广东省汕尾市龙潭中学2023年高二数学理模拟试题含解析

广东省汕尾市龙潭中学2023年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若|PF1|等于4，则|PF2|等于（）A．22 B．21 C．20 D．13参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知条件，利用|PF1|+|PF2|=2a，能求出结果．【解答】解：∵P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的焦点，|PF1|等于4，∴|PF2|=2﹣|PF1|=26﹣4=22．故选A．2.已知不同的直线m，n，l，不重合的平面，则下列命题正确的是

A．m//，n∥，则m∥n

B．m//，m//，则//

C．m⊥，n⊥，则m∥n

D．m⊥，m⊥，则//参考答案：D3.双曲线mx2﹣y2=1（m∈R）与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．y=±3x参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由椭圆的方程可得椭圆的焦点坐标，将双曲线的方程变形为标准方程﹣y2=1，结合其焦点坐标，可得+1=4，解可得m的值，即可得双曲线的方程，由渐近线方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的方程为：，其焦点在x轴上，且c==2，则其焦点坐标为（±2，0），对于双曲线mx2﹣y2=1，变形可得﹣y2=1，若其焦点为（±2，0），则有+1=4，解可得m=，即双曲线的方程为﹣y2=1，则其渐近线方程为y=±x；故选：B．4.椭圆+=1的焦点坐标是（）A．（±5，0） B．（0，±5） C．（0，±12） D．（±12，0）参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】由a，b，c的关系即可得出焦点坐标．【解答】解：椭圆的方程+=1中a2=169，b2=25，∴c2=a2﹣b2=144，又该椭圆焦点在y轴，∴焦点坐标为：（0，±12）．故选：C．5.不等式对于恒成立，那么的取值范围是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B6.直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是

(

)

A．(,-)

B.(-,)

C．(,-)

D．(-,

)参考答案：B略7.已知，则下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.参考答案：D略8.设向量不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是

（

）A．B．C．

D．参考答案：D略9.抛物线的准线方程是，则其标准方程是（）A．y2=2x B．x2=﹣2y C．y2=﹣x D．x2=﹣y参考答案：B【考点】抛物线的标准方程．【分析】根据准线方程，可知抛物线的焦点在y轴的负半轴，再设抛物线的标准形式为x2=﹣2py，根据准线方程求出p的值，代入即可得到答案．【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的负半轴，设抛物线标准方程为：x2=﹣2py（p＞0），∵抛物线的准线方程为y=，∴=，∴p=1，∴抛物线的标准方程为：x2=﹣2y．故选B．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质．属基础题．10.已知是函数的极小值点,那么函数的极大值为A.15

B.16

C.17

D.18参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题：“若xy=0，则x=0或y=0”的逆否命题为：

．参考答案：若x≠0且y≠0则xy≠0【考点】命题的否定．【专题】常规题型．【分析】若命题为“若p则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，而x=0或y=0的否定应为x≠0且y≠0．【解答】解：若命题为“若p则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，所以原命题的逆否命题是“若x≠0且y≠0则xy≠0”故答案为：若x≠0且y≠0则xy≠0．【点评】本题考查命题的逆否命题，属基础知识的考查，在写逆否命题时，注意量词的变化．12.矩阵的逆矩阵为__________.参考答案：【分析】通过逆矩阵的定义构建方程组即可得到答案.【详解】由逆矩阵的定义知：,设，由题意可得：，即解得，因此.【点睛】本题主要考查逆矩阵的相关计算，难度不大.13.在三棱锥P﹣ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，Q为底面ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则过点P和Q的所有球中，表面积最小的球的表面积为

．参考答案：50π【考点】球的体积和表面积．【专题】球．【分析】根据题意，点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体，分析可知以PQ为直径的球是它的外接球，此时过点P和Q的所有球中，表面积最小的球，即可求解．【解答】解：根据题意：点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体，内部图形如图．则其外接球的直径即为PQ且为长方体的体对角线，过点P和Q的所有球中，此时外接球的表面积最小．∴2r==．∴r=由球的表面积公式得：S=4πr2=50π故答案为：50π．【点评】本题主要考查空间几何体的构造和组合体的基本关系．判断长方体的对角线是过P和Q的所有球中，最小的球是解题的关键．14.已知函数，过点作与y轴平行的直线交函数f(x)的图像于点P，过点P作f(x)图像的切线交x轴于点B，则面积的最小值为____．参考答案：【分析】求出f（x）的导数，令x＝a，求得P的坐标，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，令y＝0，可得B的坐标，再由三角形的面积公式可得△ABP面积S，求出导数，利用导数求最值，即可得到所求值．【详解】函数f（x）＝的导数为f′（x），由题意可令x＝a，解得y，可得P（a，），即有切线的斜率为k，切线的方程为y﹣（x），令y＝0，可得x＝a﹣1，即B（a﹣1，0），在直角三角形PAB中，|AB|＝1，|AP|，则△ABP面积为S（a）|AB|?|AP|?，a＞0，导数S′（a）?，当a＞1时，S′＞0，S（a）递增；当0＜a＜1时，S′＜0，S（a）递减．即有a＝1处S取得极小值，且为最小值e．故答案为e．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，注意运用直线方程和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．15.当时，有，则a=__________.参考答案：1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，复数相等的条件列式求解a值．【详解】∵（1﹣i）（a+i）＝（a+1）+（1﹣a）i，∴1﹣a=0，即a＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的分类，是基础题．16.点关于直线的对称点的坐标为

.参考答案：(1,4)

17.参考答案：-2或1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知平面向量，．（1）若，且，求x的值；（2）当时，求的取值范围．参考答案：（1）解：（2）记

19.（本小题满分15分）如图(1)，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为P，且使平面PBD⊥平面BCD，如图(2)．(1)求证：平面PBC⊥平面PDC；(2)在折叠前的四边形ABCD中，作AE⊥BD于E，过E作EF⊥BC于F，求折起后的图形中∠PFE的正切值．

参考答案：如图(1)，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为P，且使平面PBD⊥平面BCD，如图(2)．(1)求证：平面PBC⊥平面PDC；(2)在折叠前的四边形ABCD中，作AE⊥BD于E，过E作EF⊥BC于F，求折起后的图形中∠PFE的正切值．21.(1)证明：折叠前，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BAD＝90°，所以△ABD为等腰直角三角形．又因为∠BCD＝45°，所以∠BDC＝90°.折叠后，因为面PBD⊥面BCD，CD⊥BD，所以CD⊥面PBD.又因为PB?面PBD，所以CD⊥PB.又因为PB⊥PD，PD∩CD＝D，所以PB⊥面PDC.又PB?面PBC，故平面PBC⊥平面PDC.(2)AE⊥BD，EF⊥BC，折叠后的位置关系不变，所以PE⊥BD.又面PBD⊥面BCD，所以PE⊥面BCD.所以PE⊥EF.设AB＝AD＝a，则BD＝a，所以在Rt△BEF中，在Rt△PFE中，

20.已知函数f(x)=x3－x2,x∈R（1）若正数m,n满足m·n>1，证明：f(m),f(n)至少有一个不小于零；（2）若a,b为不相等的正实数且满足f(a)=f(b)，求证a+b<.参考答案：（1）证明：假设f(m)<0,f(n)<0

即m3－m2<0,n3－n2<0∵m>0,n>0

∴m－1<0

n－1<0∴0<m<1,0<n<1

∴mn<1这与m,n>1矛盾∴假设不成立，即f(m),f(n)至少有一个不小于零。（2）证明：由f(a)=f(b)得a3－a2=b3－b2

∴a3－b3=a2－b2∴(a－b)(a2+ab+b2)=(a－b)(a+b)∵a≠b

∴a2+ab+b2=a+b

∴(a+b)2－(a+b)=ab<∴

解得a+b<21.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,过点作倾斜角为