广东省江门市台山居正中学高三数学理下学期期末试题含解析

广东省江门市台山居正中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④参考答案：B【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．【解答】解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．故选B．2.已知函数f（x）=，则关于x的方程f（2x2+x）=k（2＜k≤3）的根的个数不可能为（）A．6 B．5 C．4 D．3参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】画出函数f（x）=的图象，令t=2x2+x，分类讨论求得y=a与y=f（t）的图象的交点个数，可得结论．【解答】解：画出函数f（x）=的图象如右图，令t=2x2+x，当2＜a≤3时，y=a与y=f（t）的图象有三个交点，三个交点的横坐标记为t1，t2，t3且t1≤0＜t2＜t3，当2x2+x=t2时，该方程有两解，2x2+x=t3时，该方程也有两解．当2x2+x=t1时，该方程有0个解或1个解或2个解，∴当2＜a≤3时，方程f（2x2+x）=a的根的个数可能为4个，5个，6个．当a＞3时，y=a与y=f（t）的图象有两个交点，两个交点的横坐标记为t4，t5且0＜t4＜t5，当2x2+x=t4时，该方程有两解，2x2+x=t5时，该方程也有两解，∴当a＞3时，方程f（2x2+x）=a的根的个数为4个．综上所述：方程f（2x2+x）=a（a＞2）的根的个数可能为4个，5个，6个，不可能是3个，故选：D．【点评】本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．3.执行如右图所示的程序框图，若输出的n=5，则输入整数p的最小值是

A．7

B．8

C．15

D．16参考答案：B略4.△ABC中，点P满足则△ABC一定是(

) A．等腰三角形

B．直三角形 C．等边三角形

D．钝角三角形参考答案：A略5.已知集合A={x|＜0}，集合B=N，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{1} C．{0，1} D．{﹣1，0}参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={x|＜0}={x|﹣1＜x＜2}，集合B=N，则A∩B={0，1}．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．6.已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若；②若；③若；④若m、n是异面直线，其中真命题是(

)A．①和②

B．①和③

C．①和④

D．③和④参考答案：C7.函数的图像为

参考答案：A8.条件p：，条件q：f（x）=logtanαx在（0，+∞）是增函数，则p是q的(

)A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】由，可得1＜tanα；而反之不成立．当a＞1时，函数y=logax在（0，+∞）是增函数．据此即可判断出答案．【解答】解：∵，∴1＜tanα，∴f（x）=logtanαx在（0，+∞）是增函数，∴p是q的充分条件；而f（x）=logtanαx在（0，+∞）是增函数，必有tanα＞1，解得α∈，由q不是p的充分条件．综上可知：p是q的充分不必要条件．故选B．【点评】充分函数y=tanα、y=logax的单调性及充分、必要条件的意义是解题的关键．9.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.以上说法正确的是（

）A.③④ B.①② C.②④ D.①③④参考答案：A【分析】由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④.【详解】由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为,乙同学成绩的中位数为,故①错误；,,则,故②错误,③正确；显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确,故选:A【点睛】本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.10.已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，B={x|x2﹣x﹣2＞0}，则A∩B=(

)A．{0，1} B．{﹣1，0} C．{﹣2，3，4} D．{2，3，4}参考答案：C【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）＞0，解得：x＜﹣1或x＞2，即B={x|x＜﹣1或x＞2}，∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，∴A∩B={﹣2，3，4}，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n=________时，Sn取得最大值.参考答案：略12.对于任意，恒成立，则实数的取值范围为 。参考答案：略13.已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），（ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图所示，则f（x）=．参考答案：2sin（3x+）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据函数f（x）的部分图象，求出最小正周期T、ω以及φ的值即可．【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象知，=﹣=π∴T=，∴ω==3，根据五点法画图知，ω?+φ=+φ=2kπ，k∈Z，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，∵0≤φ＜2π，∴φ=，∴f（x）=2sin（3x+）．故答案为：2sin（3x+）．14.若命题“使”是假命题，则m的取值范围是

.参考答案：m>1略15.,,若对应点在第二象限,则m的取值范围为

▲

．参考答案：16.已知在（为常数）的展开式中，项的系数等于，则_____________．参考答案：217.已知向量，则

参考答案：9三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）长沙市年嘉湖隧道的开通，既缓解了车站北路与营盘东路之间的交通压力，也缩短了交通时间，但为了交通安全，市交通部门对隧道内行驶的车辆作如下规定：①最高时速不超过60公里/小时；②行使车辆之间的车距d是车速v（公里/小时）的平方与车身长s（米）的积成正比，比例系数为k(k>0);③按②的要求行驶，若车距小于车身长的一半时,则规定车距为。现假定车辆的车身长约为s米，当车速为50km/小时时，车距恰好为该车的车身长。（Ⅰ）试写出d关于v的函数关系式（其中s为常数）；（Ⅱ）问应按怎样的车速，才能使车流量Q=最大．参考答案：解析：（Ⅰ）依题意可得d=kv2s．当v=50时，d=s，解得k=，∴d=v2s．

……3分当d=时，解得v=25．

……4分所以d关于v的函数关系式是：d=……6分（Ⅱ）当0＜v≤25，取v=25时，Q的最大值为；

……8分当25＜v≤60时，Q=．当且仅当v=50时取等号．

……11分又∵

……12分∴按50km/小时的速度行驶，车流量大．

……13分19.（本小题满分10分）等差数列的前项和为的通项式.参考答案：20.（12分）已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为.

（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间.参考答案：解析：(Ⅰ)由的图象过点P（0，2）,d=2知,所以,(x)=3x2+2bx+c,由在(-1,(-1))处的切线方程是6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1,(-1)=6,∴即解得b=c=-3.故所求的解析式为f(x)=x3-3x-3+2,(Ⅱ)(x)=3x2-6x-3,令3x2-6x-3=0即x2-2x-1=0,解得x1=1-,x2=1+,当x<1-或x>1+时,(x)>0;当1-<x<1+时,(x)<0∴f(x)=x3-3x2-3x+2在(1+,+∞)内是增函数,在(-∞,1-)内是增函数,在(1-,1+)内是减函数.21.（本小题满分14分）已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求在区间上的最大值；（Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由.参考答案：解：（Ⅰ）当时，，则。依题意得：，即

解得…2分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，①

当时，，令得…….3分当变化时，的变化情况如下表：0—0+0—

单调递减极小值单调递增极大值单调递减……………4分又，，。∴在上的最大值为2…………5分②

当时,.当时,,最大值为0；当时,在上单调递增。∴在最大值为。………6分综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；当时，即时，在区间上的最大值为。…7分（Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。不妨设，则，显然∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴即

（*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程（*）无解，不