框图，第一步：n＝12，i＝1，满足条件n是3的倍数，n＝8，i＝2,不满足条件n＞123；第二步：n＝8,不满足条件n是3的倍数，n＝31，i＝3,不满足条件n＞123；第三步:n＝31，不满足条件n是3的倍数，n＝123,i＝4,不满足条件n＞123；第四步：n＝123，满足条件n是3的倍数，n＝119,i＝5，不满足条件n＞123；第五步：n＝119，不满足条件n是3的倍数,n＝475，i＝6，满足条件n＞123，退出循环，输出i的值为6.8．将正整数排列如下图：12345678910111213141516…则图中数2018出现在(）A．第44行第83列B．第45行第83列C．第44行第82列D．第45行第82列解析:选D由题意可知第n行有2n－1个数，则前n行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2,因为442＝1936，452＝2025,且1936＜2018＜2025，所以2018在第45行，又2018－1936＝82,故2018在第45行第82列．9．（2017·洛阳统考)某程序框图如图所示，该程序运行结束时输出的S值是(）A．1007 B．3026C．2016 D．3024解析：选B依题意，在数列{an}中,an＝nsineq\f（nπ,2)＋1，a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n＝［(4n－3）＋1］＋(0＋1）＋［－（4n－1)＋1］＋（0＋1)＝2，注意到2017＝4×504＋1,所以数列｛an}的前2017项和等于504（a1＋a2＋a3＋a4)＋a2017＝504×2＋2018＝3026.10．（2018届高三·惠州调研)执行如图所示的程序框图,则输出的结果为()A．7 B．9C．10 D．11解析:选B法一:第一步：i＝1，S＝lgeq\f（1，3)＝－lg3>－1；第二步：i＝3，S＝lgeq\f（1,3）＋lgeq\f(3,5）＝lgeq\f(1,5)＝－lg5>－1;第三步：i＝5，S＝lgeq\f（1，5)＋lgeq\f(5,7)＝lgeq\f(1，7)＝－lg7〉－1;第四步：i＝7，S＝lgeq\f（1，7)＋lgeq\f（7,9)＝lgeq\f(1，9）＝－lg9〉－1；第五步：i＝9，S＝lgeq\f（1,9）＋lgeq\f（9,11)＝lgeq\f（1，11)＝－lg11〈－1，故输出的i＝9.法二：因为S＝lgeq\f(1，3)＋lgeq\f(3，5）＋…＋lgeq\f(i,i＋2)＝lg1－lg3＋lg3－lg5＋…＋lgi－lg(i＋2）＝－lg（i＋2）,当i＝9时，S＝－lg(9＋2）<－lg10＝－1，所以输出的i＝9.11．已知数列{an｝是正项等差数列，若cn＝eq\f(a1＋2a2＋3a3＋…＋nan,1＋2＋3＋…＋n），则数列{cn｝也为等差数列．已知数列｛bn}是正项等比数列,类比上述结论可得()A．若{dn｝满足dn＝eq\f(b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn,1＋2＋3＋…＋n），则{dn}也是等比数列B．若｛dn｝满足dn＝eq\f(b1·2b2·3b3·…·nbn,1·2·3·…·n)，则｛dn｝也是等比数列C．若{dn｝满足dn＝（b1·2b2·3b3·…·nbn)eq\f(1,1＋2＋3＋…＋n），则｛dn}也是等比数列D．若｛dn}满足dn＝(b1·beq\o\al（2，2)·beq\o\al（3,3）·…·beq\o\al(n,n)）eq\f（1，1＋2＋3＋…＋n），则{dn｝也是等比数列解析：选D设等比数列{bn}的公比为q(q>0），则b1·beq\o\al（2，2)·beq\o\al(3,3）·…·beq\o\al（n,n）＝b1·(b1q）2·（b1q2)3·…·(b1qn－1)n＝(b1·beq\o\al（2,1）·beq\o\al(3,1)·…·beq\o\al（n，1))（q1×2·q2×3·…·q（n－1）n）＝beq\o\al(1＋2＋3＋…＋n，1)·q1×2＋2×3＋…＋(n－1)n＝beq\f(nn＋1，2）1q12＋1＋22＋2＋…＋(n－1)2＋（n－1)＝beq\f（nn＋1，2）1qeq\f（nn＋1n－1，3)，所以dn＝(b1·beq\o\al(2,2）·beq\o\al（3,3）·…·beq\o\al（n,n）)eq\f（1,1＋2＋3＋…＋n)＝b1qeq\f(2n－1，3),即｛dn}也是等比数列．12．埃及数学中有一个独特现象：除eq\f（2，3)用一个单独的符号表示以外,其他分数都要写成若干个单位分数和的形式,例如eq\f（2,5)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,15）.可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，若每人分得一个面包的eq\f(1,2),不够，若每人分得一个面包的eq\f(1，3)，还余eq\f（1，3)，再将这eq\f（1,3）分成5份,每人分得eq\f(1,15)，这样每人分得eq\f（1，3）＋eq\f(1，15)。形如eq\f(2,n）(n＝5，7,9，11，…）的分数的分解：eq\f（2,5）＝eq\f（1，3)＋eq\f(1，15),eq\f（2，7）＝eq\f(1，4）＋eq\f(1，28)，eq\f（2,9）＝eq\f（1，5）＋eq\f（1,45)，按此规律，eq\f（2，n）＝()A。eq\f（2，n＋1)＋eq\f(2，nn＋1） B.eq\f（1，n＋1）＋eq\f(1,nn＋1）C.eq\f（1,n＋2)＋eq\f（1，nn＋2） D。eq\f(1,2n＋1)＋eq\f（1，2n＋12n＋3）解析：选A根据分面包原理知，等式右边第一个数的分母应是等式左边数的分母加1的一半，第二个数的分母是第一个数的分母与等式左边数的分母的乘积，两个数的原始分子都是1，即eq\f（2，n)＝eq\f(1，\f(n＋1，2))＋eq\f（1,\f(nn＋1,2)）＝eq\f(2,n＋1）＋eq\f（2,nn＋1）。13．（2017·浙江高考)已知a，b∈R，（a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________。解析：∵（a＋bi）2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a2－b2＝3，，2ab＝4,）)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，，b＝1)）或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝－2，，b＝－1,））∴a2＋b2＝5，ab＝2。答案:5214．若eq\f（z，1－i)＝2i＋3（i为虚数单位），则｜eq\x\to（z)＋4i｜＝________.解析：由eq\f(z，1－i）＝2i＋3,得z＝(2i＋3）（1－i）＝5－i，则eq\x\to(z）＋4i＝5＋5i,故|eq\x\to（z)＋4i|＝5eq\r(2)。答案：5eq\r(2)15．已知不等式1＋eq\f(1,4)〈eq\f（3,2)，1＋eq\f（1,4）＋eq\f(1,9）<eq\f(5，3),1＋eq\f(1，4）＋eq\f(1,9）＋eq\f(1，16)〈eq\f（7,4),照此规律总结可得到第n个不等式为______________________________________．解析：由已知，三个不等式可以写成1＋eq\f（1,22)〈eq\f(2×2－1，2),1＋eq\f(1,22）＋eq\f（1,32）〈eq\f(2×3－1,3），1＋eq\f(1,22）＋eq\f（1，32)＋eq\f(1，42)〈eq\f（2×4－1,4），所以照此规律可得到第n个不等式为1＋eq\f（1,22)＋eq\f(1,32）＋…＋eq\f(1，n2）＋eq\f(1，n＋12)〈eq\f(2n＋1－1，n＋1）＝eq\f(2n＋1，n＋1）.答案：1＋eq\f（1,22)＋eq\f（1，32)＋…＋eq\f（1,n2)＋eq\f(1,n＋12)<eq\f(2n＋1，n＋1)16．若x的取值范围为［0,10]，给出如图所示的程序框图，输入一个数x，则输出的y<5的概率为________．解析：由题意可得程序框图所表示的函数表达式是y＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x－1,7<x≤10，,x＋1，0≤x≤7.))当y〈5时，若输出y＝x＋1（0≤x≤7)，此时输出的结果应满足x＋1〈5，则0≤x<4，若输出y＝x－1（7〈x≤10),此时输出的结果应满足x－1〈5，则0≤x〈6(不符合题意），所以输出的y〈5时的x的取值范围是0≤x〈4，则使得输出的y〈5的概率P＝eq\f（4－0,10－0）＝eq\f(2,5）。答案：eq\f（2，5)二、能力拔高练1．已知复数z＝eq\f（2＋3i2017,5＋i1001)(i为虚数单位)，则z·eq\x\to（z)＝(）A．1 B．2C.eq\f(1,2） D.eq\f（1，4)解析:选C因为z＝eq\f（2＋3i2017，5＋i1001)＝eq\f（2＋3i,5＋i)＝eq\f（2＋3i5－i，5＋i5－i)＝eq\f(13＋13i，26）＝eq\f（1,2）＋eq\f（1，2)i，故eq\x\to(z)＝eq\f（1,2)－eq\f（1，2)i,故z·eq\x\to（z)＝eq\f（1，2).2．（2018届高三·广东五校联考）已知函数f（x）＝ax3＋eq\f(1，2)x2在x＝－1处取得极大值，记g（x)＝eq\f(1,\a\vs4\al(f′x)）.执行如图所示的程序框图，若输出的结果S>eq\f(2016,2017），则判断框中可以填入的关于n的判断条件是()A．n≤2016? B．n≤2017？C．n>2016? D．n>2017？解析:选Bf′(x)＝3ax2＋x,则f′（－1)＝3a－1＝0，解得a＝eq\f（1,3),g（x)＝eq\f（1，\a\vs4\al（f′x））＝eq\f（1，x2＋x）＝eq\f（1，xx＋1)＝eq\f(1,x）－eq\f（1，x＋1），g（n）＝eq\f（1,n)－eq\f(1,n＋1），则S＝1－eq\f(1，2）＋eq\f（1，2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f（1，n）－eq\f(1,n＋1)＝1－eq\f(1，n＋1)＝eq\f（n,n＋1)，因为输出的结果S〉eq\f(2016,2017），分析可知判断框中可以填入的判断条件是“n≤2017？”，选B.3．如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n(n〉1,n∈N）个点,相应的图案中总的点数记为an，则eq\f（9，a2a3）＋eq\f(9,a3a4)＋eq\f（9,a4a5）＋…＋eq\f(9，a2016a2017)＝（）A。eq\f（2014，2015） B.eq\f（2013，2015）C.eq\f(2015,2016） D.eq\f(2014,2016）解析：选C每条边有n个点,所以三条边有3n个点，三角形的3个顶点都被重复计算了一次,所以减3个顶点,即an＝3n－3,那么eq\f（9，anan＋1)＝eq\f(9,3n－3×3n）＝eq\f(1，n－1n)＝eq\f（1,n－1）－eq\f（1,n），则eq\f(9,a2a3)＋eq\f(9,a3a4)＋eq\f(9,a4a5）＋…＋eq\f(9,a2016a2017）＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f(1，2））)＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f（1,3)））＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,3)－\f（1,4）))＋…＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2015）－\f（1，2016）))＝1－eq\f（1,2016）＝eq\f（2015，2016)。4．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上"两数之和,表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A．2017×22015 B．2017×22014C．2016×22015 D．2016×22014解析:选B当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为3＝3×1＝3×20；当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为8＝4×2＝4×21；当第一行为4个数时，最后一行仅一个数,为20＝5×4＝5×22；当第一行为5个数时,最后一行仅