广东省江门市楼冈中学2021-2022学年高二数学理期末试题含解析

广东省江门市楼冈中学2021-2022学年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列有关命题的说法正确的是A．命题“若，则”的否命题为：“若，则≠1”．B．若或为假命题，则、均不为假命题.C．命题“存在使得＜0”的否定是：“对任意

，

均有＜0”．

D．命题“若，则”的逆否命题为真命题．参考答案：D2.抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，圆M与y轴相切，过原点O作倾斜角为的直线m，交直线l于点A，交圆M于不同的两点O、B，且|AO|=|BO|=2，若P为抛物线C上的动点，则的最小值为（）A．﹣2 B．2 C． D．3参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出p的值，从而求出抛物线方程，求出圆心和半径可求出⊙M的方程，表示出，然后根据点在抛物线上将y消去，求关于x的二次函数的最小值即可；【解答】解：因为=OA?cos=2×=1，即p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x，设⊙M的半径为r，则=2，所以⊙M的方程为（x﹣2）2+y2=4设P（x，y）（x≥0），则=x2﹣3x+2+y2=x2+x+2，所以当x=0时，有最小值为2故选：B【点评】本题主要考查了圆的方程和抛物线方程，以及向量数量积的最值，属于中档题．3.中，是的（

） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：C4.已知x，y的取值如下表：x0134y2.24.34.86.7y与x线性相关，且线性回归直线方程为，则a=A.3.35

B.2.6

C.2.9

D.1.95参考答案：B由题意得，∴样本中心为．又回归直线过点，∴，解得．选B．

5.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足，则（

）A.－1 B.1 C.－4 D.4参考答案：B【分析】根据等差数列与等比数列的通项公式，求出公差与公比，进而可求出结果.【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，所以，解得，因此，所以.故选B6.某产品的广告费用x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如下表所示，根据表中的数据可得回归方程=x+，其中=0，据此模型预报，当广告费用为7万元时的销售额为（）x4235y38203151A．60 B．70 C．73 D．69参考答案：B【考点】线性回归方程．【专题】对应思想；数学模型法；概率与统计．【分析】根据表中数据计算、，由回归方程=x+过样本中心点，求出的值，再计算x=7时的值即可．【解答】解：根据表中数据，得：=×（4+2+3+5）=3.5，=×（38+20+31+51）=35；且回归方程=x+过样本中心点（，），其中=0，所以×3.5+0=35，解得=10，所以回归方程为=10x；当x=7时，=10×7=70，即广告费用为7万元时销售额为70万元．故选：B．【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题目7.在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】确定直线位置的几何要素．【专题】数形结合．【分析】本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上，得到结果．【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选C．【点评】本题考查确定直线为主的几何要素，考查斜率和截距对于一条直线的影响，是一个基础题，这种题目也可以出现在直线与圆锥曲线之间的图形的确定．8.2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是

（）

A．－＜x＜3

B．－＜x＜0

C．－3＜x＜

D．－1＜x＜6参考答案：D9.命题“，”的否定是（

）A．，

B．，C．，

D．，参考答案：B根据命题的否定易得：命题“，”的否定是，10.已知命题

“”,则为A.

B.C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则b=_________. 参考答案：12.若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则

的最小值是___________.[参考答案：略13.有下列命题：①双曲线与椭圆有相同的焦点；②；③；若双曲线的渐近线方程为y＝±x，⑤对于实数x,y，条件p:x+y≠8,条件q:x≠2或y≠6，那么p是q的充分不必要条件．

其中是真命题的有：

．（把你认为正确命题的序号都填上）

参考答案：①③⑤略14.已知过点的直线与轴正半轴、轴正半轴分别交于、两点，则的面积最小为

.参考答案：解析：设直线方程为,代点得:.由于,所以,所以

15.直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，曲线，若两曲线有公共点，则的取值范围是

。参考答案：（1）

16.在△ABC中，若a=3，b=，∠A=，则∠C的大小为_________.参考答案：17.若函数在在[1,2]上单调递增,则实数a的取值范围是

．参考答案：[16,+∞)三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.平面上有两点，点在圆周上，求使取最小值时点的坐标。参考答案：解析：在Δ中有，即当最小时，取最小值，而，19.已知{an}是一个等差数列且a2+a8=﹣4，a6=2 （1）求{an}的通项公式； （2）求{an}的前n项和Sn的最小值． 参考答案：【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由a2+a8=﹣4，a6=2，利用通项公式可得，解得即可． （2）令an≥0，即4n﹣22≥0，解得n≥6，可知当n=5时，Sn取得最小值，利用前n项和公式即可得出． 【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d． ∵a2+a8=﹣4，a6=2，∴，解得， ∴an=a1+（n﹣1）d=﹣18+4（n﹣1）=4n﹣22． （2）令an≥0，即4n﹣22≥0，解得n≥6， 可知当n=5时，Sn取得最小值，=﹣50． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，属于基础题． 20.（本小题满分14分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且,，求角B.参考答案：21.（12分）用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积.参考答案：设容器底面宽为m，则长为(＋0.5)m，高为(3.2－2)m.由解得0<<1.6，设容器的容积为ym3，则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，令y′＝0，即－6x2＋4.4x＋1.6＝0，

解得x＝1，或x＝－(舍去)．∵在定义域(0,1.6)内只有一个点x＝1使y′＝0，且x＝1是极大值点，∴当x＝1时，y取得最大值为1.8.此时容器的高为3.2－2＝1.2m.因此，容器高为1.2m时容器的容积最大，最大容积为1.8m3.

22.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，动点与定点F(－1，0)的距离和它到定直线的距离之比是.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过F作曲线C的不垂直于轴的弦AB,M为AB的中点,直线OM与曲线C交于P，Q两点,求四边形APBQ面积的最小值.参考答案：（1）由已知，得．两边平方，化简得＋y2＝1．故轨迹的方程是．…（3分）（2）因AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(m2＋2)y2－2my－1＝0.y1＋y2＝，y1y2＝.x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，于是AB的中点为M，故直线PQ的斜率为，PQ的方程为y＝x，即mx＋2y＝0，整理得：x2=，|PQ|方法一：设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝.因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，于是|mx1＋2y1|＋|mx