高考数学三轮冲刺压轴小题13 与球相关的外接与内切问题 (解析版)

与球相关的外接与内切问题与球相关的外接与内切问题一．方法综述如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力。研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）多面体外接球半径的求法，当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体.（2）与球的外切问题，解答时首先要找准切点，可通过作截面来解决.（3）球自身的对称性与多面体的对称性；二．解题策略类型一柱体与球【例1】（2020·河南高三（理））已知长方体SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该长方体的外接球的表面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】由题意得出SKIPIF1<0，由这两个等式计算出SKIPIF1<0，可求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结果.【详解】依题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，故外接球半径SKIPIF1<0，因此，所求长方体的外接球表面积SKIPIF1<0.故选：A.【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径.【举一反三】1.（2020·河南高三模拟）已知三棱柱的底面是边长为SKIPIF1<0的等边三角形，侧棱垂直于底面且侧棱长为2，若该棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】根据条件可知该三棱柱是正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，如图，则其外接球的半径SKIPIF1<0，外接球的表面积SKIPIF1<0.故选：D【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上，确定球心，用球心、一底面的外接圆的圆心，一顶点构成一个直角三角形，用勾股定理得关于外接球半径的关系式，可球的半径.2.（2020·安徽高三（理））已知一个正方体的各顶点都在同一球面上，现用一个平面去截这个球和正方体，得到的截面图形恰好是一个圆及内接正三角形，若此正三角形的边长为SKIPIF1<0，则这个球的表面积为（）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由已知作出截面图形如图SKIPIF1<0，可知正三角形的边长等于正方体的面对角线长，正方体与其外接球的位置关系如图SKIPIF1<0所示，可知外接球的直径等于正方体的体对角线长，设正方体的棱长为SKIPIF1<0,外接球的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以外接球的表面积为SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0.【点睛】本题考查正方体的外接球、正方体的截面和空间想象能力，分析出外接球的半径与正三角形的边长的关系是本题的关键，3．（2020·河南高三（理））有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为SKIPIF1<0cm，高度为SKIPIF1<0cm，现往里面装直径为SKIPIF1<0cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（）（附：SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0个 B．SKIPIF1<0个 C．SKIPIF1<0个 D．SKIPIF1<0个【答案】C【解析】由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为SKIPIF1<0cm的正面体，易求正四面体相对棱的距离为SKIPIF1<0cm，每装两个球称为“一层”，这样装SKIPIF1<0层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为SKIPIF1<0cm，若想要盖上盖子，则需要满足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以最多可以装SKIPIF1<0层球，即最多可以装SKIPIF1<0个球．故选：SKIPIF1<0类型二锥体与球【例2】5．已知球O的半径为SKIPIF1<0，以球心O为中心的正四面体SKIPIF1<0的各条棱均在球O的外部，若球O的球面被SKIPIF1<0的四个面截得的曲线的长度之和为SKIPIF1<0，则正四面体SKIPIF1<0的体积为_________．【来源】重庆市2021届高三下学期二模数学试题【答案】SKIPIF1<0【解析】由题知，正四面体截球面所得曲线为四个半径相同的圆，每个圆的周长为SKIPIF1<0，半径为1，故球心O到正四面体各面的距离为SKIPIF1<0，设正四面体棱长为a，如图所示，则斜高SKIPIF1<0，体高SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【举一反三】1.（2020四川省德阳一诊）正四面体ABCD的体积为，则正四面体ABCD的外接球的体积为______．【答案】【解析】如图，设正四面体ABCD的棱长为，过A作AD⊥BC，设等边三角形ABC的中心为O，则，，，即．再设正四面体ABCD的外接球球心为G，连接GA，则，即．∴正四面体ABCD的外接球的体积为.故答案为：．2．（2020·宁夏育才中学）《九章算术》是我国古代的数学名著,其中有很多对几何体体积的研究,已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为32π,高为h的圆柱,上面是一个底面积为32π,高为h的圆锥,若该容器有外接球,则外接球的体积为【答案】SKIPIF1<0【解析】如图所示，根据圆柱与圆锥和球的对称性知，其外接球的直径是SKIPIF1<0，设圆柱的底面圆半径为SKIPIF1<0，母线长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0外接球的半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0外接球的体积为SKIPIF1<0．3．（2020·贵阳高三（理））在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是边长为4的正方形，SKIPIF1<0是一个正三角形，若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的三等分点SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0过SKIPIF1<0分别作SKIPIF1<0的垂线，交于点SKIPIF1<0，可证SKIPIF1<0为外接球的球心，利用解直角三角形可计算SKIPIF1<0．【详解】如图，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0的三等分点SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0过SKIPIF1<0分别作SKIPIF1<0的垂线，交于点SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．又因为四边形SKIPIF1<0为正方形，而SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，因SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．因SKIPIF1<0为正方形SKIPIF1<0的中心，故球心在直线SKIPIF1<0上，因SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中心，故球心在直线SKIPIF1<0上，故SKIPIF1<0为球心，SKIPIF1<0为球的半径．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以球的表面积为SKIPIF1<0．类型三构造法（补形法）【例3】已知三棱锥SKIPIF1<0的各个顶点都在球SKIPIF1<0的表面上，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0.过点SKIPIF1<0作球SKIPIF1<0的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的表面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将三棱锥SKIPIF1<0补成长方体SKIPIF1<0，如下图所示：设SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，可知点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，因为四边形SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设过点SKIPIF1<0的球SKIPIF1<0的截面圆的半径为SKIPIF1<0，设球心SKIPIF1<0到截面圆的距离为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与截面圆所在平面所成的角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，即截面圆过球心SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最小值，此时SKIPIF1<0取最大值，即SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0与截面圆所在平面垂直时，SKIPIF1<0取最大值，即SKIPIF1<0，此时，SKIPIF1<0取最小值，即SKIPIF1<0.由题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0，因此，球SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0.故选：B.【举一反三】1.（2020宁夏石嘴山模拟）三棱锥中，侧棱与底面垂直，，，且，则三棱锥的外接球的表面积等于．【答案】【解析】把三棱锥，放到长方体里,如下图:,因此长方体的外接球的直径为,所以半径,则三棱锥的外接球的表面积为.2.（2020菏泽高三模拟）已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示，将直三棱柱补充为长方体，则该长方体的体对角线为，设长方体的外接球的半径为，则，,所以该长方体的外接球的体积，故选C.3．（2020·贵州高三月考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】如图所示画出几何体，再计算体积得到答案.【详解】由三视图知该几何体是一个四棱锥，可将该几何体放在一个正方体内，如图所示：在棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，取棱SKIPIF1<0的中点分别为SKIPIF1<0，则该几何体为四棱锥SKIPIF1<0，其体积为SKIPIF1<0.故选：SKIPIF1<0类型四与球体相关的最值问题【例4】（2020·福建高三期末（理））在外接球半径为4的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥的高SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】设正三棱锥底面的边长为SKIPIF1<0，高为h，由勾股定理可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，三棱锥的体积SKIPIF1<0，对其求导，分析其单调性与最值即可得解.【详解】解：设正三棱锥底面的边长为SKIPIF1<0，高为h，根据图形可知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0正三棱锥的体积SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，V取得最大值，故选：D.【点睛】本题考查球与多面体的最值问题，常常由几何体的体积公式、借助几何性质，不等式、导数等进行解决，对考生的综合应用，空间想象能力及运算求解能力要求较高.【举一反三】1.（2020·广东高三（理））我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，当阳马SKIPIF1<0体积最大时，则堑堵SKIPIF1<0的外接球体积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】依题意可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取得最大值.依题意可知SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为斜边的直角三角形，所以堑堵SKIPIF1<0外接球的直径为SKIPIF1<0，故半径SKIPIF1<0.所以外接球的体积为SKIPIF1<0.特别说明：由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为斜边的直角三角形，所以堑堵SKIPIF1<0外接球的直径为SKIPIF1<0为定值，即无论阳马SKIPIF1<0体积是否取得最大值，堑堵SKIPIF1<0外接球保持不变，所以可以直接由直径SKIPIF1<0的长，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.故选：B2．（2020·遵义市南白中学高三期末）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点在同一个球的球面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若四面体SKIPIF1<0体积的最大值为3，则这个球的表面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】根据SKIPIF1<0,可得直角三角形SKIPIF1<0的面积为3,其所在球的小圆的圆心在斜边SKIPIF1<0的中点上,设小圆的圆心为SKIPIF1<0,

由于底面积SKIPIF1<0不变,高最大时体积最大,

所以SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0垂直时体积最大，最大值为为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,如图,设球心为SKIPIF1<0,半径为SKIPIF1<0，则在直角SKIPIF1<0中,即SKIPIF1<0,

则这个球的表面积为SKIPIF1<0,故选C.3．（2020·河南高三（理））菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，沿对角线AC将三角形ACD折起，当三棱锥D－ABC体积最大时，其外接球表面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】当平面ACD与平面ABC垂直时体积最大，如图所示，利用勾股定理得到SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，计算得到答案.【详解】易知：当平面ACD与平面ABC垂直时体积最大.如图所示：SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，连接SKIPIF1<0，外接球球心SKIPIF1<0的投影为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中心，在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，表面积SKIPIF1<0故选：D三．强化训练一、选择题1．（2020·广西高三期末）棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥SKIPIF1<0的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥SKIPIF1<0的表面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题意，多面体ABCDE的外接球即正四面体ABCD的外接球，由题意可知SKIPIF1<0面SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0且其外接球的直径为AE，易求正四面体ABCD的高为SKIPIF1<0.设外接球的半径为R，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.设正三棱锥SKIPIF1<0的高为h，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为底面SKIPIF1<0的边长为a，所以SKIPIF1<0，则正三棱锥SKIPIF1<0的三条侧棱两两垂直.即正三棱锥SKIPIF1<0的表面积SKIPIF1<0，故选：A.2、（2020辽宁省师范大学附属中学高三）在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，把三棱锥补形为长方体，设长方体的长、宽、高分别为，则，∴三棱锥外接球的半径∴三棱锥外接球的表面积为．故选：C．3．（2020·安徽高三期末）如果一个凸多面体的每个面都是全等的正多边形，而且每个顶点都引出相同数目的棱，那么这个凸多面体叫做正多面体.古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》的卷13中系统地研究了正多面体的作图，并证明了每个正多面体都有外接球.若正四面体、正方体、正八面体的外接球半径相同，则它们的棱长之比为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设正四面体、正方体、正八面体的棱长以及外接球半径分别为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0故选：B4．（2020·北京人大附中高三）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则四棱锥外接球的表面积为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由四边形SKIPIF1<0为矩形，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，设三角形SKIPIF1<0的外心为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.即四棱锥外接球的半径为SKIPIF1<0．∴四棱锥外接球的表面积为SKIPIF1<0.故选B．5．（2020河南省郑州市一中高三）在三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：如图所示：三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则：当时，线段达到最小值，由于：平面，所以：，解得：，所以：，则：，由于：，所以：则：为等腰三角形．所以，在中，设外接圆的直径为，则：，所以外接球的半径，则：，故选：C．6、（2020河南省天一大联考）某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，此三棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，易得其外接球的直径为，从而外接球的表面积为.故答案为：C.7．（2020·江西高三期末（理））如图，三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且二面角SKIPIF1<0为锐角，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为二面角SKIPIF1<0的平面角，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以三棱锥的体积SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为锐角，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0和直角SKIPIF1<0中，易得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为外接球球心，外接圆半径SKIPIF1<0，故外接球的表面积SKIPIF1<0.故选：A.8．（2019·湖南长沙一中高三）在如图所示的空间几何体中，下面的长方体SKIPIF1<0的三条棱长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，上面的四棱锥SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则过五点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的外接球的表面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】问题转化为求四棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积．SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0外接圆的半径为SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以外接球的SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．9．三棱锥P—ABC中，底面ABC满足BA=BC，，点P在底面ABC的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P到底面ABC的距离为（）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】设外接球半径为，P到底面ABC的距离为，，则，因为，所以，因为，所以当时，，当时，，因此当时，取最小值，外接球的表面积取最小值，选B.10．（2019·河北高三月考）在平面四边形ABCD中，AB⊥BD，∠BCD=30°，SKIPIF1<0，若将△ABD沿BD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BDC外接球的表面积是()A．4π B．5π C．6π D．8π【答案】C【解析】取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的外心为SKIPIF1<0，连SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0分别过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的平行线，交于SKIPIF1<0点，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0外心，SKIPIF1<0为三棱锥的外接球的球心，SKIPIF1<0为其半径,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选:C11．（2020·梅河口市第五中学高三期末（理））设三棱锥SKIPIF1<0的每个顶点都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0是面积为SKIPIF1<0的等边三角形，SKIPIF1<0，则当三棱锥SKIPIF1<0的体积最大时，球SKIPIF1<0的表面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如图，由题意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号．所以SKIPIF1<0且平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0时，三棱锥SKIPIF1<0的体积最大.分别过SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的外心作对应三角形所在平面的垂线，垂线的交点即球心SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的外接圆半径分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0，球SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0.故选：A.12.（2020四川省成都外国语学校模拟）已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱锥P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱锥P-AEF的外接球表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，由题意可得，三棱锥P-AEF的三条侧棱PA，PE，PF两两互相垂直，且，，把三棱锥P-AEF补形为长方体，则长方体的体对角线长为，则三棱锥P-AEF的外接球的半径为，外接球的表面积为．故选：C．13．已知球SKIPIF1<0夹在一个二面角SKIPIF1<0之间，与两个半平面分别相切于点SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，球心SKIPIF1<0到该二面角的棱SKIPIF1<0的距离为2，则球SKIPIF1<0的表面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【来源】江西省萍乡市2021届高三二模考试数学（文）试题【答案】A【解析】过SKIPIF1<0三点作球的截面，如图：设该截面与棱SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，依题意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0四点共圆，且SKIPIF1<0为该圆的直径，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0也是该圆的直径，所以四边形SKIPIF1<0的对角线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的长度相等且互相平分，所以四边形SKIPIF1<0为矩形，又SKIPIF1<0，所以该矩形为正方形，所以SKIPIF1<0，即圆SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，所以圆SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0.故选：A14．已知点SKIPIF1<0在半径为2的球面上，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若S是球面上任意一点，则三棱锥SKIPIF1<0体积的最大值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设SKIPIF1<0外接圆圆心为SKIPIF1<0，三棱锥SKIPIF1<0外接球的球心为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，连SKIPIF1<0，如图，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0外接圆半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0要使SKIPIF1<0体积的最大，需SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0距离最大，即SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的延长线与球面的交点，最大值为SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0体积的最大值为SKIPIF1<0．故选：A15．已知半球SKIPIF1<0与圆台SKIPIF1<0有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如图1所示，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交球面于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由圆的相交弦定理及图2得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则圆台侧面积SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，在SKIPIF1<0上递减，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．在轴截面中，SKIPIF1<0为圆台母线与底面所成的角，在SKIPIF1<0中可得SKIPIF1<0，故选：D．16．（2020·重庆八中高三）圆柱的侧面展开图是一个面积为SKIPIF1<0的正方形，该圆柱内有一个体积为V的球，则V的最大值为【答案】SKIPIF1<0【解析】设圆柱的底面直径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故圆柱的底面直径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，所以圆柱内最大球的直径为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，其体积为SKIPIF1<0.17．（2020·江西高三）半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”，如图所示，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的边长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长为SKIPIF1<0，则该二十四等边体外接球的表面积为【答案】SKIPIF1<0【解析】由已知根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为SKIPIF1<0，侧棱长为SKIPIF1<0的正四棱柱的外接球，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0该二十四等边体的外接球的表面积SKIPIF1<0SKIPIF1<0.18．（2020·福建高三期末（理））在棱长为SKIPIF1<0的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，若平面SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，四棱锥SKIPIF1<0的五个顶点都在球SKIPIF1<0的球面上，则球SKIPIF1<0半径为【答案】SKIPIF1<0【解析】如图1，SKIPIF1<0三点共线，连结SKIPIF1<0从而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点即为点SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相似，所以SKIPIF1<0；如图2，设SKIPIF1<0的外接圆圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，球半径为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以所求的球的半径为SKIPIF1<0.19．（2020·黑龙江高三（理））设SKIPIF1<0是同一个半径为4的球的球面上四点，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则三棱锥SKIPIF1<0体积的最大值为【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时等号成立，此时SKIPIF1<020．（2020·河北承德第一中学高三）正三棱锥S－ABC的外接球半径为2，底边长AB＝3，则此棱锥的体积为【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】设正三棱锥的高为h，球心在正三棱锥的高所在的直线上，H为底面正三棱锥的中心因为底面边长AB=3，所以SKIPIF1<0当顶点S与球心在底面ABC的同侧时，如下图此时有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可解得h=3因而棱柱的体积SKIPIF1<0当顶点S与球心在底面ABC的异侧时，如下图有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可解得h=1所以SKIPIF1<0，综上，棱锥的体积为SKIPIF1<0或SKIPIF1<021．（2020·江西高三（理））已知P,A,B,C是半径为2的球面上的点，PA=PB=PC=2，SKIPIF1<0，点B在AC上的射影为D，则三棱锥SKIPIF1<0体积的最大值为【答案】SKIPIF1<0【解析】如下图，由题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为三角形SKIPIF1<0的外心，且为SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的射影，所以球心在SKIPIF1<0的延长线上，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，则SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0此时单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0单调递减．所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取到最大值为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的面积最大值为SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0的面积最大时，三棱锥SKIPIF1<0体积取得最大值为SKIPIF1<0.22．已知SKIPIF1<0是球SKIPIF1<0的直径SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为垂足，SKIPIF1<0截球SKIPIF1<0所得截面的面积为SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的表面积为__________.【来源】宁夏固原市第五中学2021届高三年级期末考试数学（文）试题【答案】SKIPIF1<0【解析】如下图所示，设SKIPIF1<0，可得出SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的直径为SKIPIF1<0，球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，设截面圆SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0.23．如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，则过点SKIPIF1<0的平面截三棱锥SKIPIF1<0的外接球所得截面的面积最小值为___【答案】SKIPIF1<0