吉林大学物理学院以引入非线性动力学与混沌理论为切入点用当代的观点和方法进行理论力学教学内容与体系的改革课件

2003年8月以引入非线性动力学与混沌理论为切入点，用当代的观点和方法进行理论力学教学内容与体系的改革——理论力学教学改革的实践与体会1主要内容

一、现状与教改的出发点二、改革内容与主要情况三、难点与措施四、收获和问题五、教学改革引出的思考2现状与教改的出发点

理论力学是物理专业四大力学之一，在物理专业基础理论教学中的地位和重要性应当是公认的。但从多年教学安排的演变看该课的地位和作用似乎模糊。

△五、六十年代两学期课——八、九十年代60学时，甚至更少△教本由大部头变成简明教程△内容一压再压，分析力学比例越来越低△甚至有的物理类专业将该课一度取消3一般认为作为经典物理的力学理论是成熟的，教学内容是稳定的。只要按学时要求安排课程内容就是了，这里有两个问题：∆即使是经典力学,其内容是不是也有个与时俱进的问题。∆物理专业的理论力学课究竟重点应放在哪里，是否仍以牛顿力学的体系和框架为主？确实有个在物理教学中的定位问题。现状与教改的出发点

5内容和体系多年不变或变化不大，是课程不被重视和自己也缺乏自信的自身原因。这种形势在学时一再减少的情况下更为明显。除了因数学基础提高而能解一些复杂的难题外，在理论体系上感到重复（所谓第四次循环）就不足为奇了。学生上课伊始对课程不重视是由来已久的。现状与教改的出发点

6八十年代以来我们就对理论力学的教学体系结构进行了改革。主要是把分析力学从传统教材和大纲的最后提到第四章，使学生尽快接触到分析力学。九十年代以来实现了大纲，教授的内容，教材，辅导书，习题和习题课内容的配套统一。学时保持在70学时左右。现状与教改的出发点

7有的兄弟院校已经在普通物理到现代物理专题等不同层次的课程中进行了这种改革实践。赵凯华先生开辟了国内面向二十一世纪物理教学改革的先河（1993，现代物理知识；1995，新概念物理力学）。我们也是受到启发，开始了一轮理论力学教学内容改革的（刘秉正，1992）尝试。非线性科学最基本的现象和规律均可从经典力学中引出，它的定量程度可以在理论力学教学的层次上解决。现状与教改的出发点

9我们从1997年就开始了将非线性动力学引入理论力学教学体系的初步尝试，主要内容和目标是将非线性动力学（振动）包括混沌的概念和初步的定量描述纳入理论力学的教学内容和教学实践。形成理科物理专业理论力学有机组成部分的新的一章。1999年起先后被列为理科基地创建名牌课项目和学校的精品课项目，进一步推动了这项改革的进行。目前已经进行了六轮教学实践。现状与教改的出发点

10改革内容与主要情况在总学时不变的情况下，要增加非线性动力学（振动）为独立的一章（第七章），必须删减其他部分内容。我们把与普通物理力学课程重复较多的内容（质点和质点组动力学、相对运动、刚体运动学和刚体平面运动）作了较大的删减（23学时——12学时）。11适应非线性振动与混沌计算与动态演示的需要。自1997年起先后用TURBO—C和Authorware5.0开发了〈单摆〉；〈Duffing方程〉；〈Logistic映射〉；〈VanderPor方程〉和〈Lorenz吸引子〉计算与动态演示课件，已成为完成教学要求必不可少的手段和环节。突破学生只作有解析解的习题的传统，2001年学习北师大的作法开设了应用Matlab软件进行力学计算的计算机实验辅助课程。改革内容与主要情况13难点与措施在有限的10多个学时里并限于力学的例子，有一定理论深度（不是科普讲座）的讲授非线性动力学到混沌运动相关的新方法、新概念，难度甚大。短时间大量新方法、新概念，知识密度过大，学生很难承受，效果适得其反。我们采取了一些做法：

△凡在前几章能引入讲授的都在前面进行，作好必要准备，并进行必要的重复。

（李雅普诺夫指数-耗散系统相体积的演化）

14△恰当的选择例子是解释概念又可以节省学时的可行方法。例如用一个典型的解析模型可以同时把定态、极限环、分岔、硬激励、软激励等概念简捷地解释清楚。（极限环与分岔的数学模型）

△利用现代手段演示和说明一些理解起来较困难的现象和概念。特别是那些通过解析的手段不能演绎的物理内容。明显节省学时，这方面有继续开发的空间。难点与措施15收获和问题引入了一系列以往以线性动力学为主的教学体系中未遇到的新概念，新规律，开拓了新思路和新观念。

△极限环、分岔、分频、组合频率。

△决定系统的“随机现象”，初值敏感。

△自相似，标度不变——分数维。（分维）

（魔鬼阶梯）（动态演示）17明显的激发了学生的学习兴趣和对科学的探索精神，每一轮都是讲到这一部分时学生提问和讨论的最多也最积极。经过六年不尽相同的实践，教学进行平稳，内容进一步充实，认识也不断深化。可以肯定这是物理专业（特别是面向基地班）理论力学课的一个可行模式。引入非线性的内容推动了对全课的改革和整合，特别是观念的变化，可能比多讲几个概念和公式更重要：

收获和问题18

（1）

经典力学的创始人们把精力主要都集中在线性动力学和少数非线性可解问题上，所取得的巨大成功（如工程科学上）使人们无形中以为那些非线性问题可能不重要且很少。长期以来造成了误导，实际情况正好相反。非线性动力学的进展推动了我们的再认识。（2）要研究哈密顿系统的混沌，自然要强化哈密顿力学的讲授，这要求我们在固定学时下把讲授的重点进一步移向分析力学，牛顿力学只能进一步压缩。无疑这推动了对全课的改革，并使该课的内容进一步与近代物理接轨。（3）计算机的应用及数值计算，不只是去求那些无解析解问题的数值解。同时也是发现新物理规律的手段。这也是以往所始料不及的。

收获和问题19问题主要有：

（1）全课（书）的整合还需进行细致的工作。在适合我国、我校物理本科教学要求的情况下使课程更协调适用。这里还有个教师学习提高问题。（老路太熟悉了！）

（2）即使采用Matlab软件进行应用教学，学生仍存在精力和负担问题，基地班要好一些。我们已与学院研究，建议在统一的计算机课中增加Matlab的学习内容。收获和问题21教学改革引出的思考

引入非线性动力学内容的改革，其意义已不限于增加了新内容本身，观念的变化和推动对全课的重新认识和定位可能更重要。有牵一发而动全身之效。这是新概念物理教学改革思路的体现和发展。22教学改革引出的思考

课程改革的思路是

以Lagrange力学和Hamilton力学为主线，牛顿力学基础内容保持最低，并作为进入分析力学的入口点，Hamilton力学适当加强，中心力、刚体和微振动辟专章，非线性振动和混沌设一章（耗散与保守体系的混沌，并由此推动全课的改革。对称性要讲够，相图的运用，计算机数值解与新物理规律（*相对论？*连续介质力学？）23是否过于难了？突破算术的和线性的思维方式。突破对直观的思维——加强抽象思维的能力。（我校情况，从2001年起，吉大物理学院理论力学课改在大三第一学期上。普物力学大一第二学期上。对该课的讲授更有利。）教学改革引出的思考25面向培养跨学科、交叉学科和转学科人才的培养，理论力学课的内容应如何设置和改革。对国内各类院校的物理专业是否也应如此改革的意见。（教师水平，新观念与创新思维与中学教学）

（理论力学教学大纲-72学时）

（理论力学教学大纲-64学时）教学改革引出的思考26Duffing方程现取=0.3,=1.2,f=0.31得29位移x位移x时间Tdx/dt红色线x(0)=2.000,dx/dt(0)=0.000蓝色线x(0)=2.0001,dx/dt(0)=0.000130位移x时间Tdx/dt位移x红色线x(0)=2.00000,dx/dt(0)=0.00000蓝色线x(0)=2.000001dx/dt(0)=0.00000131耗散系统相体积的演化

解释初值敏感和奇怪吸引子要用到相体积的伸展与折叠，定量描述这一特征的量是李雅普诺夫指数，这要证明三维（以上）相体积

而中要有正有负。讲混沌时专门解释或用初等的例子说明不严格，并且要花费一定学时。但只要在前面讲正则方程和刘维定理时稍做改动就可以自然引出耗散系统相体积演化公式，概念的引入严格、定量，学时反而减少。通常讲刘维定理，对相空间保守体系32其证明用到过去教材都是代入保守体系的正则方程。实际上，对一力学体系，如果除保守力外还含非保守力，则正则方程应写为其中代表非保守力，代入前式后得出，积分马上得到33容易证明，对保守力对非保守力（如）对高维耗散系统，自然导出指数形式形式其中（i=1～f）可正可负总和为正。34极限环与分岔考虑一个数学例子：

用二维极坐标表示，作代换得到当时有方程有三个根：

，，35，点是稳定定态（焦点）

（硬激励）稳定定态（焦点）；

不稳定的极限环；

稳定的极限环。黑洞（软激励）

是稳定的极限环不稳定的焦点极限环36分岔叉式分岔：定性举例，旋转单摆

霍普夫分岔：点到极限环的突变

稳定定态；

稳定极限环；

终态稳定点与初始条件有关（亚临界霍普夫分岔）。

倍周期分岔:周期成倍突变

阻尼单摆的强迫振动方程引入无因次量后化为:时，稳定的定态，，不稳定点，

37摆长为l，小球质量为m的单摆，相对与平衡的下垂位置的角位移为θ，重力加速度为g，则其运动方程为：(1)或(2)等式右边是周期性的驱动力，其角频率为。把方程式无量纲化，用去除每一项，将无量纲的时间叫做t，即得