武康平-高级微观经济学08风险厌恶度量课件

Lecture8风险厌恶度量MeasureofRiskAversion1Topicstobediscussed预期效用与主观概率理论，对人们在不确定环境中的行为进行了准确描述和深刻分析，论证了人们追求预期效用最大化的行为准则，为研究不确定条件下的选择问题提供了很好的理论基础。本讲在此基础上展开进一步讨论，议题主要有三个：预期效用与主观概率理论是否反映了实际现象？在不确定的环境中，人们对待风险的态度如何？如何测定人们的风险规避倾向的强弱？第三个问题是本讲要重点讨论的。事实上，从赌博事例已经看到，随着效用函数的性能发生“凸性线性凹性”的变化，消费者对待风险的态度相应地发生“爱好中立厌恶”的变化。由此可以猜想：效用函数越凹，人们越厌恶风险，风险规避倾向越强。我们将证明这一猜想。由此猜想可引出一种办法来测定人们的风险规避倾向的强弱——风险厌恶度量。2关于预期效用的悖论与争议关于不确定条件下的选择问题，预期效用和主观概率似乎是完美的和合乎实际的理论，让我们完全有理由相信人们在不确定的环境(风险环境或无常环境)中是根据预期效用大小进行评判和选择的。然而阿莱和艾斯勃格分别对预期效用和主观概率进行了实际考察，发现了理论与实际不符的两个现象：AllaisParadox和EllsbergParadox，引起了人们对这两种理论的质疑和争议。有些人借此否定预期效用和主观概率理论，认为需要建立新的理论来解释不确定条件下的选择行为。另一些人则认为，出现如此悖论的原因不是理论错了，而在于人们进行评判时发生了“视觉错误”。比如，有时候人们无法判断距离，但这不意味着需要重新发明一种距离概念。因此，预期效用和主观概率理论是正确的。下面，我们介绍这两个悖论。3计算预期效用设消费者的预期效用函数为

u。计算一下预期效用，则有：

u(A)=u(100)u(B)=u(110)10%+u(100)89%+u(0)1%u(C)=u(100)11%+u(0)89%

u(D)=u(110)10%+

u(0)90%

根据调查结果A

B，应有u(A)>u(B)。由此可知：u(100)11%>u(110)10%+u(0)1%在此式两边加上u(0)89%

可得：u(100)11%+u(0)89%>u(110)10%+u(0)90%

即

u(C

)

>

u(D)，这与调查结果

D

C

相矛盾：通过预期效用函数

u

得到的评价与调查出的消费者实际评价相悖。这一悖论是否说明预期效用理论有些不切实际？其实，这个悖论中消费者评价的“视觉错误”是明显存在的。(一)AllaisParadox关于预期效用的悖论与争议5

从袋中摸出一球，如果为红球，可得1000元。

从袋中摸出一球，如果为蓝球，可得1000元。

从袋中摸出一球，若不是红球，可得1000元。

从袋中摸出一球，若不是蓝球，可得1000元。主观判断：面对这四种赌博，每个人都需要对袋中有多少蓝球和有多少绿球作出自己的主观判断，因而涉及主观概率。调查结果：通过调查发现，大多数人认为

A

B

且

C

D

。其原因可能在于

A

的确定性比

B

高，C

的确定性比

D

高。

P：赌博者的主观概率测度。

u

：赌博者在主观概率测度

P

下的预期效用函数。

F

：摸出的是红球。：摸出的不是红球。

G：摸出的是蓝球。：摸出的不是蓝球。(二)EllsbergParadox这是关于主观概率的悖论。情景：袋中有红、蓝、绿球共300个，其中红球100个。现有四种形式的赌博A、B、C、D：关于预期效用的悖论与争议6计算预期效用从A

B知：(

p-

q)

u(1000)>(

p-

q)

u(0)。从

C

D

知：(

p-

q)

u(1000)<(

p-

q)

u(0)。这是两个矛盾的不等式！可见，按照主观概率理论，根本不可能让A

B

和

C

D同时成立。然而，调查得到的事实却是如此。因此，主观概率理论也有不切实际的地方和时候。其实，出现这个悖论的原因依然在于评判上的错觉。是调查中消费者评价错了，而不是理论错了。

令p

=

P(F

)，q

=

P(G

)。则。计算这四种赌博的效用，可得到：(二)EllsbergParadox关于预期效用的悖论与争议7(一)

热衷态度风险爱好者：对任何非退化风险行为X，都有

E。对于风险行动X和确定性行动

xX

，当

E

=

x

时，如果消费者认为

比

x

好(

x)，就足以说明消费者热衷冒险：不冒险，就没有取得高收益的可能；为了高收益，值得去冒险。这种热衷于冒险的消费者，叫做风险爱好者。U

=

px(1

p)yE

=

px+(1

p)y证明：

x,

yX

及

p[0,1]，有u(

y)这就说明，U(x)是严格凸函数。Xu(x)xyEu(E

)u(

)对待风险的态度风险爱好者的结果效用函数U

:

XR

严格凸。9(二)

冷淡态度风险冷淡者：对任何

X，都有

E。

xy

=

px(1

p)yy

E

y这说明U(x)是凹函数，故拟凹，从而结果偏好是凸偏好。XxyE

=

px+(1

p)y结果偏好是凸偏好对于风险行动X和确定性行动

xX

，当

E

=

x

时，如果消费者认为

不比

x

好(

x)，则说明消费者不热衷于冒险，对风险抱冷淡态度：不愿意冒险追求高收益。这种不热衷于冒险的消费者，叫做风险冷淡者。对待风险的态度风险冷淡者的结果效用函数是凹函数，从而结果偏好是凸偏好。证明：

x,

yX

及

p[0,1]，有10这说明U(x)严格凹，故严格拟凹，从而结果偏好严格凸。对于风险行动X和确定性行动

xX

，当

E

=

x

时，如果认为

比

x

差(x)，则说明讨厌冒险，根本不会冒险追求高收益。这种讨厌冒险的消费者，叫做风险厌恶者或风险规避者。1.风险厌恶者风险厌恶者：对任何非退化风险行为X，都有

E。U

=

px(1

p)yE

=

px+(1

p)yu(

y)Xu(x)xyEu(E

)u(

)(二)

冷淡态度对待风险的态度风险厌恶者的结果效用函数严格凹，从而结果偏好严格凸。证明：

x,

yX

及

p[0,1]，有11(三)

结果效用函数的基数意义经济活动者要么是风险爱好者，要么是风险冷淡者。应该说，绝大多部分人都是风险冷淡者。这样一来，在预期效用函数下，绝大多数人的结果效用函数都是凹函数，结果偏好是凸偏好，而只有少数人的结果效用函数是凸函数。无论如何，风险选择理论让我们进一步看到了确定性条件下对消费者偏好作出凸性假设的合理性，也看到了确定性偏好的必然凸性。更重要的是，我们看到了每个人在确定性选择集合上都存在着凹或凸的效用函数。凹的效用函数说明边际效用递减，凸的则说边际效用递增。边际效用是基数意义下的效用。只有在基数效用意义下，才能谈论效用增加多少。凹或凸的结果效用函数的存在，意味着基数意义上的效用函数存在。因此，预期效用函数存在定理顺便回答了基数效用函数的存在性问题，而且是肯定的回答。对待风险的态度13财富计量：以元为单位。假定经济人当前有w元。经济人的财富收入效用函数

u(r)：(rR)(u

(r)

>

0)。随机事件

F：发生的概率为p。通过事件F，可以设计赌博。赌博

g(x,

y)：若事件F

发生，则赢

x

元，财富变为w

+x

元；若事件F

未发生，则赢

y

元，经济人的财富变为w

+y

元。平面R²：每一点(x,

y)R²

都代表一个赌博g(x,

y)。这样，R²代表通过F

设计的赌博的全体G：G

=

R²

，称为赌博平面。赌博显示的风险厌恶程度指标

以上对于消费者对待风险的态度的研究表明，没有风险规避倾向的风险爱好者，其结果效用函数是严格凸的；而对风险持中立态度的消费者，其结果效用函数既不严格凸，也不严格凹；一旦消费者具有了风险规避倾向，其结果效用函数就成为严格凹的。这种现象让我们产生一种猜想：效用函数越凹，风险规避倾向越强。那么，这一猜想是否正确？我们还是以为赌博为例，来对这个问题进行说明。14(一)

赌博平面偏盈赌博px

+

(1p)y

>

0偏亏赌博px

+

(1p)y

<

0xyo原点(0,0)代表不赌

赌博平面G=R²赌博显示的风险厌恶程度指标

公平赌博：px

+

(1p)y

=

0(x,

y)(x,

y)15风险冷淡者的接受集是凸集。

证明：任意给定(x,

y

),

(x,

y)GA

及实数t[0,1]。为方便起见，令(x,

y)

=

t

(x,

y

)

+

(1t)(x,

y)。此刻

u

为凹函数，我们有1.接受集的凸性故(x,

y)GA。这说明，风险冷淡者的接受集GA是凸集。(二)

接受集GA赌博显示的风险厌恶程度指标

17由此可得下述结论：

(0)正是接受集边界

GA

在原点处的切线斜率。GA

在原点(0,0)处的切线方程：p

x+(1

p)

y=0。GA在原点(0,0)处的切线正是公平赌博直线！接受集边界GA={(x,

y)R²

:pu(w+x)+(1p)u(w+y)=u(w)}边界方程pu(w+x)+(1p)u(w+y)=u(w)

隐含着y

=

(x)。求导可得：p

u(w+x)+(1p)

u(w+y)

(x)=0令

x

=

0，即得到y

=

(x)在

x

=

0

处的导数：2.接受集边界在原点处的切线(二)

接受集GA赌博显示的风险厌恶程度指标

18

(0)与u(w)

u(w)成正比，从而接受集边界GA在原点(0,0)处的曲率大小与

u(w)

u(w)

成正比！3.接受集边界在原点处的曲率接受集边界GA在原点处的曲率大小与

(0)成正比。通过求导，可计算出

(0)

：(二)

接受集GA赌博显示的风险厌恶程度指标

191.阿罗-普拉特风险厌恶度(三)

原点附近赌博的意义赌博显示的风险厌恶程度指标

GuA接受GvA拒绝小赌博GuAGvAGuAGvA212.风险厌恶度AP

与风险加价RPU

=

v

(r)U

=

u

(r)(三)

原点附近赌博的意义赌博显示的风险厌恶程度指标

22风险规避倾向与风险厌恶度

赌博显示的风险厌恶程度指标AP(w)，适用于在任何风险环境中去测量人们的风险规避倾向的强弱。现在，我们来证实这一结论。风险环境：(,

F,

P)。确定性选择集合：X=R

，即

X

为实数集合

R。也就是说，经济人选择的任何结果都可以用实数加以表示。风险选择集合：X是风险环境(,F,P)中的随机变量的全体。经济人的VNM效用函数：u

:

X

R。风险爱好者的VNM效用函数u

是严格凸函数；风险厌恶者的VNM效用函数

u

是严格凹函数；风险中立者的VNM效用函数

u

是线性函数；风险冷淡者的VNM效用函数

u

是凹函数。按照绝对量变和相对量变，风险规避倾向分为绝对风险规避倾向(通常省略“绝对”二字)和相对风险规避倾向。

231.普拉特定理定理设风险环境为(,

F,

P)，确定性选择集合

X=R，并且

uA:

X

R

和

uB:

X

R

都是二阶可微、递增、凹的VNM效用函数。则下面三个条件相互等价：w

X

，都有；存在递增的凹函数

g

:

RR

使得

(wX

)(uA(w)

=

g(uB(w)))；对一切

X，都有

RPA(

)RPB(

)。注释：风险加价RP(

)的定义为

RP(

)

=

E

c(

)，其中

c(

)是按照“c(

)X

s.t.u(c(

))

=

u(

)”来确定的。定理的意义：定理表明，阿罗-普拉特度量函数

AP

:

X

R

很好地度量着经济人的风险规避倾向。(一)

绝对风险规避倾向风险规避倾向与风险厌恶度

252.严格形式的普拉特定理定理设风险环境为(,

F,

P)，确定性选择集合

X=R，并且

uA:

X

R

和

uB:

X

R

都是二阶可微、递增、凹的VNM效用函数。则下面三个条件相互等价：w

X

，都有；存在递增的严格凹函数

g

使得

(wX

)(uA(w)

=

g(uB(w)))；对一切非退化的风险行为X，都有

RPA(

)>RPB(

)。(一)

绝对风险规避倾向风险规避倾向与风险厌恶度

普拉特定理中的那些不等式还可以换成严格不等式，从而得到严格形式的普拉特定理。26(1)相对接受集GA风险规避倾向与风险厌恶度

(二)

相对风险规避倾向1.赌博揭示的相对风险规避倾向GA

=

{(x,

y)R²

:

Eu(x,

y)

u(w)}GA

由方程

Eu(x,

y)

=

u(w)

来确定：y=

(x)

。类似地可以证明：风险冷淡者的相对接受集

GA是凸集。GA的原点斜率：GA的原点切线：GA的原点曲率：切线——公平赌博——px

+

(1p)y

=

0GAGA29原点附近的赌博都是赌金相对较小的赌博——相对小赌博。如果一个人连相对较小的赌博都不愿意接受，就表明这个人对风险的厌恶程度较大，足见他具有较强的风险规避倾向。一个人不愿意接受的相对小赌博越多，他对风险的厌恶程度越大，风险规避倾向越强。曲率

(0)

越大，GA

在原点(0,0)处越弯曲，不接受的相对小赌博越多，从而风险厌恶程度越大，风险规避倾向越强。GA

在原点的曲率

(0)

与

APR(w)

=

u(w)w

u(w)

成正比。结论：阿罗-普拉特相对风险厌恶度量函数

的确度量着经济人对风险的厌恶程度强弱！(2)原点附近赌博的意义1.赌博揭示的相对风险规避倾向(二)

相对风险规避倾向风险规避倾向与风险厌恶度

302.阿罗-普拉特相对风险厌恶度GuA接受GvA拒绝相对小赌博GuAGvAGuAGvA风险规避倾向与风险厌恶度

(二)

相对风险规避倾向31风险规避倾向的变化规律经济人的风险规避倾向如何随财富数量的变化而变化？什么情况下适合使用绝对风险厌恶度来测定经济人的风险规避倾向，又在什么情况下适合使用相对风险厌恶度来测定？对于这些问题，下述回答似乎是合理的。第一，绝对风险厌恶度AP(w)随财富w的增加而递减。

第二，相对风险厌恶度APR(w)不随财富w的变化而变化。下面就来给以说明。32(一)

绝对风险厌恶度的变化规律对于一个用绝对数量表示的较小赌博来说，当经济人的财富较少时，这个赌博可能不被接受；但当财富较多时，接受这个赌博的可能性就大大增加了：赌一下也没什么大不了。这一现象表明，随着经济人拥有的财富的增多，一个较小赌博被接受的可能性是上升的，从而绝对风险厌恶度下降，绝对风险规避倾向变弱。另外，如果考虑的是短期行为，那么经济人是否能够接受一个赌博，恐怕主要还是要看财富数量的绝对变化。因此可以说，当进行短期分析的时期，适合使用绝对风险厌恶度来测定经济人的风险规避倾向。风险规避倾向的变化规律33(二)相对风险厌恶度的变化规律风险规避倾向的变化规律对于相对赌博来说，由于赌金与财富成比例，因此低额赌注的赌博实际上是高额赌注的赌博的缩影。缩影是对原型的模仿，这样一来，原型与缩影中的相对风险规避倾向似乎应该一致。根据以上说明，假定相对风险厌恶度为常数，恐怕就是一个不错的假设。另外，如果是在进行长期分析，那么面对遥远的未来，就不宜采用绝对数量，而采用相对数量变化恐怕会更好些，可能会更能令人信服。这就说明：长期分析中适合使用相对风险厌恶度来测定人们的风险规避倾向。尤其是遥远未来的不确定性太大，人们保持不变的相对风险规避倾向便合情合理，即“以不变应万变”。34(三)

风险规避倾向与效用函数形式风险规避倾向的变化规律定理(武)

设

X=

{xR

:

x

>

0}，u

:

X

R

为VNM效用函数，并且对一切

xX

，都有u(x)

>

0。则有下述结论：经济人具有不变的相对风险规避倾向

1当且仅当存在常数

a

,

b

(a

>

0)

使得对一切

wX

成立。经济人具有始终为

1

的相对风险规避倾向当且仅当存在常数

a

>

0和常数

b

使得

u(w)

=

a

lnw

+

b

对一切

wX

成立。经济人具有不变的绝对风险规避倾向

>

0当且仅当存在常数a

,

b

(b

>

0)

使得对一切

wX

成立。VNM效用函数形式当经济人具有不变的相对风险规避倾向

时，VNM效用函数可取作这样的形式：。当经济人具有不变的绝对风险规避倾向>

0

时，VNM效用函数可取作这样的形式：。351.定理的证明风险规避倾向的变化规律(三)

风险规避倾向与效用函数形式只证明结论。其必要性通过计算可证，只需证充分性。已知

u(